例谈“归纳五看”

路江江，邓宏伟，刘菲菲

（西北师范大学 教育学院，甘肃 兰州 730070）

数学归纳推理是数学学科核心素养的重要组成部分，是探求新知识的一种极其重要的科学认识方法，“我国基础教育在学生思维能力的培养中，在过去很长的时间内重视演绎推理，忽视了归纳推理，而归纳推理主要弱在了归纳能力的训练上， 给创新性人才的成长带来了严重的障碍，导致了思维发展不完善”[1-2]。义务教育课程标准（2011版）中强调归纳推理思想是基本数学思想之一，普通高中数学课标（2017版）中强调归纳推理是数学逻辑推理的重要部分，是教科书中的重要内容，是得出数学命题的主要方法之一[3]。因此，注重归纳推理的培养与研究，对数学教育教学非常有必要且意义深远。目前关于归纳推理的研究已非常广泛，但对数学归纳推理认知过程的案例分析寥寥无几。恩格斯曾断言：“世界上的任何归纳法，都永远不会帮助我们把归纳过程弄清楚。只有对这个过程的分析才能做到这一点”[4]。因此对于归纳过程的分析显得尤为重要，这里将借助李兴贵、王新民教授所提出的数学归纳推理需经历的5个基本的认知阶段——“归纳五看”理论，包括个别的看，重复的看，想象的看，抽象的看，一般的看[5]。运用数学归纳推理的基本认知过程，对《数学与猜想》中的问题进行剖析，发现其数学归纳推理中所蕴含的思维方式与量化关系，力争为学习者提供数学归纳推理案例学习的分析模式。

1 案例剖析

案例：一个三角形的三边长分别是k、m和n、k、m，和n都是正整数且k≤m≤n[取n=1，2，3，4，5…]，对于给定的n，求满足所述条件的不同三角形的个数。求出三角形的个数依赖于n的一般规律。

分析：仔细分析题干， 三角形的三边长分别是k、m和n且k、m和n都是正整数，已知k≤m≤n且三角形三边之间的关系是“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，则k+m＞n＞m-k，题干是对于给定的n，求满足条件的三角形个数。起始学习者面对这样的问题会感到无从下手，因为k、m、n，字母表征很多，解析时会产生定量的畏惧感和不确定感，但进一步研究会发现k和m依赖于n，而对于给定的n既可表示1也能表示100，以致能表示任何正整数，那么n的变化情况该如何研究呢？n是多变的、无规律的及无顺序的，如何才能将n的变化变得有规律，有顺序？联想到小学阶段“数数”内容的学习，从0，1，2， 3，4…，自然数就是一个顺序的体现，后面一个数比前面一个数多1，如阶梯类似，一梯一梯的循环递增。于是解决了如何将n变得顺序化和规律化，然后对n依次进行赋值，n=1，n=2，n=3，…n=k。但当n确定后，求满足所述条件的不同三角形的个数，该如何解决呢？

1.1 个别的看

以个别数值n=1，2，3，4，5，6作为研究的对象，通过多种直观的观察、特殊形式的组合和数值运算操作，对数值n进行相应的编码加工，可以形成以下的量化关系，令“三角形的个数=Sn”。

当n=1时：m=1，k=1，S1=1。

当n=2时：m=2，k=2；m=2，k=1，S2=2。

当n=3时：m=3，k=3；m=3，k=2；m=3，k=1；m=2，k=2，S3=4。

当n=4时：m=4，k=4；m=4，k=3；m=4，k=2；m=4，k=1；m=3，k=3；m=3，k=2，S4=6。

当n=5时：m=5，k=5；m=5，k=4；m=5，k=3；m=5，k=2；m=5，k=1；m=4，k=4；m=3，k=3…，S5=9。

当n=6时：m=6，k=6；m=6，k=5；m=6，k=4；m=6，k=3；m=6，k=2；m=6，k=1；m=5，k=5；m=5，k=4 …，S6=12。

在上述过程中，产生的思维方式是以6个数值事例为特殊对象的特殊判断，虽可对不同的数值进行不同的组合运算操作，但其中量化关系之间缺乏明显联系，即缺乏相似性和一致性。

1.2 重复的看

对比分析数值n在取6个不同数值时量化关系的差异性和相似性，可以发现不同的n值都满足k≤m≤n；Sn随n值的变化而发生变化；当n为1，3，5时，Sn分别对应1，4，9，恰好是正方形数，其中正方形数一般指平方数，是可以写成某个整数平方的数[6]，Sn变化的结构可能具有n取奇数值对应Sn的平方数形式；当n为2，4，6时，Sn分别对应2，6，12，这一组数进行改写：2×1，2×3，3×6，恰好是三角形数的2倍，其中三角形数是指具有1，3，6等一定规律能表示成三角形的形状的总数量的数[6]，Sn变化的结构可能具有形式n取偶数项值对应组合数三角形数的2倍。上述虽可看出抽象的意蕴和形式，但这种抽象是模糊的、局部的和不确定的， 这种结构并非精确地区分各个量化关系特征的基础上进行的，而是根据模糊的、含糊的共同性的影响而形成的[2]，这种变化结构只是所观察6个特殊数值的特征，仅适应于直观看到的特殊情况，是一种局部的假设，若要发展成为一种整体的假设，变成一般化情况，则需要更多的不同数值进行验证，从而去突破局限性。

1.3 想象的看

在“重复的看”的基础上进行思维的过程，具体包括，联想、想象、创造。

当n=7时：S1=16

当n=8时：S8=20

当n=9时：S9=25

此时，不同n值下的Sn已经属于非运算、特殊组合的结果， 而是大脑思维活动及思维方式的产物。在实际的运算过程中，三个不同数值下的量化关系、构想的方式和组合的过程可能会有所不同，其中n=7时，Sn的个数属于相邻奇数值的构想，所依据的是n为奇数值时的顺序，属于“顺序感”的产物；n=8时，Sn的个数属于相邻偶数值的构想，所依据的是n为偶数时的顺序，属于“顺序感”的产物；而n=9时，Sn的个数属于相隔奇数值的构想，几乎不能依靠于“顺序感”去构想，所依据的则是n值相邻两项的加减乘除 通过后一项与前一项的相减能得出，即Sn=Sn-1，可得出一组数：1，2，2，3，3，4，4，发现从n值第二项起，后一项减前一项会出现两个相同的数，并且这些数是连续的自然数，由此可以推测下一个差值是5，它是对具体直观观察、组合和运算的一种超越。

上述过程通过联想、想象和创造类似的数值去证明局部的假设，这个过程区别于多种直观的观察和数值运算操作，突出了不同数值在变化中的相似性和一致性的量化关系。

1.4 抽象的看

将直观观察、运算与想象所得到的不同n的数值，当做一个整体去分析探究， 取相同属性的部分，删除无相交的部分， 形成全局性假设的认知过程。

通过抽象的看，从n值第二项起，后一项减前一项会出现两个相同的数，并且这些数是连续的自然数，并非对于个别的看中个别数值的直观概括，而是涵盖了任何n值的量化关系，属于全局性假设，一种是Sn-Sn-1，得到的一组数：1，2，2，3，3，4，4，…是量化关系的符号表征；另一种是奇数值对应平方数，偶数项值对应三角形数的2倍，其中是量化关系的符号表征，若对杨辉三角较为熟悉，则会发现属于杨辉三角的其中一列。用数字或字母进行表征，令n1=2a-1，a为自然数，即n1为n的奇数值，又即平方数同理，令，n2= 2a，a为自然数，即n2为n的偶数值，又，即组合数综上所述，整理得 。

上述过程中，抽象的看也是大脑内部的一种心灵组合，但已经超越原有局部的范围，增加了新的量化关系，对量化关系进行了整合，逐步深化、丰富了量化关系，对抽象性有了更深入和更宽泛的认识。

1.5 一般的看

一般的看是在上一过程的基础上，对全局性假设进行确认的过程，也是形成普适性模式的过程。通过对n=12的检验，认知数列的定义，三角形数、正方形数、杨辉三角等学习过程，得出全局性假设。对学习者本身而言，这不仅是一种抽象的量化关系，而且也是一种有效的学习方法和必备的知识基础和技能。此外，一定程度上不仅对“抽象的看”进行了假设检验，而且还增强了学习者探究的信念。

2 研究启示

2.1 重视数学活动经验的积累是基础

谚语“口落胭脂红，无雨必有风”“蚂蚁搬家蛇过道，大雨不久就来到”等都是人们在生产实践中，观察气象经验的归纳总结。数学活动经验是建构知识意义的重要基础和基本方法，是同化学习的必要基础，是教育和学习的基本构件和必要前提，它是获得数学直觉的源泉，其根本价值是涵育创新能力，对于个体创新意识的生成很重要[7]。数学归纳推理的学习不是无源之水、无本之木，它必须“接地气”，更要有良好的数学学习基础和数学活动经验来支撑，数学归纳推理是一种比演绎推理更为“自然”的合情推理，其每一个阶段需要相应的数学活动经验去支撑，上述案例求解三角形依赖于n的一般规律时，经历“归纳五看”认知过程，每一步的认知过程都需要学习者相应的数学活动经验去支撑，例如，个别的看需要具备对三角形概念学习的活动经验、重复的看需要具备对三角形数、正方形数内涵的认识，抽象的看需要具备一定数列知识的基础和想象力的训练等，在教学中教师通过“归纳五看”去设计具体的教学活动，拓展学习一些基本数论的知识，包括三角形数、正方形数、四面体数等，使学生在相应“看”的阶段思维更加活跃、更具灵感、更易判断，进一步形成完整、清晰和丰富的数学归纳推理的活动经验。

2.2 循序渐进的分析问题是关键

循序渐进的教学是培养数学归纳推理能力的有效路径[8]。教师在数学归纳推理的教学中以及在具体案例分析中，应将“归纳五看”视为一个不可分割、不能分离的整体，看作一个有层次性、连续性的认知过程。学习过程中不应出现盲目急躁的分离，逾越、缩短及断层的现象，而应引导学生认真仔细地分析具体数值的量化关系，正如康德在他的名著《纯粹理性批判》中所说的，人类的一切知识都是从直观开始，从那里进到概念，其中直观代表着归纳推理的开始[9]。比如，在上述案例中判断三角形的变化规律时不能急于跨越到抽象的看之后的看，跳跃得到数值的变化规律，而应该逗留于数值量化现象面前，多观察、多分析、多比较，切实地经历“归纳五看”的过程，依次发现各认知阶段中的量化关系。

2.3 合理深入的探究问题是重点

数学归纳推理是一种从感性认识到理性认识的思维活动，考察的是未知世界中的量化关系，不属于一种循规蹈矩、预设一定生成的操作方式，教师在数学归纳推理的教学中需要为学生提供探究问题的环境，让学生结合自身的经验和观点去尝试、猜想、推断问题，引导学生组成一个有层次性、连续性的认知过程。例如，问题分析过程中教师需要让学生自己选择n的数值进行加工、操作及探索，自主观察、识别不同数值的量化关系，发现出一般规律；教学要让学生感知选取不同的数值去进行“归纳五看”是影响归纳推理可靠性的一个重要因素，因为如果没有足够多的特殊值，就无法体现出相似性或一致性，也就无法进行归纳推理。除此之外，所选取的特殊值在数量上要足够多外，在质量上也需要要有典型性，其典型性是指既能突出关键特征，又能剔除无关特征的干扰；教师要合理引导学生能够把一个具体问题抽象为用符号表达的一类问题，因为只有通过这种抽象才能真正把握一类问题的本质属性。

2.4 多元性思维能力的培养是根本

数学归纳推理区别于一般的归纳推理，具有独特的发散性，包含不确定的加工组合方式、不确定的前提条件、不确定的结果，在上述个别的看和重复的看中n的数值选取个数根据需要去确定，会产生不确定的猜想。鉴于此，在教学中，教师不应该把数学归纳推理统筹为统一的标准，不应该追求唯一的结果，应该鼓励学生去采用发散、开放的思维方式，从不同角度去观察同一事物，得到不同的印象，得到不同的启发，产生不同的想法，形成适合自身发展的归纳思维。在数学问题的解决过程中，教师要不断的总结与反思，找出培养学生数学思维的教学方式，结合自己的教学经验去思考如何培养学生的发散性思维，从而有效的提高学生的发散性思维能力，引导学生拓宽眼界。