基于全阶滑模控制的双轮移动机器人跟踪误差研究*

万 军，贾宇明

(1.重庆城市职业学院信息工程系，重庆 402160；2.电子科技大学通信与信息工程学院，成都 610036)

0 引言

随着人工智能技术的发展，机器人的应用领域也逐渐扩大。消防机器人 、医疗机器人、航天机器人、服务机器人及教育机器人等已经得到了快速发展[1-2]。在机器人发展过程中，两轮差速机器人因结构简单，在社会发展中得到了普遍应用。对两轮差速机器人的研究，主要问题还是控制的精确性和稳定性。当设置参考运动轨迹时，机器人能够平稳、精确、快速地按照指定运动轨迹进行追踪。

当前，对机器人控制的研究方法有多种。例如：文献[3-4]研究了清洗机器人控制系统，主控制器硬件采用单片机控制，通过图像识别技术，设计出清洗机器人人机交互界面，该控制系统具有结构简单、操作灵活等优点；文献[5-6]研究了机器人分数阶PID控制方法，采用粒子群算法对PID控制器参数进行优化，将优化后的参数通过MATLAB软件进行仿真，从而提高了机器人控制系统的响应速度；文献[7-8]研究了钢结构壁面机器人模糊控制系统，设计了模糊推理测试模型，通过MATLAB软件对模块控制系统进行测试，较好地实现人机作业的控制要求。例如：文献[9]研究了两轮移动机器人状态反馈控制器，建立了两轮机器人空间坐标系，推导其移动速度和角速度方程式，设计了状态反馈控制器仿真模型，能够使机器人速度和角速度保持在零线附近。但是，对两轮移动机器人的运动速度和角速度跟踪控制方法研究较少。

对此，本文主要介绍经典PI控制器和全阶滑模控制器，全阶滑模控制器以独立轮角速度控制器的形式用于两轮差动驱动移动机器人。为了获得相关的实验数据，除了一般的动力学特性外，构成的基础数学仿真模型还包括驱动器的动态特性和粘滞摩擦。验证和比较内部速度控制回路在使用经典PI控制和全阶滑模控制器中的性能。

1 移动机器人模型

1.1 机器人运动学模型

本文研究的是双轮移动机器人，其模型及参数如图1所示。

图1 双轮移动机器人简图

移动机器人位置和速度向量定义如下：

(1)

式中，x、y、φ分别为移动机器人横坐标、纵坐标和方向角度；v、ω分别为移动机器人线速度和角速度。

移动机器人动力学模型[10]定义为：

(2)

式中，d为重心到车轮转动中心的距离。

移动机器人左轮、右轮角速度定义为：

(3)

式中，ωR、ωL分别为移动机器人左轮和右轮角速度。因此，可以得到移动机器人的线速度和角速度分别如下所示：

(4)

式中，r、b分别为车轮半径、车轮到车轮转动中心的距离。

由式(3)、式(4)经过逆变换可得移动机器人的线速度v和角速度η之间的关系如下：

(5)

1.2 机器人动力学模型

根据牛顿第二运动定律，在全局坐标中的加速度v′、速度v和左、右轮输入的扭矩τR、τL之间的微分关系为：

(6)

(7)

式中，M为移动机器人的质量；Ic为移动机器人的转动惯量。

移动机器人在运动过程中，实际产生的扭矩为：

τi=τmi-(τfi-τzi)

(8)

式中，τmi为驱动器产生的扭矩；τfi为车轮旋转产生的摩擦扭矩；τzi为外部干扰产生的扭矩；i=R，L。

式(6)、式(7)采用矩阵表示为：

M(q)v′+V(q′,q)v+Fv=B(q)τm-B(q)τz

(9)

式中，M(q)为惯性矩阵；V(q′,q)为向心力矩阵；F为摩擦力矩阵；B(q)为变换矩阵。

1.3 直流电动机模型

带有减速器和负载的直流电动机机电部分结构如图2所示,本文使用的直流电动机驱动机器人通过理想变速器实现,该变速器的输入与输出比为1：N。

图2 电机驱动简图

两台电动机在负载旋转轴上产生的电动机转矩可用矢量表示如下：

(10)

式中，Kτ为电机转矩常数；iL、iR分别为左右两个转子线圈电流。

当电机转速改变时，由于变速箱速比的关系，其等效转动惯量Je可表示为：

Je=N2Jr+Jl

(11)

式中，Jr、Jl分别为电机转子转动惯量和变速器负载转动惯量。

对于摩擦力矩和外部干扰力矩有同样的效果,当转子在定子中旋转时,粘滞摩擦力可以通过已知的系数Br来计算,但是对于负载轴上的粘滞摩擦力，系数Bl是未知的，因为它与减速器和轴承有关。等效粘性摩擦系数Be的值可以通过实验获得。单个驱动器上的负载可近似于半径为r的半个机器人的质量。根据第二牛顿运动定律可以得到如下：

(12)

电机输入电压ui和转子线圈电流ii之间的关系可用微分方程[11]表示为：

(13)

式中，La为转子线圈电感；Ra为终端电阻；Ke为反电动势常数；ωi为负载角速度。

2 全阶滑模控制器

机器人内部控制回路的目标是跟踪参考轮速度，并将动态控制转换为更简单的运动控制问题，内部控制回路如图3所示。

图3 机器人内部速度控制回路

控制误差可用车轮的角速度来定义，如下所示：

(14)

式中，ωLref、ωRref分别为车轮左右参考角速度。

使用经典PI控制器对第一种内部速度控制回路进行设计，使用全阶滑模控制器对第二种内部速度控制回路进行设计。

2.1 PI控制器

从控制学的角度来看，移动机器人可以看作是一对带有负载的电动机。通过拉普拉斯变换，带减速器的单直流电机、粘滞摩擦和等效载荷均可用线性传递函数表示：

(15)

相对于控制问题，最好用下列形式表示：

(16)

式中，Z为系统增益；T1、T2为时间常数。

基于公式(16)的传递函数，PI控制器的参数可以采用下列方法获得：

(17)

式中，r0、r1为PI控制器参数；ei(t)为控制误差。

对PI控制器进行离散化处理，以便在移动机器人中实现，离散化处理的控制器形式[12-13]为：

ui(k)=ui(k-1)+q0ei(k)+q1ei(k-1)

(18)

式中，q0、q1为等效的离散控制器参数。

2.2 全阶滑模控制器设计

移动机器人线速度和角速度跟踪误差可以定义为：

(19)

为了提高机器人轨迹跟踪精度，抑制外界干扰信号对机器人的影响，设计全阶滑模面表达式为：

(20)

式中，λ1、λ2为滑模面正实数。

根据状态观测器，可以得到全阶滑模控制器为：

(21)

式中，τl、τr分别为左、右轮驱动力矩；T1、T2>0；k1和k2为增益系数。

将公式(21)代入公式(20)，可以得到：

(22)

其中，

通过观测器得到的误差可以收敛在一个很小的范围内，即观测误差是有界的，满足下列条件：∣ed1∣≤l1，∣ed2∣≤l2。

2.3 稳定性证明

根据李雅普诺夫函数[14]可以得到：

(23)

由公式(23)可知：sj≠0时，V>0。根据滑动模态稳定条件，需要对公式(23)进行求导可以得到：

(24)

V′=V1+V2≤0

(25)

根据李雅普诺夫函数的稳定性理论可知，全阶滑模控制器是稳定的。

3 仿真及分析

为了进一步验证全阶滑模控制的优越性，下面采用MATLAB软件分别对PI控制器和全阶滑模控制器输出误差进行仿真。假设机器人初始位姿为[0,0]，机器人运动轨迹为x2+y2=4，滑模面控制器参数λ1=λ2=12、T1=T2=0.2，仿真时间为4 s，在第2 s时，对双轮移动机器人施加y=sin(2πt)信号波干扰。采用PI控制器，移动机器人车轮运动线速度和角速度输出误差分别如图4、图5所示。采用全阶滑模控制器，移动机器人车轮运动线速度和角速度输出误差分别如图6、图7所示。

图4 线速度输出误差(PI控制) 图5 角速度输出误差(PI控制)

分析图4、图5可得：采用传统PI控制器，双轮机器人线速度和角速度超调量较大，在0～0.5 s时间范围内，线速度和角速度产生的最大值分别为0.52 m/s和1.18 rad/s，大约在0.5 s后，根据输出误差变化，控制系统处于稳定状态，但是线速度和角速度输出误差分别为0.05 m/s和0.48 rad/s。另外，在第2 s时刻处，受到外界信号波干扰时，其跟踪误差再次变大，调整时间为0.5 s。面对外界波形的干扰，PI控制器作出自适应调节时间较长，导致机器人运动线速度和角速度较大，跟踪精度较低。

图6 线速度输出误差(全阶滑模控制) 图7 角速度输出误差(全阶滑模控制)

分析图6、图7可知：采用全阶滑模控制器，双轮机器人线速度和角速度超调量较小，在0～0.5 s时间范围内，线速度和角速度产生的最大值分别为0.31 m/s和0.54 rad/s，大约在0.15 s后，根据输出误差变化，控制系统处于稳定状态，线速度和角速度输出误差分别为0.03 m/s和0.12 rad/s。另外，在第2 s时刻处，受到外界信号波干扰时，其跟踪误差没有受到外界信号干扰，仍然保持较高的跟踪精度。对比两种控制方法可知，PI控制器调节时间为0.5 s，而全阶滑模控制器调节时间为0.15 s，调节时间缩短了70 %。因此，采用全阶滑模控制器，移动机器人运动线速度和角速度跟踪误差较小，自适应调节时间较短，能够更好地抑制外界环境的干扰因素。

4 结束语

本文采用传统的PI控制器和全阶滑模控制器对两轮差动移动机器人线速度和角速度进行控制，通过MATLAB软件对其输出误差进行仿真，仿真结果表明：

(1)采用传统PI控制器，双轮移动机器人运动线速度和角速度跟踪误差较大，而采用全阶滑模控制器，移动机器人运动线速度和角速度跟踪误差较小。全阶滑模控制器能够获得更稳定的控制效果，使机器人运动更加平稳。

(2)与PI控制器相比，全阶滑模控制器反应更加迅速，能够在较短的时间内，使控制系统输出误差达到稳定状态。特别是在移动机器人运动遇到危险状态下，能够迅速地躲避障碍物，避免机器人发生碰撞事故。

(3)在有外界波形因素的环境中，传统PI控制器容易受到外界波形信号干扰，导致机器人输出误差较大，而全阶滑模控制器能够抑制外界的干扰，对控制系统几乎无影响，使机器人继续保持稳定的运动状态。