论数学知识的多维属性与主题式表达

刘师妤　周龙虎

【摘 要】以数学知识的立场发展学生，可从数学知识的学科属性、文化属性及社会属性入手。数学知识的意义与价值，在于建构化、结构化与应用化，主题式教学模式能体现数学知识的多维发展属性，促进数学知识学习走深走实。按照数学知识的可探究性、形态特征及价值诉求，将主题式教学分为探究性主题、HPM主题和课题型主题，以完成对数学知识的审视。

【关键词】数学知识;学科属性;文化属性;社会属性;主题式教学

随着信息化、智能化的发展，知识总量以几何方式增长。学生有时很少看到整体性的知识，这些零散的知识成为一种与我们相隔离的外在的东西。知识教育的非整体性迫使我们重新审视知识的本质属性和发展特性。正确的知识观及其教学铸就了知识教育的精神内核，因此，教学要突出整体性原则。那么，如何让学生在较短时间内建立起对学科基本逻辑结构的认知与理解，并有效积累活动经验和积极情感，这是主题式教学亟待解决的问题。在主题式教学场景中，学生能自主探讨和学习，他们高度聚焦与主题相关的各种领域的学习内容。教师可以横向编选与该主题相关的教学材料，有时也可以直接打破学科之间的限制，在教学中整合不同领域的教学内容。如果主题式教学过多地强调整合的大学科观念（如整合的方式、整合内容的选取等外部条件），就会不自觉地削弱学科知识本身固有的属性。因此，主题式教学的逻辑起点应回归知识，依据知识给出教学研判，直至知识的价值被理解。

一、数学知识的多维发展属性

一般地，数学知识是指对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的概括与抽象。数学知识作为规则、观念、思想方法、信仰及传播模式一整套体系的表现载体，是一种供传播与传承的文化。数学的学习与传授也是文化熏陶与文化体验的过程，脱离了文化的数学知识就会背离人这一永恒主体，并反过来妨碍数学的发展。数学源于社会生活，又应用于社会生活。数学知识作为社会发展的推动者和见证者，发挥着独有的社会价值。数学知识的学科属性、文化属性及社会属性呈现出数学知识独特的价值。

（一）数学知识的学科属性

数学发展过程中的数学概念、公式、定理及所有数形关系的总和都属于数学知识的范畴。数学知识相较于其他学科知识有着本质的区别，对学科本质的探索往往以定义数学呈现。尽管迄今数学界对数学所下的定义有20种之多，但由于侧重或视角的缘故难以达成共识。从研究内容上进行定义，恩格斯认为数学是研究事物的数量关系与空间形式的一门科学。即使数学得到发展后衍生了诸如数学结构、数理逻辑等新的内容，都离不开对其数与形的讨论，因而数学是涵盖数与形的自然科学。我们可从研究的内容、方式、思维特质等层面重新审视数学知识的学科属性。

从研究的内容及方式来看，数学的研究内容是经过不断抽象化得到的数量关系、空间形式及由逻辑推理得到的各种关系与模式。数学具有较高的抽象性，不仅限于具体的研究对象，还体现在这一作用过程中的逻辑关系与思维形式上。抽象的必然产物是一类发现问题、解决问题的方法的归纳与有序结合，我们习惯将之提炼为数学模型。建立数学模型是将问题研究简单化、程式化的有效手段，并使之尽可能达到普遍性、确定性和可靠性的过程。《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称“数学课程标准”）明确指出建立模型是运用和解决问题的核心，即由实际问题出发，经过抽象、简化、假设、确定参数等过程建立数学模型并用数学的方式求解、确定参数，然后用实际问题的实测数据等来检验数学模型，最后做出调整后交付使用。事实上，为发展学生的数学建模核心素养，树立正确的模型观是建立数学模型的认知基础。已有的模型为新模型的产生提供借鉴。任何一个数学概念、定理、规律、法则、公式、性质、数量关系式、图表等都是经由数学化、符号化的数学模型，即任何数学内容都是模式化的产物。

从思维特质层面来看，数学家怀特海提出，数学是一门模式的科学。他认为，数学的本质特征就是在对模式化的个体进行抽象的过程中对模式进行研究，数学对于理解模式和分析模式之间的关系是强有力的技术，逻辑推理发挥着不可替代的作用。盡管人类认识事物的思维形式包括形象思维和辩证思维，但它们都难以成为数学中的模式。数学推理是否有效，能否证实或证伪，逻辑就是评判的标准。逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质[1]5。其特点是以抽象的概念、判断和推理作为思维的基本形式，以分析、综合、比较、抽象、概括的具体化作为思维的基本过程，从而揭露事物的本质特征和规律联系。数学研究过程的本质就是逻辑推理的两种形式——归纳推理（提供合理性）和演绎推理（阐明严谨性）。前者强调对命题的提出及对命题的直观理解，指引了数学研究的方向;后者按照假定前提和规定的法则进行验证，给出证明。

（二）数学知识的文化属性

学科文化是建构学科的根本，是学科发展的动力。如“数学文化”一词的内涵，简单地说，包含数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展;同时包含数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发展中的人文成分，以及数学与各种文化的关系[2]。

李大潜院士认为，长期以来，在人们认识世界和改造世界的过程中，数学作为一种精确的语言和一个有力的工具，一直发挥着举足轻重的作用。作为语言和工具的数学知识，是其他自然科学乃至人文社会科学的研究思维及表达形式，其文化属性可以通过数学语言的历史性呈现。

数学教育的价值在于关注数学知识的文化属性，学科文化成为学科独有的育人方式。数学课程标准强调数学文化的重要作用，要求通过各种形式渗透数学文化，让学生通过在高中阶段数学文化的学习，初步了解数学与人类社会发展之间的相互作用，体会数学的科学价值、应用价值、人文价值，开阔视野，寻求数学进步的历史轨迹，激发对于数学创新原动力的认识，同时让学生受到优秀文化的熏陶，领会数学的美学价值，从而提高自身文化素养和创新意识。毋庸置疑，数学文化的介入是大势所趋，它会对数学对象本质的研究产生一些干扰，我们要做的就是使这种介入和融合更自然。课堂中的引史和用典应当是数学史的教育形态，与原始形态的古今数学史是有区别的，至少在功能上要有所体现。前者首先是教育资源（如充当教学活动中某一环节，或是培养学生问题意识的学习资源等），而后者首先应具备文化价值。数学兼有经验性和演绎性二重性，但归根结底是一种文化。在追求数学史教育价值最大化的同时，文化价值也不可轻视，后者在前者的基础上应有传承，二者之间应该相互关联。教师只有对数学史有了正确的学科定位和积极的情感认知，基于数学史课例的开发与应用才能成为一种自觉教学行为。

（三）数学知识的社会属性

数学与社会同发展，理应审查数学知识的社会属性。现实世界是数学的出处，同样也是数学的归宿。数学课程标准明确指出，教师应该充分利用学生已有的生活经验，引导学生把所学的数学知识应用到现实中去，以体会数学在现实生活中的应用价值。数学知识具有极大的社会应用价值，华罗庚先生曾说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。”伴随着数学问题的不断提出与解决，数学知识疆界的不断拓宽，数学的应用接近呈现指数级增长。数学被誉为是思维的体操，能教人如何思考，能为科学决策提供依据，能为人的思维发展和社会进步提供强大的助推力。因此，着眼于现实世界的数学教学才能最大限度地激发学生的学习欲望与潜能，并感悟到“数学是有用的”。应用数学则是重新架构数学世界与现实世界之间的桥梁，是扩大数学应用价值范围的有效路径。

数学家怀特黑德曾说：“只有将数学应用于社会科学的研究之后，才能使文明社会的发展成为可控制的现实。”数学知识脱胎于现实世界，要经历漫长的过程才能回馈并造福于现实世界。因为数学知识一般要经历偏经验的计算数学，偏演绎的方法数学再到偏实用的应用数学等发展阶段。

二、以主题式表达数学知识的多维属性，促进学习走深走实

知识要遵循内在的逻辑发展，以形成相对完善的知识体系。知识的扩大化要借助理解的力量，更需要应用反过来助推其发展。主题式教学模式能体现数学知识的多维发展属性，促进数学知识学习走深走实。主题式教学中的主题不是单一的知识点，它首先应具备整合性，包括内容的整合，强调各知识间形成有机的联系。主题式教学的整合性在于重新梳理知识的内在逻辑，将分散的知识点汇聚成相对系统和完整的体系，以实现知识的横向流动。从知识流动的方向而言，贯穿知识必然是从某一知识到另一知识，知识的应用价值于无形中得到重塑。

数学知识的学科属性彰显了数学知识的理解、掌握过程及数学问题的解决过程，是一个多维度、多角度的思维探究过程。探究赋予知识以意义，因而可凝练为探究性主题;数学知识的文化属性体现了数学知识的演化脉络和发展的特质，体现为对数学史料的选择整合与借鉴，探究活动的开放性较探究性主题局限性更强，故概括为HPM主题;数学知识的社会属性强调数学知识的应用价值，直指学生的数学建模核心素养的培育，故称之为课题型主题。这三大主题既有共同之处，又各有侧重。

（一）探究性主题

探究性主题是指具有探究价值的主题。以数学学科为例，探究性知识指的是能使数学直觉思维、思辨思维及数学推演等诸多素养协同发展的知识。知识作为学生学习和理解的基本内容，不能只停留在对符号本身的理解上，而应该通过具体知识的学习，理解具体知识所表征的特定事物和事物的本质规律、价值意义、思想方法和情感态度，引导学生通过知识理解建立起与外部世界的内在关联性。任何知识的建构都是可探究的，这里强调的是基于数学理解过程的探究。英国数学心理学家斯根普（R.Skemp）将理解层次划分为工具性理解和关系性理解，旨在对理解的内在机制展开研究。有学者又在其基础上，提出工具性理解、关系性理解和创新性理解等分类[3]。因此，探究性主题的主要目的并非是结论的确定化（如证实或证伪），而是促进理解水平的换档升级。如以向量为载体确定探究性主题，工具性理解上要做到向量的表达形式以及向量在沟通数形上的作用，关系性理解上要做到向量在其他知识板块中的应用以及向量知识体系的建构，创新性理解上要做到将其推广到其他相关知识的理解上或上升到数学文化传承的层面。

强调探究过程中的理解要素，与要求具有一定的探究成果并不矛盾。在數学教学活动中，教师要具备组织者、引导者与合作者的要求，引导学生的思维方式走向深处。教师要给每一个学生提供表达的机会，引导学生说出想法的理由或依据，甚至通过追问、反问等方式激发学生在“无疑”处“生疑”。从培养学生的探究意识、发展探究能力的长远目标来看，教师应引导学生学会并善于探究。总的来说，对知识的探究涉及横向和纵向两方面。

以函数单调性的主题教学设计为例，有两种策略可供选择。一是以函数单调性知识的前后逻辑为线索。例如，借助初等函数的图像直观理解函数单调性的含义、感悟函数的整体单调和部分区间单调;通过代数求解（特别关注最大值或最小值和拐点），验证函数的单调性以及单调性与自变量变化区间的关系;用导函数进一步刻画函数的单调性，把握好函数单调性的本质是变化趋势。二是以函数的其他性质为线索。例如，考查初等函数的单调性与对称性、周期性、最大（小）值之间的关系，分析这几个性质的共性与差异。以函数的其他性质为线索组织内容，学生可以通过比较函数的性质，进一步加深对函数概念的理解，让学生体会到正是因为不同函数具有不同性质，才使得函数成为表达现实世界规律的丰富的数学语言[1]136。

（二）HPM主题

将数学知识的学术形态转化为教育形态，是数学教育工作者关注的焦点，一定程度上也是对数学史和现代数学教育知识的概括。现代数学的发展是基于对过去数学知识的累积，因而数学教育的一个重要领域便是数学史与数学教育的关系（HPM）。数学史是数学原生态知识的发生发展过程，其揭示了数学发展的基本规律和基本思想，体现了数学发展的曲折历程，在调动学生学习积极性和创造性层面有天然的优势。实践表明，将数学史融入中学数学课堂，不仅能激发学生读史、思史的兴趣，还能有效培养学生的数学思维。因此，转变知识的呈现形态就显得至关重要，常见的转变方式主要有以下三种。

一是烦琐知识简洁化。知识的简洁性符合学生的可接受性原则。以两角和与差的正（余）弦公式为例，历史上其抽象于几何命题。因此，在教学中，教师可以单位圆为研究载体，先用解析的方法证明两角和与差的正（余）弦公式，并利用三角变换逐步推导出其他的三角函数形式，然后结合相关数学史中的几何命题，完成几何直观与代数推理演绎的共同诠释。

二是类同知识同一化。正如著名数学家波利亚所说：“类比是伟大的引路人。”同样地，类比也是聚拢知识形成知识链、知识团的有效方式。当学生已经具备了自觉类比意识并初步掌握了类比的内在机理以及类比的过程，类同知识就会自然交汇甚至叠加。以圆锥曲线的定义为例，按照圆、椭圆、双曲线及抛物线的分散式教学形式，强调更多的是不同曲线间的定义与性质的不同，这对于突出解析几何的本质（用代数方法研究几何问题）是不利的。如果结合圆锥曲线的产生背景（圆锥曲线是由一平面截二次锥面得到的曲线，平面倾斜的角度不同，得到的曲线不同）进行教学，不仅能有效缩短教学时间，还能让学生知其然，更能知其所以然，知何由以知其所以然。

三是分散知识结构化。知识按照螺旋式上升的方式虽能保持知识发展逻辑与学生心理逻辑的协同与平衡，但也造成了一定程度上的分散甚至重复，尤其是一些未列入教材的数学史知识，如数学思想方法中的有限与无限思想。利用有限与无限思想使人们能够从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变。作为高中数学中一种基本而又重要的数学思想，高中必修和选修教材中都有渗透和应用，如二分法、立体几何中线面垂直的判定、曲边梯形的面积、曲线的切线、数学归纳法等。在教学实践中，教师还应根据不同HPM主题确定课型（如新授课、复习课等），否则为主题而主题的做法只会让数学史知识失去原有的意义。再比如有限与无限是哲学中的一对辩证范畴，也是重要的数学思想。笔者在听课中发现，学生对有限与无限思想的认识仍停留在萌芽阶段，不能灵活地予以转化并解决问题，于是便设计了一节基于数学史的数学思想深化课[4]。课上笔者和学生一起学习了希尔伯特旅馆、刘徽的割圆术，以及毕达哥拉斯三角形数三个经典史实案例的精髓，再通过精准的巩固练习，让有限与无限思想成为分析、解决问题的优先思想方法。

（三）课题型主题

课题型主题从现实问题出发，不追求数学学习内容的系统性和完整性，而是讲究处理问题的过程和总结规律，直至问题的解决。知识的内化需要经历多方联系和综合应用等过程，因而要促进知识流动并产生效益。这也是STEAM秉承的“重实践、超学科”教育理念。STEAM教育与学科融合已成为创新性人才培养的新模式，它在增强学生主体性、落实知识实践性及强调探究开放性等层面具有得天独厚的优势，这也是课题型主题被提出的重要依据。

数学源于现实，又植根于现实。著名数学教学家弗赖登塔尔认为数学教学内容应与现实世界紧密联系，故提出了“现实数学教育”的理念。为凸显实践性和探索性，研究性学习或微课题性学习成为中小学中较为普遍的一种学习方式。课题学习就是将研究性学习的思想与方法体现在学科教学中，教师通过对教材内容的处理，把教学内容转化为课题，以课题为核心，综合多学科教学内容，依靠学生的自主探索来完成课题的学习[5]。因此，对于课题型主题的选择与处理就成为制约课题学习能否高效实施的关键要素。

首先，课题应该有适宜的生长土壤，是对现实问题的真研究。比如要了解数学成绩好的学生归纳整理工作做得好不好，并以此为他们的数学学习提供学法指导依据。学生就会仿照统计学家的做法，先从调查、收集数据做起，其次是分析数据、处理数据，最后做出统计学上的释义。随着现实问题的逐步深入，学生学会了自觉用统计思想解决生活中的实际问题，并驱动其研究其他的问题以催生新课题。

其次，课题的研究离不开对现实问题的数学化过程。数学符号语言较自然语言有无法媲美的明确性和简洁性，数学方法较其他学科而言，思维方式有更强的说服力与严密性。用数学语言表达现实世界的过程，本质上是数学模型思想的具体化。数学模型的建立、求解及修正等过程需要扎实的知识储备及一定的知识过滤与筛选能力。鉴于现实问题的复杂性，某一数学分支的知识较难表达或诠释清楚时，往往需要协同其他分支或其他学科知识，甚至需要去掉一些无关或相关性不强的变量，以实现现实问题的适度理想化，从而使主题更加聚焦与突出。

因为课题型主题关注于知识的效率与效益，所以知识的价值直指课题研究中问题的解决与优化，并使课型研究由小到大、由部分到整体、由浅表到深度发展。

三、结语

洛克说：“学了数学的人遇到机会，就能把这种推理方法迁移到知识的其他部分中去。”数学知识的认识特征决定了知识可以通过迁移方式联系不同的研究對象。因而考查数学知识的多维属性可以延拓到其他学科知识甚至是一般意义上的课程知识，为主题式教学表达提供理论支撑。主题式教学活动只有充分表达出知识的多维属性，知识学习才会从符号学习走向逻辑学习、意义学习，最终将知识转化为学科素养。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]顾沛.数学文化[M].北京：高等教育出版社，2008.

[3]任伟芳，偶伟国，龚辉，等.“工具性理解”“关系性理解”和“创新性理解”[J].数学教育学报，2014（4）：69-73.

[4]刘师妤，周龙虎.以史为鉴，深化有限与无限思想[J].中学教研，2020（6）：27-31.

[5]张思明，白永潇.数学课题学习的实践与探索[M].北京：高等教育出版社，2003.

（责任编辑：陆顺演）

【作者简介】刘师妤，华中师范大学教育学院在读博士研究生，武汉市英格中学数学教师;周龙虎，华中师范大学数学与统计学学院在读博士研究生，华中师范大学第一附属中学数学教师。