一种基于矩阵重组的功率倒置改进算法*

吴文浩，赖鹏辉，王 昊，王世练，张 炜

(国防科技大学 电子科学学院，长沙 410073)

0 引 言

自适应天线通过控制阵列中各阵元的增益和相位，使阵列方向图在干扰方向形成零陷，达到抑制干扰的效果[1]，是一种有效的抗干扰方法。经典的阵列加权准则包括最小均方误差(Minimum Mean Square Error,MMSE)准则[2]、最小方差无失真响应(Minimum Variance Distortionless Response,MVDR)准则[3]、最大信干噪比(Maximum Signal to Interference and Noise Ratio,MSINR)准则。功率倒置(Power Inversion,PI)自适应算法[4-6]是基于线性约束最小方差准则建立的，属于盲抗干扰准则，具有“强干扰强抑制，弱干扰弱抑制”特点，不需要先验信息辅助，可采用直接协方差矩阵求逆(Sample Matrix Inverse,SMI)、最小均方误差(Least Mean Square,LMS)和递推最小二乘法(Recursive Least Squares,RLS)等算法。

功率倒置广泛应用在抗干扰接收机中，如定位导航系统、遥测系统、卫星通信等。文献[1]通过监测干扰数目或功率的突变，复位处理权值矢量，提高PI阵的收敛速度。文献[6]采用RLS算法实现PI阵列，解决收敛性与稳态失调矛盾，但运算量大，对硬件运算要求高。文献[7]采用指数函数的归一化变步长LMS算法，兼顾收敛速度和稳态误差，增大算法的输入功率。文献[8]通过将信号投影到噪声空间，提高PI算法在弱干扰下的抗干扰性。上述算法从收敛速度、稳态误差、抗干扰范围方面提升PI阵性能，各有优点，但存在共同问题——信噪比恶化现象。

本文针对信噪比恶化问题，利用信号子空间正交性来改进PI算法，改善信噪比恶化问题，提高信干噪比增益，改善算法有效性。

1 功率倒置算法

y(n)=wHx(n) 。

(1)

图1 M元天线阵结构

算法满足如下约束准则，使其输出功率最小：

(2)

式中：RXX为接收信号协方差矩阵，s0为约束条件。为防止w全为零而没有意义，取s0=[1，0，…，0]T。构建拉格朗日函数，可得最优权矢量

(3)

针对观测信号的协方差估计可采用块自适应算法和连续自适应算法。假设系统接收信号包括扩频信号s(t)、干扰信号i(t)、噪声n(t)，其中噪声服从高斯分布，与扩频信号、干扰信号互不相关，干扰信号与扩频信号相关系数为ρ(θ)，θ为信号与干扰的夹角。对于平稳信号，接收信号的协方差估计是正Hermitian矩阵，

(4)

(5)

式中：ηs是期望信号对应特征向量。则对应的逆矩阵

(6)

(7)

图2(a)、(b)分别是信干比SJR为-50、-20 dB时,SMI法和EVD-1法的方向图。对于SMI法，其方向图在不同干扰强度形成不同深度零陷，干扰越强，零陷越深；干扰越弱，零陷较浅，(b)中零陷约为-13.5 dB。对于EVD-1法，其方向图在强干扰下形成零陷较深，与SMI法相近；在弱干扰下，EVD-1法形成零陷远深于SMI法，(b)中零陷约为-64 dB。当SJR为-50 dB时，两种算法信噪比恶化约为-0.879 3 dB；当SJR为-20 dB时，信噪比恶化约为-0.986 1 dB。

(a)SJR为-50 dB

(b)SJR为-20 dB图2 SMI和EVD-1算法对比图

2 基于特征分解的块自适应算法改进

由上述仿真可知，传统PI算法和EVD-1算法在干扰来向形成零陷的同时在期望方向存在小幅度抑制，有信噪比恶化现象。由式(7)可知，传统PI算法最优权值矢量是样本协方差矩阵中干扰信号、扩频信号(期望信号)、噪声对应特征向量的线性组合，分别对应等式右边第一、二、三项。由于扩频信号(期望信号)一般淹没在热噪声中(信噪比小于-20 dB)，一般情况下可将后两项看作一项。干扰特征向量与干扰信号导向矢量wopt张成同一子空间，则干扰信号导向矢量为干扰信号特征向量的线性组合。强干扰环境下，干扰特征值远大于噪声对应的特征值，对wopt的影响反而小，即wopt是噪声特征向量的线性组合，因此wopt与干扰信号导向矢量正交，在干扰方向上形成较深的零陷；而弱干扰环境下干扰特征值较小，与噪声特征值接近，wopt是两者特征向量线性组合，因此在干扰方向上无法形成较深零陷。EVD-1算法中将式(7)中干扰项舍去，实质上等同干扰功率无穷大，由上面分析可知，在弱干扰环境下可形成较深零陷。

下面从信噪比增益角度分析恶化原因。首先给出信噪比增益表达式：

(8)

(9)

本文提出一种基于矩阵重组的功率倒置改进算法EVD-NN(Eigenvalue Decomposition with No Noise),在不含先验信息条件下，对接收信号协方差矩阵做特征分解，根据特征值分布对噪声进行估计，舍去噪声特征向量，保留主特征向量和期望信号特征向量(信源数为1)，重组得到新协方差矩阵逆矩阵，进而求得最优权值矢量。新的协方差矩阵逆矩阵、权值矢量和方向增益表达式如下：

(10)

(11)

(12)

由式(11)可知，新权值矢量仅由干扰和期望信号对应的特征向量组成，新的干扰子空间与非干扰子空间正交。当期望方向与干扰来向夹角较大(两者相关性更小)时，在干扰方向，式(12)右边第一项取值随着干扰功率增大而减小，第二项为零；在期望方向，右边第一项近乎为零(期望信号与干扰不相关)，第二项不为零且取值较大(期望信号功率较小)，此时取得方向增益最大值；对于其他入射角，其导向矢量由干扰、期望信号、噪声三者的特征向量组成，式(12)右边有不定取值，与期望信号和干扰功率大小有关，此处不作研究。

本文算法流程下：

(1)由M个天线阵元接收信号计算得协方差矩阵Rxx特征值分解得到从小到大排列的特征值λk和对应特征向量ηk,k=1,2,…,M。

(2)对信道噪声功率和期望信号功率进行估计，根据特征值分布特点确定噪声的最大特征值λnoiseMax，其中λk>λnoiseMax的特征向量判作非噪声特征向量(干扰特征向量ηi和期望信号特征向量ηn)，数目为Num1,剩余的特征向量判作噪声特征向量ηn，数目为Num2。

相关性能主要考察以下几个方面：

(1)零陷情况。通过方向图评估零陷是否对准干扰以及形成零陷的深度。

(2)信干噪比增益和信噪比增益。处理增益是下一步解调的关键，具体考虑不同干扰数目和强度、噪声强度、阵元数目，相关指标如下：

(13)

(14)

(3)误码率(Symbol Error Rate，SER)。误码率是衡量数据在规定时间内数据传输精确性的指标，公式如下：

误码率=传输中的误码/所传输的总码数×100%。

3 仿真分析

仿真采用8元均匀线阵，以线阵法线方向为参考方向，工作频率为2 GHz，阵元间隔为0.5个波长，各信号参数设置见表1。

表1 仿真参数设置

3.1 仿真实验1

图3 实验1中三种算法方向图对比

3.2 仿真实验2

图4 实验2中三种算法方向图对比

3.3 仿真实验3

图5 实验3中三种算法方向图对比

3.4 仿真实验4

参数与实验1相同，天线阵元N=32，仿真结果如图6所示。与实验1相比，图6中三种算法形成零陷更深，角度分辨率更高。在期望方向，EVD-NN算法的主瓣宽度变小，为3.2°，增益比SMI算法和EVD-1算法高出约3 dB；同时，EVD-NN算法有较低的增益，第一旁瓣约-13 dB，方向图指向性更强。

图6 实验4中三种算法方向图对比

3.5 三种算法在不同环境下的抗干扰性能

下面以信干噪比增益GSJNR和信噪比增益GSNR为评价指标，详细分析三种算法在不同环境下的抗干扰性能。

图7～9分别为三种算法的抗干扰性能仿真图,其中图7(a)、图8(a)和图9(a)信噪比增益指标中X轴按降序排列。由仿真结果可知，三种算法的GSNR不随信噪比变化，其中，SMI法和EVD-1法的GSNR恒小于0，EVD-NN法的GSNR比较稳定，当干信比小于等于56 dB时，EVD-NN法的GSNR均值为8.74，比前两者均值高出约9.6 dB；当干信比大于56 dB时，EVD-NN法的GSNR不稳定，但仍优于前两种算法。另外，从信干噪比增益看，图7(b)中，SMI法的GSJNR随信噪比、干信比增加而增加；图8(b)中，EVD-1法在低干扰下的GSJNR与SMI法接近，当干信比大于57 dB，算法失效；图9(b)中，EVD-NN法在同一信噪比下GSJNR比前两种算法高出约9.3 dB。信噪比为-15 dB时，GSJNR从38.3 dB增至51.8 dB；信噪比为-10 dB时，GSJNR从49.2 dB增至62.5 dB；当干信比大于60 dB，GSJNR变得不稳定，增长不明显。

(a) 信噪比增益

(b)信干噪比增益图7 SMI法抗干扰性能

(a)信噪比增益

(b)信干噪比增益图8 EVD-1法抗干扰性能

(a)信噪比增益

(b)信干噪比增益图9 EVD-NN法抗干扰性能

图10是不同信干比时系统误码率仿真图，其中实线代表信干比为-25 dB，虚线代表信干比为-55 dB。当信干比为-55 dB时，原始信号误码率约为0.75，SMI法误码率从0.58降到5×10-3，EVD-NN法误码率从0.42快速降到1×10-4;当信干比为-25 dB，原始信号误码率从0.59降到约0.21，SMI法误码率从0.58降到1.1×10-3，EVD-NN法误码率从0.51快速降到2×10-4。

图10 不同信干比时误码率

从零陷情况、处理增益(信干噪比增益GSJNR和信噪比增益GSNR)、误码率三个方面对三种算法进行的分析可知，较之于传统算法，EVD-NN法有明显优点，但从算法流程可知，以下两点是算法性能的关键，也是局限之处：

(1)获取准确的协方差估计，完成特征分解。快拍数少时，协方差估计不准确，算法性能显著下降，快拍数增多，算法实时性下降，同时对工程实现的硬件要求也变高。经仿真可知，算法所需快拍数与具体的天线阵元数、信号(期望信号与干扰)总数目、信号功率有关。

3.6 仿真实验5

图11 快拍数不同时各特征值(从小到大排序)的收敛情况

图12 快拍数不同时信道估计下各特征值的方差变化

图13中第1条曲线即为传统PI算法，第2、3、4条曲线分别代表假设期望信号对应特征值λ5、λ6、λ7时的方向图，可以发现此时零陷基本对准强干扰，最大增益指向偏离期望方向0.2°～0.4°，具体处理增益见表2。

图13 EVD-NN法对舍去的噪声特征向量个数的敏感性

表2 仿真实验5相关数据

由表2可知，Num等于4、5、6、7时，EVD-NN算法的GSJNR和GSNR比传统PI算法(Num等于0)高，Num等于6、7时性能最佳，小于6时开始下降，Num等于5、4时，处理增益分别下降1.2 dB和2.7 dB。

综合上述分析可得，EVD-NN算法改善了信噪比恶化现象，能较稳定地提升信干噪比增益和信噪比增益，其提升效果随着天线阵元、干扰功率、输入信噪比增加而提高，有利于降低误码率，在强干扰来向形成较深零陷；SMI算法存在信噪比恶化现象，在强干扰来向形成较深零陷，信干噪比有所改善；EVD-1算法存在信噪比恶化现象，在弱干扰来向也准确形成较深零陷，整体性能与SMI法相近，但EVD-NN算法的性能依赖于高准确度的协方差估计以及能否正确区分噪声、非噪声特征向量，不便于工程实现。综上，本文提出的EVD-NN算法工作范围更广，具有稳定的、更高的信干噪比增益和信噪比增益，方向图具有指向性，有较低的旁瓣，性能更好。

4 结束语

针对传统功率倒置阵存在信噪比恶化的问题，本文分析了MMSE准则下最优权值矢量与协方差矩阵对应特征值的关系，从公式推导发现噪声特征向量是信噪比恶化的主要原因。在此基础上提出一种基于矩阵重组的功率倒置改进算法，通过特征值分布特点，舍去噪声特征向量求得新的最佳权值矢量。仿真实验表明，与传统SMI法和相关改进算法相比，本文算法对干扰强度和噪声强度适应范围更广，具有更高信号处理增益，在干信比为50 dB时，获得信干噪比和信噪比增益比前两种算法均高出约9.6 dB。同时，方向图主瓣指向期望信号，有较低的旁瓣，抗干扰性更强。

但是，本文提出的EVD-NN算法有局限性，要求样本协方差估计准确度较高。如何更有效可靠地区分噪声、非噪声向量，避免算法性能下降，可结合机器学习等方法进一步研究。