巧用平几知识解决解析几何问题

卢燕霞

解析几何是高中数学的重要内容，也是高考考查的重点内容之一.高考相关试题强调综合性，综合考查数形结合、函数与方程、化归与转化、分类与整合、特殊与一般等思想方法，突出考查推理论证能力和运算求解能力，考查形式灵活多样.一般的解法是设出点的坐标或者曲线方程，通过题设条件列出满足条件的方程或方程组，解方程（组）求解.但这类解法往往计算繁琐，且计算过程中可能需要一定的技巧.这可能是导致解析几何问题的求解过程中“对而不全”现象普遍存在的主要原因.其实解析几何的本质是用代数的方法研究几何问题，如果我们能深入挖掘题目中图形或曲线的几何性质，借助平面几何的相关知识和技巧，对题目所给的几何条件准确代数化（坐标化），往往能达到化难为易、化繁为筒、事半功倍的效果.下面拟以2018年全国Ⅱ卷第12题为引例，谈谈这类试题的解題思路和方法，供复习教学参考.

1利用三角形的性质求椭圆的离心率

离心率是反映圆锥曲线本质属性的一个量，也是高考考查的一个热点.一般有两种题型：求离心率的值、求离心率的取值范围.解答的基本思路是求出椭圆或双曲线的长轴和焦距之间的比值，借助平面几何知识，我们往往可以回避设点的坐标、直线方程、求点的坐标等繁琐步骤，从而快速求解.

解析方法1充分发挥平面几何的作用，利用辅助线的优势，过点P作x轴的垂线，从而构造一个斜边长为2c且有一个内角为60°的直角三角形，再利用等腰三角形和直角三角形的性质解题，由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图1所示，

方法2先求出两条直线PF与PF的方程，再求出两条直线交点P的坐标，然后把P的坐标代入直线PA的方程即可，这个方法涉及到求两条直线方程和它们的交点坐标，需要假设适当的参数，显然计算过程是非常繁琐复杂的，耗时耗力，而且面临算不下去的风险，一般不提倡.

评析这是一道中档题，考查椭圆的离心率，建议要依题构图，运用等腰三角形的性质，寻求适当几何关系是巧解此题的关键.方法1充分挖掘题目中图形蕴含的几何性质，利用平面几何中等腰三角形的知识，结合直线斜率的几何意义得出a与c的比例，从而快速得解，具有一定的技巧性.方法2是通性通法，需要设出适当参数，找出几何关系，而几何关系又有多种选择，但是过程都较繁琐.

2利用圆的相关性质求线段长

圆是平面几何和解析几何中最重要的内容之一，圆既是轴对称图形，又是中心对太图形，其中蕴藏着诸多位置关系和数量关系，它有许多重要几何性质，涉及的知识点主要有圆中切割线定理、圆幂定理、垂径定理等.对于解析几何中有关圆的问题，若能充分利用圆的几何性质，将会使得解题思路简明，解法简洁，不仅免去解析几何繁杂的运算，还能充分感受到平面几何的魅力.