一类三重或四重线性码的构造*

薛文芳，王维琼，李亚伟

(长安大学理学院，陕西 西安 710064)

1 引言

设p为素数，m为正整数，q=pm，Fq表示具有q个元素的有限域。Fp上的一个[n,k,d]线性码C为Fp上n维向量空间的一个k维子空间，其中d为码C的极小汉明距离，它刻画了线性码C的检错与纠错能力。线性码C的重量计数器可表示为：

1+A1z+A2z2+…+Anzn

(1)

其中，Ai为线性码C中汉明重量为i的码字的个数。若|{Ai|Ai≠0,1≤i≤n}|=t，则称线性码C为t重线性码。对于一个参数为[n,k,d]的线性码C，若参数为[n,k,d+1]的线性码不存在，则称线性码C为最优码。若参数为[n,k,d+1]的线性码C最优，则称参数为[n,k,d]的线性码C为几乎最优码。较少重量的线性码可用于构造秘密共享方案、认证码、结合方案及强正则图等。

2007年，Ding等[1]利用有限域上的迹函数提出了一种构造线性码的一般方法。有限域Fp上长度为n的线性码C可由式(2)给出:

∀x∈Fq}

(2)

受文献[14]的启发，本文基于布尔函数构造出了一类二元三重或四重线性码，给出了码的参数和重量分布，所构造出的线性码的对偶码均为关于Sphere-packing界的最优码或几乎最优码。

2 预备知识

本节给出第3节中需要用到的一些定义和引理。

设p为素数，m为正整数，q=pm，Fq表示具有q个元素的有限域。

定义1[15]有限域Fpm到Fps的迹函数定义为：

(3)

其中，s为m的正因子。

定义2[15]对∀a∈Fq，有限域Fq上的加法特征定义为：

(4)

其中，x∈Fq，ζp为有限域Fp上的m阶本原单位根。

若a=1，称χ1为有限域Fq上的典范加法特征。显然χa(x)=χ1(ax)。有限域Fq上加法特征具有如下正交关系：

(5)

(6)

特别地，当p=2时，对∀a,b∈F2m，令f(x)=ax2h+1+bx，其中正整数h满足1≤h

(7)

引理2[16]若m/l为奇数，则:

Sh(a,b)=Sh(1,bc-1)

(8)

特别地，当a=1时，有:

(9)

引理3[16]设e为正整数，若偶数m=2e，且m/l为偶数，则:

(10)

①若a∉〈α2l+1〉，则f(x)为Fq上的置换多项式。设x0为f(x)=b2h在F2m上的唯一解，则:

(11)

②若a∈〈α2l+1〉，且f(x)=b2h在F2m上无解，则Sh(a,b)=0。若a∈〈α2l+1〉，且f(x)=b2h在F2m上有解，记x0为其中一个解，则:

(12)

定义3布尔函数f:F2m→F2的Walsh变换定义为：

(13)

定义4[17]设K为有限域Fp上(n,K,d)码C中码字的个数，若：

(14)

称码C满足Sphere-packing界。

3 主要结果及证明

证明由Walsh变换的定义，有：

n=|{x∈F2m|g(x)=1,g(x+α)=0}|=

(15)

证毕。

□

(16)

中零码元的个数，则：

(17)

(18)

其中，

证毕。

□

本节后面内容考虑以D为定义集的线性码CD。

首先给出g(x)和F(x)的Walsh变换。

引理6g(x)的Walsh变换满足:

(19)

(20)

引理6的结论的证明可由Walsh变换的定义、引理2和引理3的结论得出。

(21)

证明由Walsh变换的定义和引理1得：

(22)

(23)

证毕。

□

Table 1 Weight distribution of code CDin theorem 1表1 定理1中码CD的重量分布

证明由引理4和引理7知线性码CD的码长n=2m-2。

(24)

w1=2m-3,

(25)

由于零码字出现了2次，故线性码的维数k=m-1。

若记线性码CD的非零重量wi对应的频数为Ai(1≤i≤3)，则根据MacWilliams方程[18]可得：

(26)

解此方程组有：

(27)

证毕。

□

类似定理1中的方法，可得如下结论。

Table 2 Weight distribution of code CDin theorem 2表2 定理2中码CD的重量分布

Table 3 Weight distribution of code CDin theorem 3表3 定理3中码CD的重量分布

Table 4 Weight distribution of code CDin theorem 4表4 定理4中码CD的重量分布

4 结束语

本文利用定义集的方法构造出了一类三重或四重线性码，确定了这些码的参数、重量分布和对偶距离，并编写Magma程序验证了所得结论。

根据文献[3]中的引理13和定理12，若线性码中非零码字的最小重量wmin和最大重量wmax满足关系式：

wmin/wmax>(p-1)/p

(28)