理解教材、提升素养

郑志刚

一、问题的提出

近日，笔者参加某校教学开放日活动，课题为苏教版必修一§7.3.2《三角函数的图象与性质》第一课时。评课时大家一致认为：类比幂指对函数问题的研究内容与研究方法，展开本节课的研究，关键是作出正余弦函数的图象。当然也有一些疑惑：（1）学生熟悉的是代数描点，为什么还要几何描点，并且几何描点的方法前面没学，之后也不再用，是否有必要讲，如果要讲怎么引入？（2）三角函数的性质之前通过三角函数线已经可以得出，这儿能不能不再描点而直接给出五点法作图？再进一步通过图象观察将性质直观写出？

二、教学片段再现

片段A：

情境：三角函数在生活中的应用介绍;

问题1：你能说出正余弦函数的哪些性质？

生：定义域、奇偶性、周期性。

问题2：要想全面了解函数的性质，我们应从哪个方面入手？

生：做出函数的图象，用描点法，

师：函数的周期能给我们提示？

生：只需作出y=sinx在一个周期，即[0，2π]上图象。

问题3：怎么准确的描点（x0，sinx0）

师：借助三角函数线描点，教师展示几何描点的过程与方法

反思：问题3的提出很突然，为什么要描点（x0，sinx0），描点为什么要借助三角函数线，没有其他方法了吗？教学设计的不自然将会导致学生分析问题解决问题的能力打折扣，时间长了就会陷入你讲我记，你说我听的局面，缺乏独立思考。

片段B：

复习回顾：这节课研究三角函数的性质，前面研究过吗？

生：三角函数线与诱导公式可以得到函数的性质

问题1：通过三角函数线和诱导公式可以得到正弦函数的哪些性质？如何得到？

生：观察正弦线的变化，可以得到定义域、值域、单调性;由诱导公式可以得出正弦函数的奇偶性和周期性;（描述过程略）

问题2：你能作出函数的图象吗？

学生借助性质作图，教师展示并借助信息技术辅助作图，师生共同分析得出五个关键点。

问题3：三角函数线与图象都能得到函数的性质，它们之间的关系是什么？

师生分析得出图象上的点（x0，sinx0）对应单位圆中的弧长与正弦线，教师介绍几何描点的方法

反思：此种设计将性质置于作图之前，有值得借鉴之处，但是把几何描点法作为图象与三角函数线的关系研究，有为了教而教的感觉，缺乏单位圆在研究三角函数中所起的作用的理解。

三、几点思考

1.注重发挥单位圆的作用，提升学生的直观想象素养

单位圆与三角函数有着直接的联系，任意角、任意角的三角函数、同角三角函数的关系、诱导公式、三角函数的图象与性质都可以借助单位圆得到认识，在三角函数的研究中，借助单位圆的几何直观是非常重要的手段，这也是使学生领会数形结合思想，学会数形结合地思考和解决问题的好机会。笔者查阅了人教版必修一教材，对此内容的处理也是借助于正弦线几何描点。对于画正弦函数的图象，教科书突出了单位圆的作用，先从作图象上任意一点出发，明确作图的原理，再用信息技术画出足够多的点，得到对图象更直观的认识，能够使学生更清楚知识的发生发展、归纳概括的过程[2]。后续的两角差的余弦公式也利用单位圆进行推导，使得单位圆成为整个三角函数研究的纽带。

2.函数性质研究的一致性与多样性

普通高中数学课程标准（2017版2020年修订）提出三个关注：高中数学内容主要分为四条主线，它们既相互独立，又相互联系，各个章节的设计要体现三个关注：关注同一主线内容的逻辑关系，关注不同主线内容之间的逻辑关系，关注不同数学知识所蕴含的通性通法、数学思想。数学内容的展开应循序渐进、螺旋上升，使教材成为一个有机的整体[1]。

三角函数作为函数内容的一部分，是高中基本初等函数研究的最后一类，学生之前已经有了研究幂指对函数的经验，借助这种经验展开三角函数的研究，学生比较熟悉也很自然，这也是研究函数问题的一般方法。但三角函数有它的特殊性，如周期性与奇偶性可以简化作图。性质与图象相互交融，一方面由图象可以直观得到性质，另一方面由性质可以辅助作图，通过本节课的学习要使学生体验研究函数图象与性质方法的一致性与多样性。

3.教学目标如何设定，教学难点如何突破

任何一节课，教学目标直接决定一节课的教学定位。如果定位于教知识，那么本节课完全可以不用介绍几何描点法，学生用特殊角三角函数值描点，老师再借助信息技术辅助作图即可得到图象;如果定位于教思想方法，那么就需要把三角函数放在函数的整体框架里，借助学生已有的经验自主建立研究三角函数的方法与内容;如果定位于学生核心素养培养，那么就要思考本节课能够培养学生哪些数学核心素养，以什么为载体去培养？很显然，定位于学生核心素养的培养立意更高，也是本轮新课程改革的最为关键的一个导向。

几何描点法蕴含着丰富的数学元素，既有利用单位圆研究三角函数的整体性，也有着培养学生直观想象核心素养的任务，故笔者认为应该要讲。但这是一个难点，如何突破难点呢？常见的办法有类比、归纳、推广等，笔者觉得可以采用从特殊到一般的处理办法，利用追问图象的准确性，让学生画非特殊角的三角函数对应的点，先描一个点，如（ ），通过这个问题的解决入手，再推广到一般情况。

四、教学改进

基于以上思考，笔者进行了重新设计，在任教班级尝试，效果较好。

问题1：今天我们研究三角函数的图象与性质，你能说出研究函数的方法与研究内容吗？

生：通过作出函数的图象，观察函数图象总结归纳函数性质;我们可以从定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、特殊的点与线等方面去观察研究。

问题2：我们已经知道三角函数的哪些性质？对我们作出三角函数图象有什么帮助？

生1：定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性好像也知道。

生2：只需作出一个周期内的图象，取[0，2π]上的图象;

生3：正弦函数是奇函数，我觉得取[-π，π]更好，这样只需要作出[0，π]上的图象，[-π，0]图象可利用关于原点对称作图;（此处应该有掌声）

学生活动1：尝试作出正弦函数图象。

学生采用描点法，在[0，π]内列出若干个特殊角三角函数值，再在坐标系中描点连线作图。

教师展示学生作图，并追问，

追问1：（0，0）与（ ）之间图象你怎么得到的？会不会是下凹的形状？

生：那就在这个范围内再作几个点。

追问2：如何描点（ ），困难在哪？有什么解决办法？

生1：sin 是多少不知道，可以用计算器求出来，再描点。

生2：不需要，借助三角函数线，在单位圆中量出 的正弦线长度，即sin 的值，用尺规作图就可以作出sin ;

追问3：如何在x轴上准确描出 这个点？有哪条线长度是 吗？

生1：取π近似值，除以7

生2： 角所对的单位圆弧长是 ，可以把这段曲线拉直后平移到x轴上。

追问4：能准确作出任意一点（x0，sinx0）吗？

生：取角x0对单位圆弧长为横坐标，x0在单位圆中的正弦线为纵坐标（平移正弦线），即可作出该点。

学生活动2：信息技术展示几何描点得出正弦函数图象。

师生共同归纳[0，2π]五个关键点，以下过程略。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程標准（2017版2020修订）[M].北京：人民教育出版社，2020

[2]高中数学教材编写研究章建跃、李海东主编北京：人民教育出版社2020.12