一道中考物理压轴题的多解分析

闫学利

[摘 要]文章以一道中考题的多解为例，强调数理知识与物理量之间的相关性，借此呼吁广大教师关注学生的发展需求。通过一题多解激发学生的求知欲，培养学生的高阶思维能力，提升学生解决问题的能力。

[关键词]极值法;图像法;数理推理

[中图分类号]    G633.7        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）26-0053-02

由于初、高中物理知识的跨度较大，且思维方法和学习方式存在差异，学生升入高中不久，往往感到物理抽象难学，甚至望而生畏。初中物理研究的现象相对具体形象，过程分析直观浅显，与生活联系较为密切。高中物理研究的现象更为复杂，概念及相关规律的阐述简洁严谨，过程推理科学严密，往往需要借助模型，透过现象研究本质。针对初高中物理学习衔接断层问题，不少地方中考试题中出现了“数理结合解决问题”的考题，其中有的还需要运用函数、图像、极值等数学方法来研究物理问题，在现有初中生认知水平的基础上，搭建了一座衔接高中物理的思维桥梁。本文借用一道中考极值题，尝试多种数理结合的推演方法，意在抛砖引玉，引发同行们对初高中物理教学衔接问题的关注与思考。相信只有实现学习方式、学习过程的相互衔接，才能更好地构建人才成长的“立交桥”。

[例题]（2019年扬州中考卷第24题）如图1所示是一种自动测定油面高度的装置。电源电压为6 V，[R1]是最大电阻为30 Ω的滑动变阻器，它的金属滑片P连在杠杆一端，[R2]是定值电阻，油量表是用量程为 0～0.6 A 的电流表改装而成的（ABCD四点表示四个接线柱，电磁继电器线圈电阻忽略不计）。

（1）当油面上升时，电流表示数变大，则导线 M 应与 接线柱相连;当油量下降到预设位置时，警示灯亮，滑片P刚好在B处，则导线N应与   接线柱相连。

（2）当油箱加满油时，滑片P刚好在A处，电流表的示数达到最大值，求电阻 [R2]的阻值 。

（3）在滑片滑动的过程中，求滑动变阻器 [R1]的最大功率。

答案：（1）A，D;（2） 10 Ω;（3）0.9 W。

下面主要围绕该题的第（3）小题，运用数理方法，探讨计算滑动变阻器的功率极值问题。

【解法一】当定值电阻[R2]与滑动变阻器[R1]串联时（如图2），变阻器的功率是一个变化量。多数学生根据公式推导如下：

[P1=I2R1=UR1+R22·R1=U2R21+2R1R2+R22·R1]

上述式子中，已知[U=6 V]，[R2=10 Ω]， 但怎样求解[P1]的最大值，以下推导过程为大部分参考资料中常用的方法，将已知数值代入上式，分子、分母同除以[R1]，可得：

[P1=6 V2R21+2R1R2+R22R1=6 V2R1+20 Ω+10 Ω2R1=6 V2R1-10 ΩR12+40 Ω]

因为[R1-10 ΩR1≥0]，所以当[R1=10 Ω]时，[P1=0.9 W]。

上述极值求解，将一个物理问题演变为一个数学推理过程，涉及的数学知识甚至超出了初三数学学科要求掌握的范畴。如果教师课堂上按照参考答案推演，那么这个过程就只是告诉了学生一个答案，一个基于不甚理解的带根号的完全平方关系推导出的极值。除了这个常见的推导过程，我们可以鼓励学生尝试其他方法，帮助他们用已有数学知识解决这个极值问题。

【解法二】如图3所示，根据[P1=6 V·I-10 Ω·I2=-10 ΩI2-6 V10 Ω·I= ][-10 ΩI-0.3 A2-0.09 A2=0.9 W-10 Ω·I-0.3 A2]。

当[I=0.3 A]时，[P1]有最大值，[P1=0.9 W]。

如果需要巩固一下此类定值电阻和滑动变阻器串联时，滑动变阻器最大功率极值的求解方法，我们可以再次讨论一下此时[R1]的特点。

根据串联电路电阻特点，[R1=R总-R2=6 V0.3 A-10 Ω=10 Ω]，此时[R1=R2]。

随着新课程改革的逐步实施，教育的理念和方法也随之发生相应的变化，尤其是在数学和物理这两门学科上。科技的发展依赖于教育，《义务教育物理课程标准》要求：让学生经历从信息中分析、归纳规律的过程，让学生通过学习物理知识，提高分析与解决问题的能力，让学生学习物理学家在科学研究中的方法，并在解决问题中尝试应用科学研究方法。初三学生学过了二次函数图像知识，如果运用函数图像顶点法来求解极值，可以拓展学生“数形”结合解决问题的思路。下面让我们一起来看看，“数形”结合求解的新思路。

【解法三】

[P1=U1·I=U-U2·U2R2=6 V-U2·U210 Ω=-U2210 Ω+6 V10 ΩU2=-U2210 Ω+0.6 A·U2]

如果用二次函数来描述滑动变阻器功率[P1]和定值电阻[R2]两端电压[U2]的关系，类似[y=ax2+bx+c]，其中[a=-110 Ω]，[b=0.6 A]，[c=0]。

因为[a<0]，这是一个开口向下的抛物线，如图4所示。

根据抛物线顶点坐标求解方法，可得：

当[U2=-b2a=-0.6 A2×-110 Ω=3 V]时，当定值电阻[R1]两端电压[U1=3 V]时，滑动变阻器两端电压[U2=U1=3 V]，又因为是串联，所以此时[R2 =R1 =10 Ω]，电压与电阻数值关系如图5所示。

当然，上述问题既然有极大值，也会有极小值，解决问题的思路是类似的，这类问题的解法殊途同归。考虑到电路的安全性，不同物理量的取值范围同样需要严谨的思维。

目前，我国正在全面推行新课程改革，新课程改革的培养目标是全面提高学生的科学素养，满足学生的终身发展需要。因而，全面发展和提高教师的科学推理能力，运用各种信息处理实际问题已经越发重要。本文借助一道中考物理题的多种解答方法，力图表达数理知识与科学推理能力之间的相关性，呼吁广大教师关注学生科学素养和科学能力的培养。

[   参   考   文   献   ]

[1]  曾育群.淺谈初高中物理教学衔接的问题与对策[J].中学理科园地，2018（4）：50-51.

[2]  孙俊峰.高中物理教学中求极值问题探析[J].中学生数理化（教与学），2017（2）：91.

[3]  周红霞.理科教学中科学推理的缺失与思考[D].长春：东北师范大学，2008.

（责任编辑 易志毅）