立足起点 关注卡点 突破难点——《绝对值三角不等式》磨课反思

张 倩

(浙江省湖州市安吉艺术高级中学 313300)

《绝对值三角不等式》是高中数学选修4-5《不等式选讲》中的一节内容.笔者从初次授课的学生思维卡点出发，立足学生思维起点，关注学生思想建构，以“同课异构”的形式，对本节内容进行了多次磨课，将本节课在定理探究、本质挖掘、内在联系、思想渗透等方面的反思与感悟整理成文.

一、初次教学设计及课堂实录片段

【创设情境】近日中美贸易战持续升级，导致中美两国关系日益紧张，中方下令加强航空管制，取消一切中美“直飞航班”.原本由M地直飞N地的航班，不得不经停P点.

师：航空管制前后，飞机飞行路程有否变化？位移呢？

生：路程有变,位移不变

师：随着中转站P点的改变，航空管制前后飞行路程的大小能否确定？ 何时取到最小值.

生：MP+PN≥MN,当且仅当M、P、N三点共线时取到最小值.

师：上述不等式体现了三角形中怎样的“三边关系”？

生：三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差小于第三边.

师：猜想，向量三角不等式的实数形式是怎样的？是否正确？

生：学生静默.

师：那我们带着这个疑问一起来学习今天的内容.

【温故已学】

问题1：|a|的代数定义？

问题2：|a|的几何意义？

问题3：|a-b|的几何意义?

【探究新知】

环节1.几何探究

师：设a、b为实数，你能确定|a-b|与|a|+|b|两者间的大小关系吗？我们借助几何画板一起来探究一下.

师：|a-b|、|a|、|b|的几何意义是什么？

生：A、B两点间的距离，点A到原点O的距离及点B到原点O的距离.

师：A、B两点在数轴上的位置能否确定？

生：不确定.

师(操作)：固定A、B两点，让点O在数轴上动起来，通过变动点O从而体现A、B两点在数轴上的变化.

师：观察点O与AB有几种位置关系？

生：在AB左侧、AB中间、AB右侧.

师(操作)：利用几何画板，用红、蓝两种颜色分别表示出|a-b|及|a|、|b|所对应的线段.

师：分别观察点O在AB左侧、AB中间、AB右侧三种情况下，红色线段AB(即|a-b|)与蓝色线段OA、OB之和(即|a|+|b|)的大小关系.

生：O在AB左侧时，AB长度小于OA、OB之和；

O在AB中间时，AB长度等于OA、OB之和；

O在AB右侧时，AB长度小于OA、OB之和；

师：能否用代数式表示上述的大小关系？

生：O在AB左侧时，|a-b|<|a|+|b|；

O在AB中间时，|a-b|=|a|+|b|；

O在AB右侧时，|a-b|<|a|+|b|；

师：即|a-b|≤|a|+|b|，当且仅当O在AB中间时取“=”.

师：“O在AB中间”能否用数学语言描述？

生：a、b两者一正一负.

师：即ab≤0.

环节2.代数证明

师：至此，我们已经探究得到了|a-b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≤0时取“=”.那能否对其进行证明？

师：处理含有绝对值的式子，我们有哪些方法？

生1：把绝对值去掉.

师：去掉绝对值时要注意什么？

生2：对绝对值内的数进行分类讨论.

师：很好！那你们看看上述不等关系中有几个绝对值？需要对哪些数进行分类讨论.

生：共有3个绝对值，分别要对a-b的正负，a的正负，b的正负进行讨论.

师：除了去掉绝对值这种方法之外，有没有更简洁的方法，可以处理诸如上式这样的不等号两边都有绝对值的式子？

生3：两边平方.

师：很好！那请大家尝试用这种方法严密证明下.

生(草稿纸上书写)：

师(板书引导)：要证：|a-b|≤|a|+|b|

即证：|a-b|2≤(|a|+|b|)2

即：a2-2ab+b2≤|a|2+|b|2+2|a||b|

即要证：-2ab≤2|a||b|,即：|a||b|+ab≥0，ab≤0时上式取“=”.此结论显然成立，所以原命题得证.

环节3.定理剖析

师：至此，我们从几何和代数角度都证得：

如果a、b是实数，|a-b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≤0时取“=”.

师：如果用○代替不等式中的a，用□代替不等式中的b，则上述不等式具有怎样的形式特征？

生：|○-□|≤|○|+|□|

师：很好！即“差的绝对值”≤“绝对值之和”！

环节4.定理变形

师：尝试用不同的数或式代换○、□中的值 ，能否得到新的结论？

生：|1-2|≤|1|+|1|；

|1-(-3)|≤|1|+|-3|；

|1-0|≤|1|+|0|；

……

师：能否用更具有一般性的字母代换，如试试用“a”、“-b”分别代换○、□中的值？

生：|a+b|≤|a|+|b|.

师：很好！至此，我们通过变量代换，又得到：

如果a、b是实数，|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时取“=”

师：用“a-b”、“-b”去代换，又有什么新发现？

生：|(a-b)+b|≤|a-b|+|b|，即|a|≤|a-b|+|b|

师：很好！即我们得到：

如果a、b是实数，|a-b|≥||a|-|b||.

师：那|a+b|≥||a|-|b||是否成立？如何证明？

生：用“-b”代换|a-b|≥||a|-|b||中的“b”即可.

环节5.定理剖析

师：至此，我们探究得到：如果a、b是实数，||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.

即：‖○|-|□‖≤|○±□|≤|○|+|□|;即：“绝对值之差”≤“和(差)的绝对值”≤“绝对值之和”.

【知识应用】

例1已知m>0，|x-a|

例2两个施工队A、B分别被安排在公路路碑10km和20km处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地之间往返一次.要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？

二、起点、卡点、难点——磨课中的取舍与反思

1.起点——先“加式”还是先“减式”

笔者在磨课过程中，都以||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|中的后半组|a±b|≤|a|+|b|作为教学的起点，设计时从不同的角度出发，分别采用过将|a+b|≤|a|+|b|作为主体和将|a-b|≤|a|+|b|作为主体两种切入手段.从课堂效果来看，以|a+b|≤|a|+|b|作为首推的不等关系给出，再通过变量代换推得其余三个不等关系，虽然遵循了加法运算的基础性，但给学生理解其几何意义设置了障碍.以|a-b|≤|a|+|b|作为首推的不等关系给出，更接近学生认知的起点，能让学生更直观的理解绝对值不等式所体现的“两点间距离”这一几何本质，有利于后续新知的展开.

2.卡点——先“几何”还是先“代数”

几何和代数是一个事物的两种呈现形式，“数”往往比较精炼，“形”往往比较直观.从数的角度切入探究||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，常常采用的手段是由特殊到一般，即由几组特殊的数值的“和、差的绝对值”与“绝对值之和”、“绝对值之差”间的大小关系的比较，猜想这样的大小关系是否具有一般性.从形的角度切入探究则可从绝对值的几何意义入手，借助几何画板的动态演示，让A、B两点固定不动，探究当动点O在数轴上运动时，位于何处时距两定点A、B间的距离最短.从课堂反响来看，选择从形的角度切入更显直观，亦更接近数学的本质.

3.难点——先“数量”还是先“向量”

两种开篇方式各有利弊，因而，如何更好地建立起实数形式的绝对值三角不等式与向量形式的三角不等式之间的联系，是笔者百思不得解的一块内容.