两点抛物线插值提高雷达测距精度的研究

马 兰 井 伟 扈月松 李照照 路焜鹏

(1.西安电子工程研究所 西安 710100； 2.陆军驻西安地区第六军代室 西安 710100)

0 引言

雷达的最基本任务是探测目标并测量目标的距离，而测距精度是雷达的重要性能参数之一。一般情况下，雷达测量目标距离的方法是对目标回波作脉压处理后，根据得到的功率谱曲线，找到最大值点对应的距离单元号来确定目标距离。但受到采样率的约束，雷达处理分辨率有限从而造成不可避免的测距误差，降低测距精度，所以研究减小距离量化误差的方法是研究雷达测距技术的一项重要内容。

文献[1]主要介绍了一种对回波主瓣面积作梯形近似来插值估计出真实峰值的方法。首先从回波波形的特点入手，对回波信号中的目标区域进行细化，在固定的采样间隔之间仅做一次插值处理，等效于降低目标回波区域内的采样间隔，在雷达各参数都固定的情况下有效提高测量精度。但采用这种方法时测距精度会明显受到噪声的影响，在有噪声时测量误差会急剧增加[1]。文献[2]介绍的方法是先用FFT得到差频信号极大值和次大值的谱线位置，再根据谱峰极大值估计方法计算出真实极大值的谱线位置，从而实现测距系统的高精度估计，但是该方法计算量较大[2]。

在雷达工作的过程中，结合先验信息，当时宽、带宽确定且窗函数选定的情况下，发射信号波形和回波脉冲压缩波形均是确定的。基于此，本文提出了一种两点式抛物线插值算法，利用目标回波脉压结果主瓣内信噪比较高的最大值和次大值采样点作抛物线拟合，通过插值计算，可以对真实回波峰值出现的采样时间位置进行预估，大大减小了距离量化误差，提高了雷达测距精度。

1 雷达测距量化误差的产生

雷达一般采用脉冲法测距，测距公式为

(1)

其中，c为电磁波传播速度(在自由空间传播时约等于光速)；tR为回波相对于发射信号的延迟。

在雷达测距过程中，影响跟踪距离精度的因素主要涉及以下几个方面：热噪声[3]、多路径、大气传播误差、距离量化误差、目标闪烁以及定时脉冲抖动[4]。本次研究主要针对距离量化误差来提高跟踪距离精度[3-4]。

图1 雷达测距量化误差的产生原理

2 抛物线插值算法的基本原理

2.1 传统抛物线插值算法

如图2所示，假设已知三个采样点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)，拟合二次函数y=ax2+bx+c，将已知的三个点横坐标归一化为-1，0，1，得到方程组

图2 传统抛物线插值算法原理分析

(2)

将雷达目标回波脉压结果主瓣内的采样最大值和两个次大值分别用坐标表示为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)，根据以上原理拟合二次函数。假设x1、x2、x3为从左到右顺序排列，则预估的回波峰值出现的位置和已知三个采样点在横坐标的中心位置(即x2)之间的偏差为

(3)

(4)

则插值得到的预估峰值位置为

xforecast=x2+xdelta

(5)

预估峰值位置误差为xmax-xforecast。

2.2 两点式抛物线插值算法

在实际工作过程中，当时宽、带宽确定且窗函数选定的情况下，发射信号波形和回波脉冲压缩结果均是确定的，所以只选择3dB波束宽度的回波脉压结果作抛物线拟合时，其形状也是固定的，即参数a是确定的，此时抛物线函数只有两个参数未知。基于此，对传统抛物线插值算法进行改进，只取回波脉压结果3dB波束宽度内的最大值和次大值两个采样点就可以进行抛物线拟合，对目标回波真实峰值出现的位置进行插值预估。同时，应该考虑到的问题是将回波脉压结果拟合为抛物线函数时，本身就存在误差，但可以采用数值统计的方法将误差分析出来，对拟合抛物线的参数a作优化处理，进一步提高测距精度。

如图3所示，回波脉压结果的最大值和次大值分别为y1、y2，假设真实的回波峰值可以表示为ymax=y1+y2，用ymax对y1、y2进行归一化，得

(6)

图3 两点式抛物线插值算法原理分析

假设y1′、y2′对应的横坐标为-1,1，均位于抛物线y=ax2+bx+c上，则有

(7)

则得到参数b的表达式为

(8)

(9)

其中，参数a近似为一常数。

则预估峰值出现的位置为xmiddle+xdelta，峰值位置误差可以表示为

Δ=xmax-xmiddle-xdelta

(10)

3 算法验证及优化

表1 仿真参数设计

第一步：对信号脉压结果作归一化处理后，选择采样时间-1/fs,1/fs内的回波脉压结果作抛物线拟合。如图5所示，将采样点在回波脉压波形上进行移动，使各种情况下的采样位置都被考虑到。

图4 采样最大值和次大值位置分布的一种情况

图5 采样点位置分析

第二步：如图6所示，将信号脉压结果左右两部分移到同一采样时间区域，用同一采样时刻对应的两个采样点幅值估计回波真实峰值并分析误差。

图6 同一时间区间内采样点分析

图7 预估峰值误差分析

第三步：用不同的预估峰值对回波脉压结果作归一化处理后，可以拟合出不同的抛物线，产生不同的a值，该值就是此时对应的采样位置下拟合抛物线的真实a值，而理想a值为一常数，二者之间的误差分析如下：

从图8可以看出，参数a的误差最大值出现在两个采样点的幅值相等时的采样位置，原因是此时两个采样点的幅值都较大，使预估峰值达到了最大值，同时预估峰值与真实峰值之间的误差也达到最大值，此时用预估峰值对回波脉压结果作归一化与用真实的脉压波形峰值作归一化后拟合的抛物线相差较大，从而产生了参数a的误差。

图8 参数a误差分析

第四步：用预估峰值对回波脉压结果作归一化处理后可以得到参数b的表达式，再结合理想a值可以插值计算出预估峰值位置与两个采样点的中心位置之间的偏差xdelta，同时两个采样点的中心位置已知，故可以得到预估峰值位置。

图9 预估峰值位置分析

由图10可以看出，真实的峰值位置误差最大值为0.1694μs，对应的距离量化误差为25m，仿真验证了两点式抛物线插值算法的有效性。

图10 峰值位置误差分析

关于参数a带来的误差，作了如下分析：

在实际的雷达测距过程中，若只取回波脉压结果3dB波束宽度内的两个采样点，则无法拟合抛物线函数，即真实的a值无法直接得到，而实验中理想的a值可以通过仿真拟合出来。结合第二节算法分析可知，在用选取的回波脉压结果3dB波束宽度内的两个采样点幅值之和对二者作归一化时，抛物线函数的参数b也被作了归一化，即此时的参数b是对应于归一化之后的抛物线而言的,故必须对理想的a值作优化处理，使其更接近归一化之后的回波脉压波形对应的拟合抛物线，目的是使算法与实际模型匹配度更高，进一步减小测距误差，提高测距精度。

第五步：理想参数a的优化。由图7可知，在[-1/fs,1/fs]内回波脉压波形中选择的两个采样点分别从左端点和中心点向中心点和右端点移动时，预估峰值误差从最小值变化至最大值，再由最大值变化至最小值，导致用预估峰值对回波脉压结果作归一化后拟合的抛物线函数的参数a的误差由最小值增加至最大值，再由最大值减小至最小值，如图8所示。在实际中，结合先验信息可以得到理想的a值，但真实的a值无法直接得到，只能通过对理想a值作优化处理使其逼近真实的拟合抛物线。

(11)

其中，aideal表示理想a值，即用真实峰值对回波脉压结果作归一化后拟合的抛物线函数对应的参数。

通过数值统计的方法得到，δ在0.21～0.25之间取值时，预估峰值位置与真实峰值位置的逼近程度最好，峰值位置误差最小。仿真结果如图11所示。

图11 优化a值后预估峰值位置误差分析

仿真结果表明，优化参数a之后预估峰值位置误差大幅度减小，最大误差仅为0.0156μs，即距离量化误差约为2.3m，从而证明了该优化方法的可行性。

第六步：加SNR后的距离量化误差分析。结合雷达测距原理和图3可知，真实的回波峰值和预估峰值所对应的采样时间之间的误差为Δ=|xmax-xmiddle-xdelta|，将该误差转化为距离量化误差ΔR，则有公式(12)。

(12)

假设SNR的取值范围为10～30dB，窗函数选择Hamming窗，其他参数不变，距离量化误差随SNR的变化仿真如图12所示。

图12 两种算法下距离量化误差随SNR变化对比分析

通过仿真实验和分析可知，传统三点式抛物线插值算法所选用的采样点有可能存在一个非主瓣内的采样点，导致模型失配，而两点法不存在这个问题；另一方面，当选取的三个采样点中有两个点的幅值几乎一致时，三点法的误差较大，而两点法是直接用两个点的中心位置作为插值结果，故精度更高。此外，两点法所选用的采样点SNR较高，产生的距离量化误差更小，这种效果在SNR较小时更加明显。

4 结束语

本文结合雷达测距中距离量化误差的存在提出了一种两点式抛物线插值算法，该算法只需要回波脉压结果主瓣内最大值和次大值两个采样点就可以插值估计出回波真实峰值所在的位置。相比于传统三点式抛物线插值算法，该算法计算量小，与实际模型匹配度高，且由于选用的两个采样点SNR较高，故误差更小。仿真结果表明，两点式抛物线插值算法可以更好地提高雷达测距精度。