一种新型变刚度柔顺关节设计与分析

王新庆，刘艳立，李世庆，文 岩，王继荣

（中国石油大学（华东）机电工程学院，山东 青岛 266000）

当前，机器人应用范围日益广泛，从工业和生活服务领域不断向其他行业领域扩展，同时人机交互的场面越来越多。为保障在人机协同工作过程中工人的安全，减少意外事故的发生，对机器人的安全性提出了更高的要求。传统的高刚性关节在追求机器人工作精度的同时，在人机交互过程中埋下了重大安全隐患。因此，研发一种具有环境适应性和人机交互安全性的可变刚度柔顺关节成为亟待解决的问题［1-3］。

国内外学者对如何实现关节的变刚度进行了大量的理论研究和技术探索，提出了多种实现关节柔顺性驱动的方案［4-8］。例如，Hirzinger 等［9-10］提出了变刚度柔顺关节（Variable Stiffness Joint，VSJ），其结构由2 个相对的凸轮盘和4 个压缩弹簧组成，利用关节旋转改变凸轮滚子在凸轮盘的位置，通过改变弹簧预紧力的方法改变关节的刚度特性。Choi 等［11］提出了一种变刚度关节，采用并联驱动，VSJ 在装置中心轴固定4 根叶弹簧片，使用1个四连杆机构改变弹簧的有效长度，达到变刚度的目的。武汉科技大学潘孝越等［12］提出一种基于阀控泄漏流量调节的变刚度柔性关节，实现了大转矩、刚度连续变化的液压柔顺伺服关节。东北大学张明等［13］提出了一种基于永磁变刚度装置的绳索驱动式柔顺关节，在关节电机输出扭矩不增加的情况下，提高了关节刚度调节范围。

本文设计了一种串联可变刚度弹性机构的新型变刚度柔顺关节。基于悬臂梁的变刚度原理，采用凸轮四连杆机构实现变刚度调节。在阐述变刚度柔顺关节的变刚度机理及机械结构的基础上，推导出关节刚度与实际作用长度之间的理论关系式，得到关节刚度与刚度电机的旋转角度对应关系。根据关节的机械结构建立变刚度调节机构的数学和关节动力学模型，完成了关节动力学仿真实验，研究变刚度柔顺关节在不同刚度条件下关节的输出特性。

1 变刚度关节调节原理

变刚度关节结构采用关节驱动器串联变刚度机构的方式。关节驱动器由关节电机和谐波减速器组成，变刚度机构由变刚度柔性元件、凸轮四连杆机构和刚度电机组成。关节电机的输出端连接谐波减速器的波发生器，钢轮固定，柔轮与变刚度机构串联，变刚度弹性部件的另一端串联连杆作为整个关节系统的输出。串联驱动结构如图1所示。

变刚度机构调节关节的刚度大小，采用悬臂梁原理，将弹簧片固定到减速机输出端连接的法兰盘上，另一端连接关节系统的输出部分，构成悬臂梁结构，通过改变支点在悬臂梁中的位置调节关节刚度的大小，如图2 所示。当支点在弹簧片的末端时，柔性元件变形区最长，关节系统刚度较小；当支点在弹簧片的另一端时，柔性元件无变形区，变刚度柔顺关节变为纯刚性关节。

图2 变刚度柔顺关节结构原理Fig.2 The principle of variable stiffness compliant joint structure

弹簧片变刚度原理如图3所示。

图3 弹簧片变刚度原理示意图Fig.3 Schematic diagram of spring leaf variable stiffness principle

悬臂梁挠度曲线公式为

式中：E为弹簧片的弹性模量，200 GPa；I为弹簧片的截面惯性矩；ω为弹簧片的挠度；F为弹簧片自由端所受集中力；l为弹簧片受力作用点与固定端的距离。

得到变刚度柔顺关节的关节刚度为

式中，K为关节刚度；b为弹簧片宽度；h为弹簧片厚度；D为固定端中心轴的直径。

计算可得，当b、h、E以及直径D为常数时，变刚度柔顺关节的刚度值随l的增大呈非线性减小。因此，可以通过改变l的大小，调节变刚度柔顺关节刚度。

2 变刚度关节机械结构设计

变刚度柔顺关节的三维模型结构如图4 所示。关节电机输出关节力矩，经过谐波减速器减速后，谐波减速的柔轮输出扭矩带动法兰盘旋转，在法兰盘另一侧设置弹簧固定座，在固定座上以180°的角度均匀固定2 个弹簧片，弹簧片随法兰盘旋转。四连杆机构上的支撑滚轮与弹簧片接触，凸轮旋转调节四连杆机构使支撑滚轮可以沿2 个弹簧片直线移动，弹簧片通过支撑滚轮输出力矩带动四连杆机构旋转，四连杆机构及与其相连的连杆旋转作为关节整体输出。

图4 变刚度柔顺关节三维模型Fig.4 Three-dimensional model of variable stiffness compliant joint

如图5 所示，变刚度柔顺关节实现的具体过程为：变刚度机构中刚度电机旋转带动锥齿轮旋转，锥齿轮带动凸轮旋转，使四连杆机构伸缩，改变了四连杆机构支撑滚轮的位置，进而改变柔性元件有效长度，实现关节的不同变刚度特性。当关节输入相同扭矩时，柔性元件的有效长度不同，其关节的刚度也不同。

图5 变刚度调节机构Fig.5 Variable stiffness adjustment mechanism

确定变刚度机构调节方案后，变刚度机构的关键零部件设计会直接影响变刚度柔顺关节的运动特性。在变刚度机构中，凸轮轮廓决定了四连杆的运动规律，四连杆弹簧片支点的位置决定了弹簧片有效长度和关节刚度的大小，因此，准确设计凸轮的轮廓可以获得预期的关节刚度变化规律。

四连杆机构选择不同的运动规律将影响凸轮机构的工作质量，其运动规律不同，适用的场合也不同。在本关节变刚度调节机构中，四连杆机构的伸缩选择等加速等减速的运动规律，其受到柔性冲击且运动反应较快，能够快速改变变刚度柔顺关节的关节刚度。

等加速运动规律的运动方程式为

式中：s为推杆位移；h为推杆的行程；δ为凸轮转角；δ0为推程运动角；v为推杆速度；ω为凸轮角速度。

等减速运动规律的运动方程式为

凸轮参数表如表1所示。

表1 凸轮参数表Tab.1 Cam parameter table

根据凸轮理论轮廓曲线的计算参数及选用的凸轮形式、运动规律，使用Matlab 工具，通过编写凸轮理论轮廓曲线程序计算出凸轮轮廓，得到凸轮三维实体模型，如图6所示。

图6 凸轮三维实体模型Fig.6 Three-dimensional solid model of cam

3 变刚度柔顺关节数学建模与仿真

3.1 变刚度柔顺关节调节机构模型与仿真

通过变刚度调节原理计算得到变刚度柔顺关节的关节刚度K。刚度电机旋转通过主动锥齿轮带动从动锥齿轮旋转，从动锥齿轮带动凸轮旋转，刚度电机输出角度θm2与凸轮旋转角度θ2之间的关系为凸轮的旋转带动四连杆机构伸缩调节支撑点在弹簧片上的位置，凸轮旋转角度与滚轮行程的关系为其中，q为凸轮的升1程角度，h为最大行程。本设计中，支撑点的实际位置与滚轮中心的实际位置有偏差b，因此，支撑点实际的位置为+r0+b，其中，r0为凸轮基圆半径。

将参数代入，综合以上各式，可得刚度电机旋转角度与关节刚度之间的关系式为

根据刚度电机旋转角度与关节刚度之间的关系式，建立变刚度调节机构的仿真模型。刚度电机通过锥齿轮带动凸轮旋转，凸轮旋转带动四连杆伸缩改变四连杆支撑机构滚轮的位置，改变了柔性元件的变形长度，根据变形长度范围得到关节刚度范围。

刚度电机旋转角度与关节刚度的关系如图7所示。根据图中曲线可知，关节刚度与刚度电机旋转角度呈非线性减小，刚度电机旋转角度从0°转到180°，弹簧片的刚度由最大780 N·m·rad-1持续变化到最小180 N·m·rad-1，当刚度电机旋转角度达到180°时，关节刚度最小。由此可得刚度电机完成位置调节后的关节刚度大小，便于在实际使用中进行控制。

图7 关节刚度与刚度电机旋转角度关系图Fig.7 Diagram of the relationship between the joint stiffness and the rotation angle of the stiffness motor

3.2 变刚度柔顺关节动力学模型与Matlab仿真

变刚度柔顺关节的动力学模型是研究关节动力学特性的基础。在建立关节动力学模型时，考虑电机和传动系统的惯性、摩擦力等因素，使关节动力模型的动力学特性更加接近真实关节。本关节由关节驱动器串联变刚度机构组成，如图8 所示。图中，τ为电机输出转矩，θ为关节电机的转角，τH为谐波减速器输出转矩，θH为谐波减速器输出转角，τl为变刚度机构输出转角，θl为变刚度机构输出转角，τext为负载转矩。

图8 关节整体动学模型Fig.8 Joint dynamic model

关节电机的旋转在实际工作环境中要克服惯性、摩擦力以及工作负载，根据电动机转子上的转矩平衡方程式为

式中：Cm为电机摩擦系数；Jm为电机转子转动惯量。

关节电机经过谐波减速器减速，关节电机输出转矩τ与谐波减速器输出转矩τH的关系为谐波减速器输出转角θH与电机输出转角θm之间的关系为变刚度关节存在柔性元件以及各个零件之间的摩擦，与刚性系统建模不同，根据牛顿第二定律，谐波减速器输出转矩为

式中：Ks为弹簧的弹性系数。

关节输出部分的平衡方程式为

整理得关节的动力学模型

根据变刚度关节的动力学模型，在Simulink中建立可变刚度柔顺关节动力学模型框图，如图9所示。

图9 关节整体动力学仿真Fig.9 Joint dynamics simulation

不同关节刚度时，变刚度柔顺关节输出转角随时间变化的情况如图10 所示。由图可知，随时间增长，关节仿真系统输出角度逐渐增大。当关节仿真系统刚度越小，关节仿真系统输出角度波动越大；关节刚度越大，关节仿真系统输出角度波动越小。关节模型仿真速度曲线如图11 所示。由图可知，关节刚度越大，输出速度抖动越小。综上可得，变刚度柔顺关节在不同刚度时，关节输出角度抖动情况不同，关节刚度越大，关节仿真系统输出角度波动越小，输出速度抖动越小。具体应用到机器人运行中，可以提高人机交互的安全性，在不同工作情况下应用不同的关节刚度，满足安全性能要求。

图10 模型仿真关节转角曲线及局部放大图Fig.10 Model simulation joint angle curve and partial enlarged view

图11 模型仿真关节速度曲线Fig.11 Model simulation joint speed curve

4 结论

本文针对传统刚性机器人在人机协作过程中发生碰撞等产生的安全性问题，设计了一种新型变刚度柔顺关节，主要结论如下：①提出一种基于串联可变刚度弹性机构的变刚度机理，阐述了变刚度关节的驱动原理，设计了变刚度调节机构，采用凸轮四连杆机构，设计了凸轮轮廓曲线，使关节无刚性冲击，达到最佳刚度特性。②建立了变刚度调节机构数学模型和变刚度柔顺关节动力学模型，利用Simulink 仿真分析得到了关节在不同刚度值下输出的关节转角和关节速度特性曲线，角度和速度曲线较平稳，验证了变刚度柔顺关节设计方案的可行性，相比传统刚性机器人，提高了人机交互的安全性。