在活动中学数学，在思考中促思维

邱少芬

【摘要】当前数学教材编入了一些拓展知识的选学内容，但由于教学资源、教学条件的限制和升学压力的影响，在实际数学教学中常常被忽略掉。本文以人教版初中数学活动课《填幻方》为例，阐述教师该如何对待以及上好初中数学活动课，从而引发教师更好地开展初中数学活动课有新的认识和思考。

【关键词】初中数学;活动课;幻方;学习兴趣;思维能力

当下的初中数学教材，与旧的版本相比较，增加了数学基本活动经验，可是，有的教师在平时的教学中开设数学活动课的频率并不高，对综合与实践类课程的教学进行淡化处理。虽然数学活动课的内容并非考纲里要求的必考点，可是它的存在绝非没有意义。用人教版主编章建跃博士的话来说：“这些选学栏目，开阔了学生的视野，为学有余力的学生提供了丰富的学习素材;对培养学生的自主学习能力，数学能力等都有很好的作用。”在多年的初中数学教学实践中，笔者也越来越感受到活动课的开设是改善教学质量，提高教学效率的有效途径。下面以新人教版《数学》七年级上册第21页《填幻方》为例，来讲讲关于开展数学活动课的一些具体做法。

一、主要教学环节实录

1.环节一：巧设情境，激趣导入

师：同学们，你们在电视上看过《最强大脑》吗？

生：（很多人）看过.

师：那你们有没有看过节目挑战“七阶幻立方”呢？接下来，老师请大家来观赏。

（学生充满了好奇）

视频大概内容：古有幻方，今有幻立方。立方体内均匀排布343个小立方格，嘉宾随机将起点数字1放入除中心点外的任意一个小立方格里，挑战者确定原点后，需将2至343的自然数，填入剩余的位置，最终使得幻立方以x，y，z三轴视角，每层的每行每列每条对角线，以及立方体的体对角线上，七数之和均为1204，最终全部正确，挑战成功。（学生们一片惊叹）

师：如此复杂的七阶幻立方，这位挑战者成功了吗？我们现在不知道，但是他一定是从“三阶幻方”开始挑战的。（引出新课课题）

设计意图：学生都喜欢做游戏，因此通过播放学生比较喜欢的电视节目《最强大脑》挑战片段“七阶幻立方”，有效地吸引了学生的注意力，激发学生学习的兴趣，同时，创设愉快的教学环境，可以使得学生的学习效果最大化。

2.环节二：新知学习，合作探究

师：什么是三阶幻方呢？一般地，一个三行三列的正方形方格中，每一横行、每一竖列和对角线上的数字和都相等，这样的数字方阵称为三阶幻方，并且我们把这个相等的和就叫做幻方。根据概念，你能否判断下列方阵是否是三阶幻方呢？如何判别？

生1：第1个方阵不是幻方。它的第1列的和是19，第2列的和是11，不相等。

生2：第2个方阵是幻方。因为它所有的行，列和对角线，三个数的和都是15，幻和是15。

师：正确。你们敢挑战一下填幻方吗？（学生跃跃欲试）

师：游戏：将1，2，3，4，5，6，7，8，9这些数填到表格中，使得每一行，每一列，每一条对角线的三个数字和都是15（幻和）。

请同学们先独立思考，再请每个小组成员之间进行合作，探究总共能有几种填幻方的结果？（独立思考结束后，各小组学生围站在一起，拿出提前准备好的大方阵纸，讨论填法）

（学生上台展示）

设计意图：在新知学习后，这是一个开放性的环节，学生在掌握了概念后，就要尝试填写1-9个数字的幻方，难度不小，但是实践证明，学生的创造力是我们所想象不到的。各小组学生经过独立思考、自主探究和合作讨论后，生成了多个填法，在各小组互相补充后，这个问题的八种填法全部展示出来。

3.环节三：交流反馈，探索规律

师：同学们展示了8种填法，这也是全部的填法。欣赏大家的成果，你能否找出它们之间的联系呢？

（探究与交流后由小组代表上台展示）

生3：我们小组通过交流，发现了图二至四都是由图一旋转而成的。

生4：我们小组通过讨论，大家都发现图五至图八是图一通过对称得到的。

师：同学们太棒了。实际上，图一至图四，是一种旋转的研究方法，而图一与图五至图八，就是一种对称的研究方法。那我们能否认为，这八种填法，实际上就是同一种三阶幻方呢？

（学生就此进行分析，容易得出结论：这是同一种三阶幻方）

师：正因为这实际上是同一种幻方，所以不管同学们用哪一种填法，里面还是有规律可循的，你发现了吗？为了便于讲述，我们可以统一把9个格子中，蓝色格子称为角格，白色格子称为边格，最中间灰色的格子称为中间格。

（学生在充分思考后，围站到一起进行探究、讨论）

师：老师发现了一个结果，大家看看是否正确。我认为，幻和=9个数的总和÷3。

生5：正确。因为每一行的和就是幻和，那么总共三行九个数的总和，就是三个幻和的和。

师：这位同学的思维非常清晰和敏捷，还有其它发现吗？

生6：我发现8种填法的共同特点是，它们的中间格都是5。

生7：而且它们的中间格5都刚好是幻和15的三分之一。

师：同学们还能找到什么特点吗？例如，幻方的角格填的都是什么样的数字呢？

生8：我看到它们的角格都是偶数，边格都是奇数。

师：能否通过逻辑推理的方式来证明你們这些结论对于一般的三阶幻方也能成立呢？

设计意图：引导学生对“三阶幻方”数字特征进行规律探索，特别强调，不仅要求学生能发现填法的规律，而且还要能用逻辑推理的方法进行证明。对于幻方的填法，有的学生在小学就已经能填了，但是主要是一种记忆法，“知其然而不知其所以然”，这样对学生的逻辑数学能力的提高并没有太大的帮助。而数学的魅力，正是在逻辑推理的过程中体现，学生的能力，也是在逻辑推理的过程中不断提高。这是本环节的意义所在，“知其然，知其所以然”。

4.环节四：拓展应用，竞争提高

师：同学们，如果让你重新完成这个1-9的三阶幻方，你会怎么填？请你开始动手。

生9：我先把5填在中间格，再结合幻和的计算，把四个偶数正确填在角格，最后补上边格的奇数。

师：接下来我们一起来玩个数字游戏。规则：在空格处填上合适的数字，使各行、各列、各对角线上的数字之和都相等.各小组竞赛，每答对一题，该小组奖励5分。

第一关：                             第二关：

第三关：

第四关：

将1、2、3、6、7、8、11、12、13九个数填入下图的九个方格里，使每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等。

第五关：

将-4，-3，-2，-1，0 ，1 ，2 ，3 ，4九个数填入下图的九个方格里，使每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等。

设计意图：探索了“三阶幻方”的数字规律后，继而用游戏的方式向学生展示了五道变式的题目，难度由低到高，充分调动了学生的思考积极性，让学生感觉到“学数学”不是一种负担，从而保持一种“我要学”的状态。

5.环节五：幻方文化，源远流长

师：接下来，老师给大家介绍一下幻方文化。三阶幻方，只是幻方中简单的一种。一般地，一个n行n列的正方形方格中，每一横行、每一竖列和对角线上的数字和都相等，这样的数字方阵称为n阶幻方。例如我们还有四阶幻方，五阶幻方，六阶幻方等等。

师：公元前三千多年，有条洛河经常发大水，夏禹带领百姓去治理洛河，这时，从水中浮起一只大乌龟，龟背上有一张奇特的图案，这就是传说中的“洛书”。经过研究发现，洛书所呈现的，就是我们今天所说的三阶幻方。

师：宋代数学家杨辉通过研究幻方，还概括出一个填法，称为“杨辉法”。“杨辉法”的内容是：九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。意思就是“先将l、2、3、4、5、6、7、8、9九个数依次斜排，然后数字1和数字9对调，数字7和数字3对调，最后将数字2、数字4、数字6、数字8放在最外层，于是三行三列的矩阵就是三阶幻方了”。而在我们刚才一开始所观看的视频中，这位挑战“七阶幻立方”的挑战者，最终也成功了！听完老师的介绍，同学们有没有什么感触呢？

生10：幻方文化在我们中国源远流长。

生11：我为中国的文化感到骄傲和自豪。

设计意图：一方面让学生体会到从古到今人们都对幻方有着浓厚的兴趣，只要你愿意，你也可以称为其中的一份子;另一方面，让学生们感受到我国古人对幻方很早就有了认识，激发学生的民族自豪感。

6.环节六：任务布置，引发思考

探究：（1）若用一个长方形框子在月历中任意框出9个日期数，这9个数能否构成三阶幻方呢？什么样的9个数才可以满足三阶幻方的要求呢？说说你的道理。（2）查阅更多关于幻方的资料，了解幻方的历史和发展。（3）尝试用25个数构造一个五阶幻方。

设计意图：以此任务，引发学生课外对幻方更深入的研究，激发学生思考的延续性。

7.环节七：小结（略）

二、教学反思

在决定上“填幻方”这个内容后，笔者通过网络查资料学习弄懂了很多问题。通过这节课的授课，也是有很大的感觸。

首先，数学教材选学内容的设置，是对数学常规教学的一个很好的补充。它并不是简单的“数学+活动”或者为了活动而活动，而是蕴含着极其丰富的内涵，学生在活动中学习数学，更能调动学习的兴趣和信心，发展相应的数学思考能力，实现数学思维与数学素养的融合。其次，幻方填法的研究是一个很值得大家研究和探索的领域，它对实际生活和科学等领域都有着一定的作用，所以，教师应该给予关注，引领学生获得不同的发展。

这样的课程，融入了对学生进行数学史的教育，数学思想方法的渗透，对学生的数学观察、发现、思考、归纳等方面进行了引导，致力于通过数学活动激发学生学习数学的积极性和兴趣。希望这样的活动课程，能够引起教师们足够的重视。

参考文献：

[1]仲秀英.促进学生积累数学活动经验的教学策略[J].数学教育学报，2010（5）：36-39.

[2]王新民，王富英，王亚雄.数学“四基”中“基本活动经验”的认识与思考.数学教育学报[J].2008（3）：18.

[3]吴鹤龄.好玩的数学：幻方及其他[M].科学出版社，2003.

责任编辑  胡春华