市域快速轨道交通快慢车混合运行时线路通过能力计算方法

高国飞，张星臣，罗 强，沈景炎

（1.北京交通大学 交通运输学院，北京 100044；2.北京城建设计发展集团股份有限公司 城市轨道交通绿色与安全建造国家工程实验室，北京 100037）

随着我国新型城镇化进程的持续推进，一些大城市的核心区域不断向外围扩展，圈层型、网络化、组团式的大城镇化区域逐步形成，以“站站停”为主的我国城市轨道交通运营组织模式，已难以满足不同层次旅客的出行需求。借鉴国外超大、特大城市的成功经验可知，从适应客流特征的角度，根据线路通过能力及其长、短途客流特点，组织开行快慢车已成为当前城市轨道交通系统（包括城轨、市域等）运营组织模式的一大发展趋势。上海［1］、广州［2］、成都［3］等国内的超大型城市均已先后建设并运营了采用快慢车混合运行的市域快速轨道交通线路。

显然，在快慢车混合运行的行车组织模式下，同一区间相邻列车组合的最小追踪间隔不同，确定其区间通过能力，很难沿用城轨系统“站站停”的平行运行图计算方法。同时，市域快速轨道交通在物理条件上还有1个有别于高速铁路、普速铁路的特殊之处，就是市域快速轨道交通并不是每座车站都具备越行条件，因此确定其区间通过能力，也不能套用高速铁路或者普速铁路的计算方法。

在市域快速轨道交通的实际设计和运营过程中，如何综合考虑最小追踪间隔时间、快慢车开行比例、越行站位置、停站时间及配线方案等多种因素的制约，合理确定快慢车混合运行条件下的线路通过能力，现已成为市域快速轨道交通运输组织亟待攻克的1个难点，而且，随着国内越来越多的城市开始规划、发展市域轨道交通，对这个问题的解决需求正日益迫切。

从世界范围来看，快慢车混合运行的行车组织在一些发达国家超大规模城市得到相对成熟的发展，典型代表包括日本东京、美国纽约、法国巴黎等。究其原因，是这些城市的城轨系统主要由铁路改造而成，且车站多设越行线，可直接采用铁路的计算方法。这些发达国家也较早开始快慢线混合运行的相关研究。Asis 等［4］和Casteilli 等［5］等提出了分时段对列车时刻表进行优化的方法计算开行不同种类列车的通过能力。Mignone 等［6］在保证线路上各站列车到发时刻基本不变的前提下，通过建模方法研究了区间通过能力，对分时段开行快慢车的跨站、停站方案通过能力等做出优化。Dicembre等［7］研究了城市铁路线路通过能力与区间长度、服务类型和时刻表之间的相互关系，提出可评估现有线路理论通过能力的方法。DING X B等［8］通过考虑特快列车和慢速列车的比例，超车发生的地点以及超车次数，建立了7个不同的方案来计算线路通过能力。这些国家的市域轨道交通发展所处阶段以及相关学者的研究方法和我国的实际情况不完全相符，其研究有借鉴价值，但不能直接套用。

近年来，由于市域快速轨道交通的发展需求，国内学者也逐步开展这一领域的研究。潘寒川等［9］分长、短距离开行快慢车2 种情况分析线路通过能力，提出可通过改变快慢车的发车比例和发车间隔可得到相对高的最大通行能力。宋键等［10］研究了快慢车越行地点与始发间隔的关系，并采用铺画运行图的方式分析了快车越行地点的选择方案。赵源等［11］和王晓潮等［12］研究了快慢车不同开行比例下线路通过能力的计算表达式，分析了不同开行比例及越行次数对线路通过能力的影响。刘茜［13］和谭小士［14］在总结归纳现有快慢车组合运营类型的基础上，重点研究了快慢车开行比例对线路通过能力的影响。陈富贵等［15］和周旭［16］分别研究了以慢车为主和快车为主2 种快慢车混合运行模式，提出快慢车混合运行组织下线路能力损失的计算式。赵欣苗等［17］基于列车追踪间隔时间约束，研究了无越行均衡、无越行非均衡、有越行3种条件下快慢车运营模式的开行技术条件，得到了不同模式下车站通过能力的变化趋势及快车对慢车的扣除系数。汤莲花等［18］研究了不同越行次数、快慢车开行比例下线路通过能力的计算方法与表达形式，提出了1种线路通过能力计算思路。魏玉光等［19］提出了将列车停站虚拟为闭塞分区的列车运行图周期计算方法，仅需计算列车区间追踪间隔时间即可确定线路通过能力。

上述研究多从某个角度提出了特定条件下的线路通过能力计算方法，即分析线路通过能力影响因素时，采用基于推理分析或假设条件建立数学模型的方法。目前，我国市域快速轨道交通发展过程中出现了全线仅设个别越行站，各站停站时间又不同的快慢车混合运行模式，目前学界还未形成适用于这种情况下的线路通过能力计算方法。

本文在分析线路通过能力各类影响因素的基础上，结合市域快速轨道交通的实际情况，探究不同快慢车运行组织方式下线路通过能力的计算方法，并结合实例验证计算方法的合理性，为市域快速轨道交通快慢车设计及实际运营寻找可行的理论支撑。

1 快慢车混合运行的线路通过能力计算

市域快速轨道交通的快慢车开行组织有以下2种模式。

模式1 为追踪模式，即车站不设置越行线，以追踪运行的方式开行快慢车。此时，通常将车站和区间看作1 个整体来分析，线路通过能力的计算式为

式中：N为线路在1 h 内能够通过的最大列车数，列；h为最小行车间隔时间，s。

模式2 为越行模式，即部分车站设有越行线，以越行组织的方式开行快慢车。此时，线路通过能力的控制点是车站而非区间，车站最小追踪间隔时间hst由列车最小追踪间隔时间ht和停站时间tst的最大值确定，即hst=ht+max(tst)。

由此，提出快慢车混合运行条件下的线路通过能力计算思路：如1 个快慢车组合周期为T，在这个周期内，快车和慢车开行列数分别由q和p表示，q和p均为不小于1 的正整数，若以q∶p为快车和慢车的开行比例，则快慢车混合运行组织下的线路通过能力的计算式为

一般来说，线路通过能力是由各区间通过能力决定的，通过能力最小的区间即为线路的能力瓶颈，该区间通过能力即被视为整条线路的通过能力。所以在计算市域快速轨道交通线路通过能力时，可以以始发、终到及越行站为节点，将线路划分为若干区间，通过计算各个区间通过能力，确定整条线路的通过能力。市域快速轨道交通设计中，当车站的发到时间、发发时间、到发时间与区间最小追踪间隔时间ht在取值上相等时，越行站的通过能力最大，故能力计算中，视之为上述各值均相等。

基于以上分析，假定某区间上车站数为m+1，且m≥2，研究追踪运行和越行2 种模式下的线路通过能力及其计算方法。对于追踪模式，主要研究快车在中间站停站和不停站2 种方案下，快慢车在开行方案不同、开行比例不同时的线路通过能力计算方法；对于越行模式，主要研究快慢车交替开行且快车开行数量不大于慢车的方案下，3 种越行组织情况下的通过能力计算方法。整理所有快慢车混合开行方案，如图1所示。

图1 市域快速轨道交通快慢车混合开行方案分类

1.1 追踪模式下的快慢车区间通过能力计算

追踪运行组织方式中，随着列车的运行，相邻快慢车追踪间隔时间会逐渐减小，当前后列车的追踪间隔时间不足以满足最小追踪间隔时间要求时，前行列车已到达终点站或者折返站。此时，根据快车在中间站是否停车，有2 种追踪运行方案：第1种为快车在中间站不停站（后文以角标a 表示该开行方案）；第2 种为快车在中间站停站（后文以角标b 表示该开行方案）。与之对应，区间通过能力也分这2种方案进行计算。

1.1.1 快车在中间站不停站

该方案包括2种情况：1种是快慢车交替开行，但只有开行比例大的列车才连续开行的情况；另1种是快车连续开行，即连续开行几列快车之后再连续开行几列慢车的情况，但这种开行模式对客流的适应性低，不利于提高运营效益。

1）情况1：快慢车交替开行

（1）q=p，即追踪运行条件下，1组快慢车交替开行且开行数量相等时，这组快慢车通过1个区间（即完成1 个运行周期）所用的时间Ta可按式（3）计算，与之对应的组合运行方案铺画如图2所示。

式中：i为车站编号，i≥2；k为区间编号，对于全线共有（m+1）个车站的区间来说，总有1≤k≤m；为慢车在第i个车站的停站时间；Δtk为快车和慢车在第k个区间运行的时间差。

图2 追踪模式下q=p时快慢车交替铺画时的周期开行方案

由图2可知：m每增加1个单位，即每当线路增设1个车站时，会增加第m个车站的停站时间和第(m+1)个区间的快慢车运行时间差，所以会导致快慢车完成1个运行周期的时间增加ΔTa=+Δtm+1。

（2）q＜p，即当线路以开行慢车为主，适当开行快车以满足长距离乘客的出行要求时，对应的组合运行方案铺画如图3所示。

图3 追踪模式下q＜p时快慢车交替铺画时的周期开行方案（q∶p=2∶3）

由图3可知：p每增加1个单位时，快慢车1个运行周期时间增加ΔTa=ht+；而q每增加1 个单位时，用增加1个单位快车的快慢车组合周期时间减去q=p的快慢车组合运行周期时间，就得到快慢车1 个运行周期时间增加。

（3）q＞p，即当线路以开行快车为主，适当开行慢车时，对应的组合运行方案铺画如图4所示。

图4 追踪模式q＞p时快慢车交替铺画时的周期开行方案（q∶p=4∶3）

由图4可知：p每增加1个单位时，用增加1个单位慢车的快慢车组合周期时间减去q=p的快慢车组合周期时间，就得到快慢车1个运行周期时间增加而q每增加1个单位，快慢车1个运行周期时间增加ht。

经过上述推理，如果快慢车交替开行且开行比例为q∶p，那么其区间通过能力Na可由式（4）计算；此时，1个快慢车组合的运行周期时间Ta可由式（5）计算。

2）情况2：快车连续开行

快车不越行且连续开行，对应的组合运行方案铺画如图5、图6所示。

图5 追踪模式下快车连续铺画时的周期开行方案（q∶p=1∶3）

图6 追踪模式下快车连续铺画时的周期开行方案（q∶p=2∶3）

由图5和图6可知：q每增加1个单位，即每增加1列快车，周期增加ht；p每增加1个单位，即每增加1 列慢车，周期增加那么由式（6），计算可得1 个快慢车组合发车周期Ta；将式（6）代入式（4），计算可得该区间的通过能力Na。

1.1.2 快车在中间站停站

该方案中，如果快车在该区间某个车站停站，那么追踪模式下快车不同停站方式的周期对比如图7 所示。图中：情况①为快车不停站；情况②为快车在第2 或第m个车站停站；情况③为快车在第3个到第(m-1)个车站中的某站停站；Tb为快车在中间站停站方案1 个快慢车组合的运行周期时间；j为中间站编号；为快车在中间站j停站时间。同时，定义0—1 变量aj，若快车在站j停站则aj=1，否则aj=0。

图7 追踪模式下快车不同停站方式的运行周期对比

由图7 中情况①和情况②对比可知：对于任意比例开行的快慢车，若快车在第2 或第m个车站停站，受这2 个车站最小追踪间隔ht和快慢车区间运行时间差Δt的影响，其运行周期时间Tb比快车不停站的运行周期时间Ta小2Δt。为简化计算，可视为快车在中间站停站的运行周期时间Tb约等于快车不停站的周期Ta，故此种情况可按式（5）来计算。

由图7 中情况①和情况③对比可知，对于任意比例的快慢车，若快车在第3 个到第（m-1）个车站中的某站停站，则其周期Tb等于快车不停站的周期Ta减去快车总的停站时间则区间通过能力计算又分以下2种情况进行计算。

1）情况1：快慢车交替开行

由式（5）中快车不停站的运行周期时间Ta减去快车在中间站的停站时间，即可得快车停站时的1个快慢车运行周期时间Tb，即式（7）；将式（7）代入式（8），计算可得该区间的通过能力Nb。

2）情况2：快车连续开行

同理，由式（6）的Ta减去快车在中间站的停站时间，即可得快慢车的1 个运行周期时间Tb即式（9）；将式（9）代入式（8），计算可得该区间的通过能力Nb。

1.2 越行模式下的快慢车区间通过能力计算

一般情况下，由于高峰小时客流较大，不会开行快车连发；而平峰期快车连发会导致快车上座率低，运能浪费，并使慢车发车间隔加大，降低慢车的服务水平，所以一般线路不会采用快车连续发车的形式。因此，本文的越行模式下，仅研究快慢车交替铺画且快车不大于慢车（即q≤p）这种情形下的通过能力。

根据快车在越行站是否停站，有3 种越行方案：第1种为快车不停站直接越行慢车（后文以角标c表示该开行方案）；第2种为快车停站越行慢车或在2 个越行站间停站（后文以角标d 表示该开行方案），此时慢车停站时间比较长，造成服务水平下降，因此较少采用；第3种为快车在越行站停站且慢车折返。与之对应，通过能力也分3种方案进行计算。具体如图8 所示。图中，tse为快车的停站时间。

图8 越行组织方式下的3种越行方案

1.2.1 快车不停站直接越行慢车

该方案中，慢车在越行站最小停站时间需满足tst=2ht。对应的组合运行方案铺画如图9、图10所示。图中n1为第1 个越行站编号，n1≥2；n2为第2 个越行站与第1 个越行站的编号差，n2≥2；Tc为快车不停站直接越行慢车情况下1 个快慢车组合的运行周期时间；Ile为快慢车的发车间隔时间。

图9 越行模式下快慢车交替铺画时的周期开行情况（q∶p=1∶3）

图10 越行模式下快慢车交替铺画时的周期开行情况（q∶p=2∶3）

由图9、图10可知：当快慢车比例q≤p时，p每增加1个单位，运行周期时间增加q每增加1 个单位，运行周期时间增加ΔTc=ht-根据推算，由式（10）计算可得区间通过能力Nc

此时，Tc的计算式为

1.2.2 快车停站越行慢车或快车在2 个越行站间停站

该方案包括2 种情况：1 种是快车在越行站停站后越行慢车，快慢车旅客可以换乘，越行站布置只能采用双岛四线。但是该方案因为慢车在越行站最短停站时间需满足tst=2ht+tse，严重影响慢车服务水平，所以实际运营中很少采用；另1种是快车在2 个越行站间停站但越行时不停站。根据不同的停站位置分别计算运行图周期，具体如图11 所示。图中：情况①为快车不停站越行慢车，情况②、情况③、情况④分别为快车停站时的不同停站方式。

图11 越行模式下快车不同停站方式的运行周期对比

对于任意开行比例的快慢车，根据图11 中情况①和情况②、情况③对比，若快车在第n1、（n1+1）、（n1+n2-1）或（n1+n2）个车站停站，受车站最小追踪间隔ht和快慢车区间运行时间差Δt的影响，可视之为：快车在以上车站停站时的快慢车1 个运行周期与快车不停站的1 个运行周期相等，这种情况可按式（11）计算。

根据图11 中情况①和情况④，若快车在除上述车站外的其他车站停站，则其周期Td等于快车不停站的周期Tc减去快车总的停站时间Tse。Tse可由式（12）计算可得到，再由式（13）计算可得该情况下1个快慢车组合的运行周期时间Td；最终由式（14）计算得到该区间的通过能力Nd。

式中：j∈{n1+2,n1+3,…,n1+n2-2} ；aj为0-1 变量，若快车在站j停站，则aj=1，否则aj=0。

1.2.3 快车在越行站停站且慢车折返

该方案指快车停站后越行，慢车在此车站折返。此时慢车在越行站最短停站时间满足tst=2ht，慢车乘客可换乘快车，换乘时间满足t=ht，线路通过能力可按慢车折返站前后区间不同的运行组织模式和情况选择相应的计算式并分别计算。

2 算法设计

结合前文给出的各种情况下的线路通过能力计算式，考虑列车最小追踪间隔时间、快慢车开行比例、区间快车越行节约时间、列车在各站的停站时间等因素对快慢车混合运行下线路通过能力的影响，提出1种市域快速轨道交通在开行快慢车情况下的线路通过能力计算方法，算法步骤如下。

Step 1：根据线路条件、越行站位置、列车运行交路等客观因素，将线路分成若干个区间。

Step 2：对于划分的区间根据已经确定的开行方案和快慢车开行比例，判断是采用追踪模式还是越行模式实现快慢车混合运行。

Step 3：将已确定的各参数代入相应的计算式，计算出每个划分区间的通过能力。如果某个区间的计算不能参照现有计算式，返回Step 1重新划分区间；直至所有区间的计算均可参照现有计算式。

Step 4：取划分区间通过能力的最小值作为整个线路的通过能力。如果得到的线路通过能力不能满足远期客流条件下开行方案的要求，则需要调整设计方案或者运营组织方案，返回Step 1重新划分区间。

Step 5：直至计算出的线路通过能力可以满足远期客流条件下开行方案的要求，计算结束。

3 实例分析

依托广州地铁14 号线的实际运营数据，在利用算法解得线上各区间通过能力的基础上，分析不同开行方案下能力限制区间的线路单向通过能力，验证算法的有效性。

3.1 实例背景

广州地铁14 号线由主线和知识城支线组成，主线全长54.3 km，设站13 座；支线从新和站引出，终点为镇龙站，全长22.0 km，设站9座。

为兼顾线路沿线客流量、乘客出行需求、开行经济效益等因素，14 号线主线及知识城支线采用“Y”字形交路、大小交路套跑、快慢车混合运行的复杂开行方案。线路及具体越行站设置如图12所示，其中小交路为知识城支线的新和—镇龙，客流相对较小；大交路有2 条，分别为主线的嘉禾望岗—东风，以及跨主线与支线的嘉禾望岗—镇龙，这2个交路的跨组团远距离出行客流较大。

图12 广州地铁14号线运行线路

3.2 参数确定

开通运营初期，根据算法原则、线路特点、越行站的设置、快慢车混合运行及大小交路套跑的方案，结合前述通过能力计算原则，将主线和支线划分为3个区间，如图13所示。

图13 广州地铁14号线列车运行交路

3个区间及其列车开行方案分别为：

（1）嘉禾望岗—新和，为大交路，运行嘉禾望岗—镇龙的快车和嘉禾望岗—东风的快慢车组合，q∶p=2∶4；

（2）新和—东风，为大交路，运行嘉禾望岗—东风的快车和嘉禾望岗—东风的慢车，q∶p=1∶4；

（3）新和—镇龙，为大小交路套跑，运行嘉禾望岗—镇龙的快车和新和—镇龙的慢车，q∶p=1∶4。

根据线路的设计文件及信号系统设计能力，列车最小追踪间隔时间ht为90 s。其余各参数分别取值：慢车停站时间均为30 s；快车停站时间均为50 s；过站限制速度为80 km·h-1；快车和慢车在每个区间运行的时间差Δtk均为20 s。

3.3 区间通过能力计算

根据越行站位置及快慢车停站，采用前文给出的计算方法求解各区间通过能力。按瓶颈原则，区间通过能力应取双方向区间通过能力的较小值，本算例中，双方向区间通过能力相等，因此该数值即为区间的通过能力，见表1。

表1 广州地铁14号线各区间通过能力计算

在现有的客流条件和车辆拥有数及采用的运营组织模式下，以35 min 为循环周期，整理不同区间的实际通过能力和计算通过能力，得出各区间的能力利用率，见表2。

表2 广州地铁14号线各区间能力利用率

由表2 可知：现有运输组织方式下，各区间实际通行列车数量明显小于各区间计算通过能力。由于开通初期客流不足，实际开行方案中的发车间隔时间及停站时间都较长，且仅有钟落潭站组织列车越行，这导致各区间通过能力未能充分发挥；后期随着客流量的增长，可缩短列车发车间隔及停站时间，并可在白云东平、太平和赤草站组织列车越行，尽可能缩短旅客出行等待时间，提高线路的通过能力。

3.4 不同开行方案下的线路通过能力

由前文可知，嘉禾望岗—新和区间为2 个交路的重叠区域，即线路的能力限制区间，以此区间为例，进一步分析不同开行方案下的线路单向通过能力。在车站数m=7的情况下，分别套用本文提出的通过能力计算方法，计算以下3种开行方案的线路通过能力：越行模式和追踪模式下以慢车为主、追踪模式下以快车为主，计算结果整理绘图，如图14所示。由图可得到如下结论。

图14 嘉禾望岗—新和区间3种开行方案的线路通过能力

（1）1 个运行周期内，快慢车开行数量相等时，线路通过能力最小，此时越行模式和追踪模式下的线路通过能力分别为20和13列·h-1；随着快车或者慢车开行数量的增加，通过能力逐渐增大。

（2）越行模式下，快车开行数量一定时，随着慢车数量的增加，线路通过能力逐渐增大，最大达到28 列·h-1；快车在越行站停站越行或在其他中间站停站时，线路通过能力大于不停站直接越行。

（3）追踪模式下，以慢车为主的开行方案中，若1 个运行周期内只开行1 列快车并逐渐增加慢车，可达到26 列·h-1的线路最大通过能力；以快车为主的开行方案中，线路最大通过能力可达到30列·h-1以上；以开行快车为主的线路通过能力大于以慢车为主的线路。

4 结论与展望

本文分追踪（不设越行站）、越行（设越行站）2 种运行组织模式，在考虑多种通过能力影响因素的基础上，提出了1种可适应不同开行方案与列车开行比例的快慢车混合运行组织下线路通过能力计算方法；将算法应用于广州地铁14号线实例，计算了特定条件下的线路通过能力。计算结果表明：快慢车开行数量相等时的线路通过能力最小，此时越行模式和追踪模式下的线路通过能力分别为20 和13 列·h-1；越行模式下，线路最大通过能力为28 列·h-1，且随着快车开行数量的增加，通过能力逐渐降低；追踪模式下，以慢车为主和以快车为主的2种开行方案的线路最大通过能力分别为26和30 列·h-1，且以快车为主的开行方案通过能力大于比以慢车为主。可见本算法具有通用性，对于复杂的快慢车混合开行方案，能够给出清晰直观的计算结果，有助于运输企业平衡实际运营情况和线路运输能力，合理铺画运行组织方案。

考虑到计算的简便性，本文在案例计算时对部分参数取值进行了简化，所以算例的计算通过能力可能与实际有所偏差。此外，一般情况下，越行站的位置会对线路通过能力造成影响，而本文只考虑越行站选定的情况，这是因为能力计算之前越行站是需要根据设计条件和客流条件提前确定的。至于越行站如何选定，还有待后续进一步研究。