线圈数量不同的WPT系统等效模型仿真分析

王伟全，王嘉梅

(云南民族大学 电气信息工程学院，云南 昆明 650500)

无线电能传输技术(wireless power transmission, WPT)主要是通过电源侧的初级线圈电流产生交变磁场，负载侧的拾取线圈捕获交变磁场，然后产生交变电压，从而不经过接触将电能从电源侧传输到负载[1-2].无线电能传输方式在一些特定的场合，比如煤矿供电、海底探测、生物医疗以及油田探测等领域得到了广泛应用，是1种极具研究意义的新型电能传输方式[3-7].

无线电能传输系统主要分为近场传输和远场传输两种类别.近场传输方式主要包括电场耦合式和磁场耦合式两种，而远场传输方式包括微波传输、激光传输以及超声波传输[8-9].

无线电能传输技术在19世纪末由特斯拉提出，但由于时代与技术的局限，始终未能得到很好的研究与发展，2007年，麻省理工大学的马林研究团队提出了1种四线圈的磁耦合谐振式无线电能传输系统，引起全世界范围的关注，掀起了全世界范围无线电能传输技术研究的热潮[10].

无线电能传输系统最基本的结构是双线圈结构，该系统主要包括直流源、高频逆变电路、发射线圈、接收线圈、整流电路、负载，其基本结构图如图1所示[11].

图1 无线电能传输系统结构图

通常评价1个无线电能传输系统的指标有系统的传输效率以及系统的输出功率.而对于1个无线电能传输系统来说，线圈个数不同时系统性能与系统参数之间的关系也不同，因此系统线圈个数对无线电能传输系统的影响是1个值得研究的问题，研究结果可以为无线电能传输系统的设计提供指导.

1 不同线圈数量的WPT系统建模

1.1 双线圈WPT系统建模

目前，对于双线圈无线电能传输系统，有电磁感应式和电磁谐振式2种.电磁谐振式传输方式仅是电磁感应式传输方式的1种特殊形式，因此接下来仅对电磁感应式无线电能传输系统建模分析系统性能的影响因素[12].电磁感应式无线电能传输系统其基本结构如图2所示，等效电路如图3所示.

图2 磁感应式无线电能传输 图3 电磁感应式无线电能传输系统等效电路

根据图3，由基尔霍夫电压定律即可得关系式如下[13]：

(1)

(2)

U1=i1R1-jωMi2,

(3)

0=i2(R2+RL)-jωMi1.

(4)

联立(3)(4)式，则可得i1、i2的值，可得|i2|，同时输出功率P2=i22RL，输入功率P1=U1i1,则可得双线圈电磁感应式系统输出功率为:[14]

(5)

可得双线圈电磁感应式系统的传输效率：

(6)

1.2 三线圈WPT系统建模

目前，三线圈无线电能传输系统一般指的就是磁耦合谐振式三线圈无线电能传输系统，其基本系统结构如图4所示：

三线圈无线电能传输系统相对于双线圈系统多了1个中继线圈[15-16]，其等效电路如图5所示.

根据图5和基尔霍夫电压定律，以上参数之间的关系可由以下公式表示出来[17]：

(7)

(8)

(9)

当系统工作在谐振状态时满足条件：

(10)

在式(10)中，要注意的一点的是，L1、L2、L3、C1、C2、C3不是对称的，即这些参数的值可以不用相等，只要取值满足式(10)即可.

根据式(10),则式(7) (8) (9)可以化为以下式子：

U1=i1R1+jωM12i2，

(11)

0=i2R2+jωM12i1+jωM23i3，

(12)

0=i3(R3+RL)+jωM23i2.

(13)

联立(11)(12)(13)，则可得电流i1、i2、i3，又因为输出功率和输入功率的计算公式为P3=i32RL和P1=U1i1.

则可得系统最终传输到负载上的功率为：

(14)

可得系统的传输效率η为：

(15)

1.3 四线圈WPT系统建模

四线圈无线电能传输系统主要包括电源线圈、发射线圈、接收线圈、负载线圈以及其他补偿电路，在接下来的分析中，选择4个线圈均有谐振补偿电路的系统进行分析，系统的基本结构如图6所示，系统等效电路图如图7所示.

图6 四线圈无线电能传输 图7 四线圈无线电能传输系统等效电路

根据基尔霍夫电压定律，则可得如下关系式[18-19]：

(16)

(17)

(18)

(19)

当系统共振时，4个线圈的参数满足下列关系：

(20)

在仿真分析时，为满足上式，可以使得L1、L2、L3、L4的值以及C1、C2、C3、C4的值相同.则式(16) (17) (18) (19)可以简化为：

U1=i1R1+jωM12i2.

(21)

0=i2R2+jωM12i1+jωM23i3,

(22)

0=i3R3+jωM23i2+jωM34i4,

(23)

0=i4(R4+RL)+jωM34i3.

(24)

(25)

可得系统的传输效率η为：

(26)

2 不同线圈数量的WPT系统等效模型仿真分析

由于已经建立了WPT系统的输出功率和传输效率模型，接下来则依据所建立的等效模型仿真分析参数对系统性能的影响.

2.1 双线圈WPT系统等效模型仿真分析

通过Matlab仿真，其变化曲线如图8和图9所示：

图8 输出功率随耦合系数和负载变化图 图9 传输效率随耦合系数和负载变化图

图8描绘了输出功率P2与耦合系数k和负载RL之间的关系.当负载一定时，随着k的增大，P2逐渐增大，达到某一峰值，之后逐渐减小；当发射端与接收端间距一定，即k一定时，随着RL的增大，P2也逐渐增大，但增大的幅度逐渐放缓.

图9描绘了传输效率η与耦合系数k和负载RL之间的关系.当负载一定时，随着k的增大，η也逐渐增大，增大的幅度逐渐缓慢，最终接近一个峰值，但其没有峰值；当k一定时，随着RL的增大，η逐渐减小.

根据公式(5)和(6),可以分别求出输出功率P2和传输效率η最优时所对应的耦合系数k和负载RL.

(27)

此时得最优k为：

(28)

保持k不变，对RL求偏导，令其偏导为0，即：

(29)

此时得最优RL为：

(30)

(31)

求出最优RL为：

(32)

通过以上的分析可以看出，影响双线圈电磁感应式无线电能传输系统性能的因素主要有耦合系数k和负载RL，而且总存在1个k和RL使得输出功率P2达到最优，存在1个RL使得传输效率η达到最优.但最优P2和最优η所对应的参数值不同，可以根据实际中是需要最优输出功率还是最优传输效率来选择最优参数值.

2.2 三线圈WPT系统等效模型仿真分析

f= 6.78 MHz；U1=15 v；L1=1 μH；L2=3 μH；L3=2 μH；C1=150 pF；C2=50 pF；C3=75 pF；R1=1 Ω；R2=3 Ω；R3=2 Ω；RL=20 Ω；

则通过Matlab仿真，可得耦合系数与系统性能之间得关系图如图10和图11所示.

图10 三线圈系统输出功率随耦合系数变化图 图11 三发射系统传输效率随耦合系数变化图

图10描述了三线圈无线电能传输系统的输出功率P3随耦合系数k12和k23变化而变化的趋势.由图可知，当k12固定不变时，随k23逐渐增大，P3逐渐增大，在达到1个峰值之后，可以看到P3有1个缓慢的下降趋势；当k23固定不变时，随着k12的增大，P3呈先增大后减小的趋势.同时，从图中还可以看出，当k12过大或k23过小时，输出功率极小，几乎为0，同时也没有上述的变化趋势.

图11描述了三线圈无线电能传输系统传输效率η与耦合系数k12、k23之间的关系.从图中可以看出，随k12和k23逐渐增大时，η逐渐增大，并最终达到了1个峰值.

(33)

(34)

保持k23不变，在式(2～33)中，对k12求偏导，令其偏导为0，即求：

(35)

此时得最优k12为：

(36)

保持k12不变，对k23求偏导，令其偏导为0，即：

(37)

此时得最优k23为：

(38)

(39)

此时最优的k23为：

(40)

通过以上对三线圈系统的建模和Matlab仿真以及计算，可以看出在负载RL确定的情况下，影响系统性能的主要参数为耦合系数k12和k23，其在整个系统中对应的物理量是发射端与中继线圈间距和中继线圈与接收端的间距.由图10可知，k23不能过小，因此表示中继线圈与接收端的间距要尽量小一点，k12对应的是传输距离，在保证传输距离的情况下，可以根据实际情况，选择最优的k23，保证P3或η最优.

2.3 四线圈WPT系统等效模型仿真分析

f=6.78 MHz；U1=15 v；L1=L2=L3=L41 μH；C1=C2=C3=C4=150 pF；R1=R2=R3=R4=1 Ω；RL=20 Ω；

通过Matlab参数仿真，可以得到耦合系数与系统性能之间的关系图如下所示.

图12描绘了系统输出功率P4与耦合系数k12、k23之间的关系，从图中可以看出，当k23一定，k12逐渐增大时，P4先增大，达到1个峰值后，然后逐渐缓慢减小，因此存在1个最优的k12，使得P4达到最大；当k12一定，k23逐渐增大时，P4在k12取值小的时候，呈先增大后缓慢减小的趋势，在k12取值大的时候，P4随k23的增大而逐渐增大.因此匹配合适的k12、k23可以使得P4达到最优.

图13描绘了系统输出功率P4与耦合系数k12、k34之间的关系，由图可知，当k34一定且其值较大时，随着k12的逐渐增大，P4先逐渐增大，达到1个峰值后，逐渐减小；当k12一定且其值较大时，随着k34的增大，P4先增大后减小，当k12一定且其值不大时，随着k34的增大，P4逐渐增大，达到峰值.因此，合适匹配k12、k34的值可以使得P4达到最优.

图12 系统输出功率与耦合系数k12、k23关系图(k34=0.8) 图13 系统输出功率与耦合系数k12、k34关系图(k23=0.8)

图14描绘了系统输出功率P4与耦合系数k23、k34之间的关系，从图中可以看出，当k23、k34都比较小时，P4极小，随着k23、k34的逐渐增大，可以看出P4逐渐增大，最终达到峰值.因此，在选择k23、k34时，应该选择比较大的值.

图15和图17描绘了系统传输效率η与耦合系数k12、k34之间的关系以及与耦合系数k23、k34之间的关系，从两图中可以看出，随着k12、k34的逐渐增大，η也逐渐增大，所以在选择k12、k23时应保证其比较大；对于k23、k34，也应该遵循这一原则.

图16描绘了系统传输效率η与耦合系数k12、k23之间的关系，从图中可以看出，随着k12、k23的逐渐增大，η也逐渐增大，但增大的幅度逐渐平缓，所以在选择k12、k34时应在保证传输效率的情况下匹配合适的k12、k34.

图14 系统输出功率与耦合系数 图15 系统传输效率与耦合系数 k23、k34关系图(k12=0.8) k12、k23关系图(k34=0.8)

图16 系统传输效率与耦合系数 图17 系统传输效率与耦合系数 k12、k34关系图(k23=0.8) k23、k34关系图(k12=0.8)

(41)

(42)

首先，分析当P4最优时对应的耦合系数的表达式.通过将式(41)分别对耦合系数求偏导，并令其为0，得出耦合系数的对应表达式.

对k12求偏导，并令其偏导为0，则可得P4最优时的k12为：

(43)

对k23求偏导，并令其偏导为0，则可得P4最优时的k23为：

(44)

对k34求偏导，并令其偏导为0，则可得P4最优时的k34为：

(45)

接下来分析η最优时对应的耦合系数的表达式.同样，根据式(42),分别对耦合系数求偏导，令所得的偏导为0.

对k12求偏导，并令其偏导为0，则可得η最优时的k12为0，因此没有对应的k12使得η最优，对k23求偏导，并令其偏导为0，则可得η最优时的k23为：

(46)

对k34求偏导，并令其偏导为0，则可得η最优时的k34为：

(47)

综上所述，在四线圈系统的设计好后，当负载一定时，影响输出功率P4和传输效率η的主要因素则就是耦合系数.耦合系数k12、k23、k34分别对应的系统物理量是电源线圈与发射线圈间距、发射与接收线圈间距、接收与负载线圈间距.根据图12、图13，k12并不是越大越好，对其选择合适的值才能得到最优的P4，而根据图15、图16，对于η来说，k12则是越大越好，所以得根据系统是侧重输出功率还是传输效率来进行选择，这一点在求取最优耦合系数时也体现出来了，因为最优的输出功率和最优的传输效率所对应的最优耦合系数是不一样的.至于k23、k34，则是越大对系统性能越好，但k23对应的是传输距离，所以得是在保证传输距离的前提下，k23、k34才能越大对系统性能越好.

3 结语

本文研究了目前常见的3种线圈数不同的无线电能传输系统.分别对双线圈、三线圈、四线圈无线电能传输系统从基本结构、互感模型以及参数对性能影响这3个方面进行了分析.构造了系统的基本结构图，并通过等效电路建立了互感模型，再通过Matlab进行仿真分析，得出参数与性能之间的关系.

对于无线电能传输系统，线圈数的不同所对应的影响系统性能的主要因素如下：

1)对于双线圈电磁感应式无线电能传输系统，在系统设计好之后，影响系统性能的主要参数为耦合系数k和负载RL，同时在系统性能最优时，分别有对应的耦合系数和负载值，可以根据系统是侧重输出功率还是侧重传输效率来选择最优的参数.

2)对于三线圈无线电能传输系统，使得负载RL为定值，再对系统性能的影响参数进行分析，可以得出影响因素主要有耦合因数k12、k23，k12对应系统传输距离.同时存在最优的k23使得系统性能达到最优，在保证传输距离的情况下，可以选择最优的k23使得输出功率或传输效率达到最优.

3)对于四线圈无线电能传输系统，同样使负载RL为定值，则影响系统性能的主要因素为耦合因数k12、k23、k34，k12根据系统侧重点的不同进行选择，而k23、k34则是越大对系统性能影响越好，但k23对应系统传输距离，所以得满足系统传输距离的前提下，尽量选择较大的值.

无线电能传输系统线圈数不同，影响系统性能的主要因素也会有所变化，通过对3种系统进行建模仿真，对影响系统性能的主要因素进行综述，可为线圈数不同的无线电能传输系统的设计提供参考.