数学分析习题课课程与教材建设的思考与探索

胡颖 高等教育出版社理科事业部

数学是一切科学的基础。恩格斯曾指出：数学是研究现实世界中的数量关系和空间形式的科学。这也就是说：数形结合是数学的本质特征。自然界中的事物都有“数”和“形”这两个面，因此数学就成为物理、化学、生物等自然科学的基础。2019年印发的由科技部、教育部、中科院、自然科学基金委共同制定的《关于加强数学科学研究工作方案》指出，数学实力往往影响着国家实力，几乎所有的重大发现都与数学的发展与进步相关，数学已成为航空航天、国防安全、生物医药、信息、能源、海洋、人工智能、先进制造等领域不可或缺的重要支撑。

本文所讨论的“数学分析”是高等学校数学类专业中最重要的基础课之一，也是历时最长（一般为三个学期）、占学分最多的一门课程；它和高等代数、解析几何等一起构成了其他后续数学课程（如复变函数、实变函数、泛函分析、微分几何、概率论与数理统计、计算方法等）的必备基础。作为数学类专业学生进入大学后所面对的第一门专业课，数学分析学起来是比较枯燥和晦涩的，但是数学分析的理论和方法对于数学思想的形成、理性思维的训练、逻辑推理能力的提升等都起着特别重要的作用。如何掌握好数学分析课的主要内容并能熟练地应用其中的思想方法，对每个初学者来说都是至关重要的。由于数学分析中涉及很多不同于高中阶段的数学语言（如ε-δ语言，ε-N语言等），很多学生在初学时会感觉比较困难，甚至无从下手。而习题课是课堂教学的延伸和应用，贯穿于数学分析教学的全过程；它既有助于更深入地理解和掌握数学分析课堂教学中的知识，又可以为学习新的知识打下基础，起着承前启后的作用。因此，习题课是数学分析课堂教学的一个重要组成部分，它是教与学、理论与实践、知识与能力的结合。但是，随着高等学校数学类专业人才培养方案的修订，数学分析的教学时数进行了一定的压缩，这也迫使这一重要的教学环节有着明显的弱化。目前，习题课教学中常见的问题包括习题课教学时间被压缩，甚至有的取消；对学生在习题中存在的典型问题、普遍性问题解决力度不够；教师教学手段单一，不从学生的角度考虑，只是一味地演算习题，呈现“教师讲，学生记”的态势，对学生的思维能力、创新能力培养不够等。针对当前存在的问题，原有的习题课教材已经不能很好地满足教学实际，需要进行重新设计或者升级。笔者结合多年的编辑实践经验，以本人担任策划编辑的《数学分析习题课讲义》（第2版）（谢惠民、恽自求、易法槐、钱定边编）为例，从四个方面浅谈对数学分析习题课课程与教材建设的思考与探索。

一、精心构建数学分析的内容体系

数学分析包含了丰富而深刻的内容，其中许多内容，在数学分析的教材与教学中是无法讲透彻的，因为它们的证明或者需要用到超越数学分析课程如复分析、实分析、常微分方程、泛函分析等后续课程的知识，或者具有极大的难度，需要很高的技能和技巧。对于教材来讲，因为需要追求体系的完整性与知识的循序渐进，所以现有的数学分析教材对这类问题往往是回避的，至多只是对简化的情况做简单的介绍。但是在教学中会遇到各种问题，特别是有些学生，他们思想活跃，他们问出的问题，往往教师会回答不出。如果教师以“这是后续课程的内容”而一推了之，学生不会感到满意，而且这种做法对培养学生的学习兴趣和探究能力都是非常不利的。事实上，对于许多这类问题与内容，如果能对其做适当的处理与简化，有必要的话也可以先承认一些容易理解的结论，然后再做深入浅出的分析。

针对大众化高等教育背景下的教学要求，习题课教材需要精心选择数学分析的内容，不应该只是单纯地对原教材的各章节内容做个总结，而需要把核心知识点进行自然、有机的串联，在突出重点的同时，也尽量保持知识体系的完整性和系统性。《数学分析习题课讲义》（第2版）就特别注重知识之间的串联和完整性，如在第五章连续函数中除了对基本定理进行总结和细致的讲解，还特意增加了一节介绍连续函数在混沌中的应用，这也是第二章介绍过的迭代生成数列的现代发展。这既是课堂学习的自然延伸，又是进一步学习的起跳板，有助于培养学生的探究能力。

二、精心选择例题和习题

学习的目的在于应用。数学分析的基本原理和公式并不是很多，但是如果能娴熟使用，却可以发挥出神奇的威力。要做到这一点，仅靠课堂教学是远远不够的，关键在于学生要勤于独立思考，且做相当数量的习题。学生通过做题，不仅能深入、具体地理解和掌握数学分析的基本概念、理论和方法；还可以提升分析问题和解决问题的能力；进一步锻炼刻苦探索的毅力，培养创造性的思维。熟能生巧，多讲不如多练。

为了帮助初学者更好地掌握和应用数学分析知识，习题课教材在例题和习题的配置上需要做好数量和质量的平衡。《数学分析习题课讲义》（第2版）按照难度的不同层次收录了相当数量的习题，在例题和习题的选取中也力求创新，改变过去微积分学教程和吉米多维奇习题集一统天下的传统格局；而且特别重视一题多解和前后呼应，并对解题中常见的典型错误进行分析。

除了基础题的训练，也应该注意难题的配置。一些较难的题，一时做不出是很正常的现象，学生要学会将问题牢记于心经常思考。如果学生能通过自己不懈的努力、花费一定的时间去探索并最终解决一道道难题，对其能力和自信心都有极大的提升。为了启发读者，《数学分析习题课讲义》（第2版）一书中包含较多的注解，对一些较难的题给出提示，或者指出有关例题和习题的意义、与其他题之间的联系等。

三、吸收先进的处理方法

任何一门课程的内容都不可能一成不变，虽然经过多代数学家持续不断的努力，精雕细琢，数学分析已经建立了严格的理论基础和逻辑体系，但是科学技术的发展也在不断为数学基础注入新的活力。所以数学分析的讲授也应该推陈出新，同时在概念和方法的引入中注意采用现代数学的观点，反映数学的发展形势。落实到习题课教材，也需要吸取数学分析研究和教学中的新进展，对内容进行一些增删和调整。《数学分析习题课讲义》（第2版）对许多经典性的内容采取比较新颖的证明和分析方法，如用三分法证明柯西收敛准则；介绍上、下极限的三种不同视角以及它们在不同方面的应用等。

四、注重信息技术的应用

近年来，随着计算机多媒体技术的高速发展，课堂化教学发生了很大的转变，计算机辅助教学已经进入课堂。基于此，习题课教材中可以将一些利用计算机技术很容易实现但以前教学中比较基础的内容（如函数作图）做适当删减，而对计算数学领域中需要使用的重要内容（如插值公式、近似求根等）加以强化。《数学分析习题课讲义》（第2版）中有一节专门介绍了方程求根和近似计算，方程求根是个很有实际意义的问题，是计算数学领域中的重要知识点。

为了更加紧密地配合数学分析教材和教学，习题课教材中还很多值得注意的地方，如在内容的选取和难度把握上，如何照顾到相当广泛的读者群；如何吸取数学分析研究中新的进展，从而更好地培养学生的探究能力等。有句俗语“授人以鱼，不如授人以渔”，一本好的数学分析习题课教材也需要努力做到授人以渔，而应该只是提供一些习题的完整解答；需要利用好习题课这一教学形式，有效地帮助学生理解数学分析内容和方法的实质，引导学生深入理解分析的思想，让学生学会举一反三、更快地熟悉数学分析的方法、更熟练地掌握数学语言。总的来讲，如何提高数学分析习题课教材的质量，需要我们在今后的实践中和广大的教师不断地思考和探索。