启发式教学在最大似然估计法教学中的应用研究

续焕英 齐海涛

【摘要】本文在启发式教学思想的引领下，针对最大似然估计法给出具体的教学设计思路，遵循学生的认知规律，充分调动学生学习的主观能动性，践行“以学生为中心”的教学理念，将学生学习的主动权最大限度地还给学生，以期优化传统的教学模式，提高教学效率.

【关键词】启发式教学，最大似然估计法，似然函数，教学模式

【基金项目】山东大学（威海）校级教育教学改革研究项目，项目名称：慕课滋养下《概率论与数理统计》课程多元化教学改革研究，项目编号：Y2019057

《教育部关于进一步深化本科教学改革全面提高教学质量的若干意见》中指出，要大力推进教学方法的改革，提倡启发式教学，注重因材施教.

一、启发式教学简介

启发式教学是教师根据教学目标，针对教学内容，从学生的实际出发，采用多种教学方法，引导学生积极主动地学习，从而促进学生全面发展的一种教学指导思想.这种教学模式是相对传统教学提出的一种新的教学方法，重在引导学生积极主动地学习新知识，让学生在探索和发现中获得相应的知识内容，有助于培养学生主动思考和分析问题的能力.教师将启发式教学思想融入课堂，有助于发挥学生的主体地位，充分激发学生学习的兴趣，调动学生学习的积极性.教师在概率统计课程的教学过程中应用启发式教学方法，不仅可以使学生学会主动学习和独立思考，提升思维能力，而且可以提高学生学习的效率，培养其创新意识，提高其创新能力，真正实现素质教育.中国最早提出启发式教学的是大教育家孔子，他主张“不愤不启，不悱不发”，意为先鼓励学生积极独立的思考，再进行适时启发和开导.这种教育理念符合教学基本规律，对当前教育仍具有重要的借鉴价值.

二、教学案例分析

最大似然估计法（简称MLE）是在总体分布类型已知条件下使用的一种重要而普遍的参数估计方法，具有许多良好的统计性质，其充分利用了总体分布提供的信息，克服了矩估计法在这方面的缺陷.这种参数估计方法具有深刻的统计思想内涵，是各种数理统计方法的基础，教学目标要求学生熟练掌握这种参数估计的方法.但由于这种参数估计法计算繁杂，原理抽象，因此学生学习起来有一定难度，这就需要教师在教学方法上多下功夫，精心设计教学过程，充分启发学生的积极思维，遵循学生的认知规律，将复杂抽象的问题简单、直观化.笔者根据教学目标的要求，将启发式教学思想融入教学环节，设计教学过程如下.

1.历史由来.

“好的开始是成功的一半”.下面介绍最大似然估计法的历史演变过程.这种参数估计方法最早是由德国数学家高斯在1821年提出，后来英国统计学家费歇于1922年在其一篇文章中重新提出了这一方法，并首次研究了这种方法的一些性质，自此这种參数估计的方法得到了广泛的应用，因此最大似然估计法常归功于费歇，“最大似然估计”这一名称也是由费歇给出的.作为知识的延伸，教师可以给学生分享两位数学家在学术方面的巨大贡献和对科学的敬业精神，启发学生锲而不舍、追求真理、勇于探索的科学精神，增强学生勇攀科学高峰的责任感和使命感，激发学生科技报国的家国情怀和使命担当.

此外，为活跃课堂气氛，增加课堂的趣味性，教师可将历史人物的传奇小故事纳入课堂.比如享有“数学王子”美誉的高斯，他小时候就已经展现出了与众不同的数学才能，教师介绍他与小学数学老师的故事，可以启发学生善于思考，勤于动脑，向学生传递正能量.

2.问题引入.

作为一种重要的参数估计方法，最大似然估计法具有广泛的实际应用，但因其复杂的计算过程和抽象的理论知识，学生学起来有一定的难度.抽象的理论知识并非无源之水，无根之木，它其实源于丰富多彩的现实生活.为便于学生理解，教师引入如下简单的生活实例，把复杂抽象的理论知识简单、具体化，让学生在实际问题中感悟，给学生一种直观的印象，帮助学生理解最大似然估计法的基本思想方法.

引例 设袋子中有黑白两种颜色的球，比例为9∶1，但是不知道哪种颜色的球多.现在做一个随机试验：有放回地抽取3次，每次取1 个.假设在一次试验中，取到 2 个白球，1 个黑球，用随机事件A表示这个结果，试判断哪种颜色的球多.

若用参数θ表示袋子中白球的概率，则问题转化为判断θ=0.1还是θ=0.9的问题.绝大部分学生都会回答白球多，即θ=0.9，这一判断过程实际上已经用到了最大似然估计法的基本思想.教师要充分肯定学生的回答，并将这一过程系统化.通过进一步分析可以发现，所求问题就是在θ所有可能的取值中选择θ的一个值，使得已经发生的事件即“取到2个白球，1个黑球”具有最大的概率.这种选择一个参数使得试验结果具有最大概率的思想就是最大似然估计法的基本思想.

解 设袋子中白球的概率为θ，Xi表示第i次取球的情况（i=1，2，3），则Xi=1，第i次取到白球，0，第i次取到黑球.

设第一、三次取到白球，第二次取到黑球，则

P（X1=1，X2=0，X3=1）=θ2（1-θ）.

若θ=0.1，则P（X1=1，X2=0，X3=1）=0.009;

若θ=0.9，则P（X1=1，X2=0，X3=1）=0.081>0.009.

可见，当θ=0.9时，事件（X1=1，X2=0，X3=1）发生的概率最大，即最支持试验结果的发生，所以判断白球多.

以上解题过程可以严谨地表述如下：

设总体X含有待估参数θ=（θ1，θ2，…，θn），参数空间为Θ，在Θ中选取一个θ^，使得当θ=θ^时样本观测结果即事件（X1=x1，X2=x2，…，Xn=xn）出现的概率L（θ）达到最大值，则称θ^为θ的最大似然估计，L（θ）称为样本的似然函数.

在一次随机试验中，若某一个具体的试验结果发生了，则认为当时的条件最有利于该结果的发生，即一次试验就出现的事件有较大的概率.既然事件“取到 2 个白球，1 个黑球”已经发生，则此事件具有最大的概率，而当θ=0.9时，此事件的概率最大，所以认为袋子中白球多.这种统计思想即待估参数的值应使抽到的样本观测值出现的可能性最大，正是最大似然估计法的理论依据，称之为最大似然原理.

3.理论分析.

通过以上实例的介绍，学生已经知道什么是参数的最大似然估计.那么如何求解参数的最大似然估计呢？对于这个问题的解决，教师应采用问题创设的教学方法，按照循序渐进的原则设计问题.在课堂教学活动中，问题创设是最常见的一种启发式教学方法，因其具有易于操作和便于把控等特点，被高校教师所青睐.这种教学方法有助于促进师生之间的互动交流，有利于对学生数学思维的培养.下面设计了三个问题：

（1）如何建立样本的似然函数？

若总体X是离散型的，已知其分布概率为P（X=ai）=p（ai;θ），i=1，2，…，θ∈Θ，则

L（θ）=P（X1=x1，X2=x2，…，Xn=xn）=∏ni=1p（xi;θ）.

若总体X是连续型的，已知其概率密度函数为f（x;θ），则

L（θ）=∏ni=1f（xi;θ）.

教师要引导学生注意区分两类总体中样本似然函数在形式上的差异性，即一类是样本分布律的连乘积，另一类是样本概率密度的连乘积，但从本质上讲两类似然函数都是样本观测值和总体分布参数的函数，都是样本的联合分布.

（2）如何求解似然函数L（θ）的最大值点？

为获取似然函数L（θ）的最大值点，通常需要求导数，而似然函数一般都是连乘积的形式，为便于求导，首先对似然函数求对数得ln L（θ），称之为对数似然函数.由于对数函数特有的性质，L（θ）和ln L（θ）在同一点θ=θ^处达到最大值，即极大化似然函数和极大化对数似然函数是等价的.此时教师可引导学生回顾高等数学中函数求最值的一般方法，θ的最大似然估计θ^可由方程（组）

ln L（θ）θi=0，i=1，2，…，n

获得，称以上方程（组）为对数似然方程（组）.

（3）求解总体未知参数最大似然估计值的一般步骤是什么？

综上，让学生归纳总结求未知参数最大似然估计值的一般步骤：首先求出似然函数L（θ）的表达式，其次求似然函数的极值点.这一教学过程能够让学生开动脑筋思考，既锻炼了学生独立思考问题的能力，又发展了逻辑思维的能力.

教师应以以上一系列问题为主线对重要知识点展开深入讲解，并穿插课堂提问，以提高学生的课堂专注力，比如，对于连乘积形式的似然函数有没有简单的求导途径呢？问题由浅入深，层层递进，逐步开启学生的积极思维.

4.例题详解.

例题讲解是数学课程必不可少的一个教学环节，是教师教会学生独立思考问题，进而解决问题的重要过程.例题讲解的主要作用在于帮助学生理解巩固理论知识，让学生更好地掌握重点知识，实现对新授知识的初步理解和应用.

例1 设总体X服从正态分布

f（x）=12πσe-（x-μ）22σ2，

其中σ2是已知参数，μ是未知参数，x1，x2，…，xn为样本的一组观测值，求参数μ的最大似然估计值.

解 似然函数为

L（μ）=∏ni=112πσe-（xi-μ）22σ2=（2πσ2）-n2e-12σ2∑ni=1（xi-μ）2，

取对数得对数似然函数为

ln L（μ）=-n2ln（2πσ2）-12σ2∑ni=1（xi-μ）2，所以对数似然方程为dln L（μ）dμ=1σ2∑ni=1（xi-μ）=0，

解得

μ^=1n∑ni=1xi=x-，

由

d2ln L（μ）dμ2=-nσ2<0

知μ^=x-是对数似然函数的最大值点，因而x-是μ的最大似然估计值.

教师通过对例题1的详细讲解，带领学生熟悉求解最大似然估计值的一般步骤，加深对新知识的理解.这一教学环节开发了学生的数学智慧，培养了学生的课堂参与意识和创新意识.

5.实战演练.

课堂练习是课堂教学活动的一个重要环节，以学生演练为主，教师讲解为辅，教师将学习主动权最大限度地还给学生，充分发挥学生的主体地位.学生通过动手练习可以更深入地理解理论知识，切身体会数学的思想方法，体会学习知识的快乐，从而提高学习效率.教育理论家曾明确指出，“最有效的学习方法就是让学生在体验和创造的过程中学习”.对于最大似然估计法的演练教学部分，教师从例题1出发，将问题延伸到两个未知参数的最大似然估计值（例2），启发学生通过类比的思想亲自动手演练，体会其中的异同.

例2 设总体X服从正态分布

f（x）=12πσe-（x-μ）22σ2，

其中μ，σ2是未知參数，x1，x2，…，xn为样本的一组观测值，求参数μ，σ2的最大似然估计值.

解 似然函数为

L（μ，σ2）=∏ni=112πσe-（xi-μ）22σ2=（2πσ2）-n2e-12σ2∑ni=1（xi-μ）2，

取对数得对数似然函数为ln L（μ，σ2）=-n2ln（2πσ2）-12σ2∑ni=1（xi-μ）2，所以对数似然方程组为

ln L（μ，σ2）μ=∑ni=1（xi-μ）σ2=0，ln L（μ，σ2）σ2=-n2σ2+∑ni=1（xi-μ）22σ4=0，解得

μ^=1n∑ni=1xi=x-，σ^2=1n∑ni=1（xi-x-）2.

学生通过动手演练，体会到了单参数和多参数最大似然估计的异同，不仅锻炼了学生独立思考的能力，还锤炼了学生的总结概括能力.上面例题解决了单参数和多参数的最大似然估计问题，那么未知参数函数的最大似然估计值又如何求解呢？给出如下例题：

例3 设总体X服从正态分布

f（x）=12πσe-（x-μ）22σ2，

其中σ2是已知参数，μ是未知参数，x1，x2，…，xn为样本的一组观测值，求参数μ的函数g（μ）=1μ的最大似然估计值.

教师先鼓励学生根据例题1的结果猜想本题的答案，学生一般都能给出结果，但不知道是否正确，教师可以给出如下最大似然估计的性质：

最大似然估计的不变性 设参数θ的函数u=u（θ），θ∈Θ具有单值反函数，又假设θ^是总体X的概率分布中参数θ的最大似然估计，则u^=u（θ^）是u（θ）的最大似然估计.

解 由例1知，参数μ的最大似然估计值为μ^=x-，根据最大似然估计的不变性，g（μ）=1μ的最大似然估计值为

g（μ^）=1μ^=1x-.

由单个未知参数最大似然估计的求解，类比到两个未知参数最大似然估计的求解，再进一步延伸到涉及最大似然估计不变性的未知参数函数的估计问题，以问题为导向，在层层递进的演练中，引导学生的创新思维，使学生更加深刻地理解理论知识.这一教学过程让学生亲自动手演练，锻炼了学生独立解决问题的能力，巩固了课堂教学效果，提高了教学效率.

6.提高升华.

为更好地理解新授知识，在教学活动的最后，教师应提出几个富有启发性的问题，引导学生探索新知，更深层次地启发学生的求知欲.关于最大似然估计法，教师可设计如下几个思考题：

（1）如果似然函数没有驻点或者不可导，如何求解未知参数的最大似然估计值？

（2）未知参数的极大似然估计值一定存在吗？

（3）当总体未知参数的极大似然估计值存在时，是否唯一？

学生有了一定的知识积累后，教师可启发学生积极主动地独立思考以上问题，争取自己给出结论.最后，教师结合学生的课堂反馈情况借助PPT进一步解释其中的缘由，加深对最大似然原理的理解，分别给出如下两个例题.

例4 设某种灯泡的使用寿命X的概率密度函数为

f（x）=2e-2（x-θ），x≥θ，0，x<θ，

其中θ>0为未知参数，x1，x2，…，xn为样本的一组观测值，求参数θ的最大似然估计值.

解 似然函数为

L（θ）=2ne-2∑ni=1（xi-θ），xi≥θ（i=1，2，…，n），0，其他，

当xi≥θ时，L（θ）>0，取对数得对数似然函数为

ln L（θ）=nln 2-2∑ni=1（xi-θ），

因为dln L（θ）dθ=2n>0，所以似然函数L（θ）关于参数θ是单调递增的函数，根据最大似然原理，当参数θ取到最大值时，似然函数L（θ）达到最大，而θ必须满足θ≤xi（i=1，2，…，n），因此当θ取x1，x2，…，xn中的最小值时，L（θ）取最大值，由此知θ的最大似然估计值为

θ^=min（x1，x2，…，xn）.

本题出现了对数似然函数无驻点的情况，dln L（θ）dθ=2n>0，教师要引导学生注意本题的特殊性，强调当似然函数无驻点时应用极大似然原理解决，对似然函数或对数似然函数求导数只是寻求最大似然估计值的一种策略，而不是必须的步骤.

例5 设总体X的概率密度函数为

f（x）=1，θ-12≤x≤θ+12，0，其他，

其中θ是未知参数，x1，x2，…，xn是一组样本观测值，求参数θ的最大似然估计值.

解 似然函数为

L（θ）=1，θ-12≤xi≤θ+12（i=1，2，…，n），0，其他，

根据最大似然原理，当θ-12≤xi≤θ+12（i=1，2，…，n），

即x（n）-12≤θ≤x（1）+12时这里x（1）=min（x1，x2，…，xn），x（n）=max（x1，x2，…，xn），似然函数最大为1，所以所有满足不等式

x（n）-12≤θ≤x（1）+12的估计值θ^都可以作为θ的最大似然估计值.而当x（n）-12>x（1）+12时，参数θ的最大似然估计值不存在.

此例题说明总体未知参数的最大似然估计值不总是存在.

教师在这一教学环节中引导学生开拓了思路，留给了学生充分的獨立思考空间，体现了启发式教学的主动性.

整个课堂教学始终贯彻启发式教学的思想，这种启发式教学模式既保留了传统教学中知识讲解的系统性，又贯彻了“以学生为中心”的教学理念，充分发掘了学生的积极思维，把课堂还给学生.

三、结 论

最大似然估计法具有一定的抽象性，因此教师为提高教学效果，应将启发式教学思想融入课堂活动的始终，充分调动学生学习的主动性，启发学生的积极思维，让学生亲自动手演练，真正参与课堂.这种教学设计不仅锻炼了学生独立思考问题的能力，而且培养了学生独立解决问题的能力，有助于学生的全面发展.

【参考文献】

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[2]高玲玲.启发式教学在数学教学的应用[J].数学学习与研究，2019（03）：98.

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