一道考博试题引出的幂级数收敛域探讨

刘慧璋

【摘要】本文从一道考博试题出发，对含有未知常数的幂级数的收敛域进行了分情况讨论，并对幂级数收敛半径的求解尝试了两种方法的对比.

【关键词】考博试题;幂级数;收敛域;分类讨论;对比

1 引言

对幂级数收敛域的探讨是一类典型问题.要探讨收敛域得先求解收敛半径，而收敛半径的求解通常有两种方法：系数模比值法和系数模根值法.这两种方法各有其适合的题型.有些题虽然两种方法皆可用，但对比发现，其中一种会更严密，更适合.本文就从一道考博试题出发，在系数含有未知常数需要分类讨论的情况下，详细地讨论收敛域的求解，并在收敛半径的求解上对两种方法进行对比.

2 试题与分析

求幂级数∑∞n=1ann+bnn2xn（a>0，b>0）的收敛域.

这是2019年某院校招收博士研究生微积分科目的一道试题.试题初看是一道普通的幂级数收敛域求解问题，但仔细观察审题后发现，系数中含有未知常数，虽然已知常数都大于0，但是常数间大小关系并不知道，而常数的大小关系直接关乎收敛半径的求解，进而影响收敛域的结果，所以必须对常数a和b的大小关系进行分类讨论.

3 问题的求解

（1） a=b时，收敛半径R的求解用系数模根值法：设系数项为un，则

1R=limn→∞nun=limn→∞nann+bnn2

=limn→∞nann+bnn2，

此极限的求解用两边夹准则，

ann=nann2

=（n+1）ann2≤（n+n）ann2=2ann，

而

limn→∞nann=limn→∞ann=a1=a=1·a1

=limn→∞21nann=limn→∞n2ann，

故R=1a，則收敛区间为-1a，1a，下面确定端点收敛性.

（i）x=1a时，幂级数化为数项级数：

∑∞n=1ann+bnn21an=∑∞n=1ann+ann21an

=∑∞n=11n+∑∞n=11n2，

其中调和级数∑∞n=11n发散，p级数∑∞n=11n2的p=2>1收敛，所以此时幂级数发散.

（ii）x=-1a时，幂级数化为数项级数：

∑∞n=1ann+bnn2-1an=∑∞n=1ann+ann2（-1）nan

=∑∞n=1（-1）nn+∑∞n=1（-1）nn2，

其中交错级数∑∞n=1（-1）nn收敛，交错级数∑∞n=1（-1）nn2绝对收敛，所以此时幂级数收敛.

综上，a=b时原幂级数的收敛域是-1a，1a.

（2） a>b时，

1R=limn→∞nun=limn→∞nann+bnn2

=limn→∞nann+bnn2，

两边夹准则，

ann=nann2

nan+bnn2

而

limn→∞nann=a=limn→∞n2ann，

故R=1a，则收敛区间为-1a，1a，下面确定端点收敛性.

（i）x=1a时，幂级数化为数项级数：

∑∞n=1ann+bnn21an=∑∞n=1ann+bnn21an

=∑∞n=11n+∑∞n=11n2ban，

其中调和级数∑∞n=11n发散，正项级数∑∞n=11n2ban用根值判别法：

limn→∞n1n2ban=limn→∞ba·1（nn）2=ba<1，

所以∑∞n=11n2ban收敛，此时幂级数发散.

（ii）x=-1a时，幂级数化为数项级数：

∑∞n=1ann+bnn2-1an=∑∞n=1ann+bnn2（-1）nan

=∑∞n=1（-1）nn+

∑∞n=1（-1）nn2ban，

其中交错级数∑∞n=1（-1）nn收敛，

交错级数∑∞n=1（-1）nn2ban绝对收敛，所以此时幂级数收敛.

综上，a>b时原幂级数的收敛域是-1a，1a.

（3） a

1R=limn→∞nun=limn→∞nann+bnn2

=limn→∞nann+bnn2，

两边夹准则，

bnn2

≤nbn+nbnn2=2bnn，

而

limn→∞nbnn2=limn→∞b（nn）2=b12=b=1·b1

=limn→∞21nbnn=limn→∞n2bnn，

故R=1b，则收敛区间为-1b，1b，下面确定端点收敛性.

（i）x=1b时，幂级数化为数项级数：

∑∞n=1ann+bnn21bn=∑∞n=1ann+bnn21bn

=∑∞n=11nabn+∑∞n=11n2，

其中p级数∑∞n=11n2收敛，正项级数∑∞n=11nabn用根值判别法：

limn→∞n1nabn=limn→∞ab·1nn=ab<1，

所以∑∞n=11nabn收敛，此时幂级数收敛.

（ii）x=-1b时，幂级数化为数项级数：

∑∞n=1ann+bnn2-1bn=∑∞n=1ann+bnn2（-1）nbn

=∑∞n=1（-1）nnabn+

∑∞n=1（-1）nn2，

其中交错级数∑∞n=1（-1）nn2绝对收敛，

交错级数∑∞n=1（-1）nnabn也绝对收敛，所以此时幂级数收敛.

综上，a

4 收敛半径的系数模比值法求解

（1） a=b时，收敛半径R的求解用系数模比值法：设系数项为un，则

1R=limn→∞un+1un=limn→∞an+1n+1+bn+1（n+1）2ann+bnn2

=limn→∞an+1n+1+an+1（n+1）2ann+ann2=limn→∞nn+1+n（n+1）21+1na

=1+01+0·a=a，

所以R=1a.

（2） a>b时，

1R=limn→∞un+1un=limn→∞an+1n+1+bn+1（n+1）2ann+bnn2

=limn→∞nn+1+n（n+1）2·ban+11a+1n·ban·1a

=1+01a+0=a，

所以R=1a.

（3） a

1R=limn→∞un+1un=limn→∞an+1n+1+bn+1（n+1）2ann+bnn2

=limn→∞n2n+1·abn+1+n2（n+1）2n·abn+1b，

其中，

limn→∞n2n+1·abn+1=limn→∞n2n+1ban+1

=limn→∞n-1+1n+1ban+1

=∞∞limn→∞1-1（n+1）2ban+1·lnba

=0，

limn→∞ n·abn=limn→∞nban=∞∞limn→∞1ban·lnba=0，

所以1R=0+10+1·b=b，R=1b.

5 總结

通过这道考博试题，我们发现求解幂级数收敛域问题时，若系数项有未知常数，则通常需要对其进行分类讨论.而在第一步求解收敛半径时，系数模比值法和系数模根值法也许都能用，但针对不同类型的系数项特点，会有一种方法更适合、更严密、更简便.

【参考文献】

[1]郝新生.应用数学[M].北京：中国农业出版社，2017.

[2]郝新生，薛自学.高等数学（下册）[M].北京：中国农业出版社，2017.

[3]方桂英，崔克俭.高等数学：第四版[M].北京：科学出版社，2018.