合理设置情境和问题,引领学生学习数学建模

◇ 安徽 王志刚 刘兰梅

2019年11月,笔者有幸参加了由北京师范大学出版社组织的“中小学数学教材交流研讨会”,会上北师大版高中数学教材副主编李延林老师亲自执教了一节数学建模初始课——学校班车设站问题,这节课使笔者感触很大、深受启发．

1 教学过程分析

1.1 设置问题情境

上课伊始,教师在黑板上画了如图1所示的图,这是一段路,路旁有6 位学生的家,学校有班车接送学生,为方便集中接送6 位学生,决定在路上设置一站,这个站设在哪儿好呢?

这是一个贴近学生生活的现实情境,要解决的问题对学生来说是非常熟悉的,也是学生渴望得到答案的．能从这熟悉的情境中,从数学的视角发现问题、提出问题是发展学生数学建模核心素养的过程．

1.2 从现实情境中抽象出具体问题

针对这一现实情境,引导学生清晰表达这一现实问题．首先请同学们思考:这里“好”的意义不明确,怎么办呢?

这时,学生立刻意识到要对“好”做出表达,也就是为“好”下定义．

通过学生交流讨论,约定了4个“好”的定义．

定义1:所有人走的路程之和最少;

定义2:所有人走的时间之和最少;

定义3:站点离每个人都尽量近;

定义4:走得最远者路程最短．

通过这一教学环节,学生在熟悉的实际情境中,对模糊的概念进行了解释,完成了由现实情境到实际问题的抽象．

1.3 尝试研究定义1下的问题解决

1)用数学的语言表达实际问题

接下来,要将具体的实际问题用数学语言表达出来．

图1

定义1涉及距离,实际问题中的距离是沿路行走的长度,而数学中的距离是线段长度,学生通过小组合作,逐步认识到可以“化曲为直”,把曲线“拉直”,再将直线设为数轴,即可将实际问题转化成数学问题．

直线上的点A1,A2,A3,A4,A5,A6分别对应数轴上的坐标x1,x2,x3,x4,x5,x6(如图2所示)．令点P 为站,它对应的坐标为x,则求“所有人走的路程之和最小”的站点的数学语言表示就是求函数F(x)＝|x－x1|＋|x－x2|＋|x－x3|＋|x－x4|＋|x－x5|＋|x－x6|的最小值点．这一教学过程就是在建立数学模型．

图2

2)用数学的思想方法解决数学问题

上面的函数是学生既熟悉又陌生的数学表达式,说它熟悉,一看就知道是一个函数模型,说它陌生,是没有研究过这类函数的性质,没有求过这类函数的最小值．

由图2进行直观的分析:当点x 由最左侧逐渐向右移动,越靠近x1,则F(x)的值越小;同理,根据数学的对称性,点x 由最右侧越靠近x6,则F(x)的值越小;当x 进入x1与x2之间后,越靠近x2,则F(x)的值越小;如此分析下去,发现,当x 位于x3与x4之间时,F(x)取得最小值,于是得出最小值点就是闭区间[x3,x4]上的任一点．

至此,在“所有人走的路程之和最少”意义下的设站问题就解决了．

1.4 进一步研究其他定义下的问题解决

定义2是“所有人走的时间之和最小”,若在行走速度差异不大的情况下,就可转化为在定义1下进行研究．

定义3是“站点离每个人都尽量近”,这个说法有点模糊,没有体现数学的准确性,可以不研究．

定义4是“走得最远者路程最短”,其数学模型为求集合M ＝{|x－x1|,|x－x2|,|x－x3|,|x－x4|,|x－x5|,|x－x6|}中元素的最大值的最小值．

至此,似乎根据提出的所有的“好”的定义,问题都解决完了．教师又提出了一个问题:在每一个解决方案中,学生走的路有多有少,难道你们没有想到这样不够公平,应当找一个公平的方案吗? 这应当是首先想的事啊,也就是说,应当在开始就有这样一个“好”的定义,即每个学生走到站点的路程一样多．

一个学生马上发言:这是不可能的．

教师微笑着说:“怎么不可能?”教师将黑板上的曲线由一端出发延长了很长很长的弯弯曲曲的“路”,在很远的地方点了一个点,说“这就是站”．同学们稍愣片刻,一下笑了起来．这是释然的笑,是会心的笑．一个学生说:“走这么远,就感觉不到差别了．”教师说:这就是近似,实际生活中几乎没有绝对相等,所有的相等几乎都是近似的．当然,这种方案劳民伤财,不会被采纳,但是能够实现,它对应的数学模型是求方程的解,其中的近似程度依实情而定．

教师带着学生简要回顾了解决这个设站问题的数学建模过程,突然问学生,咱们做了重要的一件事,但没有写在黑板上,是什么呢? 学生你看看我,我看看你,摇摇头．“这段路每一点都一样吗? 6个学生的身体状况无差异吗?”随着这样的问话,教师在写过好的定义下边的空白处写下假设:假设没差异,如果不这样假设,数学模型就会变化,问题就会复杂．“建立数学模型之前,要先进行相关因素分析,再对这些因素进行假设．”之后,教师归纳了数学建模的一般过程,并指明教材中这一内容的相应页码,让学生课后阅读理解．

1.5 用数学,学数学

临近下课了,教师又带着学生回到了第一种方案的数学模型．问如果有7个学生,站设在哪里? 有n 个学生的站点问题如何解决．随着模型的推广,得出一个数学结论,留给学生课下探究．

2 感悟与体会

这节内容充实、结构新颖、一气呵成的数学建模课给笔者留下了深刻印象,之后,笔者在学校上了类似的数学建模课．

2.1 用数学的眼光观察和研究身边的问题

平时与学生谈起用数学,往往是“眼睛向上看”,什么大气污染、金融市场、生产与消费等,但是力所不能及．而对身边的平常事情,发现不了问题,更看不出数学的应用．这个校车设站问题,是学生非常熟悉的事情,从这里开始学习数学建模不仅让学生感兴趣,而且把学生的视角拉回来,关注身边的生活,在生活中发现问题,用数学解决这些问题．《普通高中数学课程标准(2017年版)》的课程目标中明确指出要提高学生从数学角度发现和提出问题、分析和解决问题的能力．

这也是一种方向的引导,学生自己研究问题的时候,选题应当立足自己熟悉的问题,即身边的问题、小的问题、具体的问题．

2.2 设置明暗两线,经历数学建模活动的主要过程

皮亚杰认为:认知发展可分为内化建构和外化建构．学生建模素养的发展过程应该是内化建构和外化建构同时得以发展的过程．本节课设计了明暗两条线,整体上并行推进．明线是围绕学校班车站设在哪儿“好”展开,从讨论如何设置站点“好”这一现实问题出发,得出4种建模方案,通过确定参数把模型方案数学化再求解模型、检验结果、改进模型,最终解决实际问题,这实质是数学建模素养的外化建构过程．暗线是围绕“实际问题—数学模型—实际问题”之间的转化,贯穿本节课的是模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验和模型应用等数学建模一般步骤,这是数学建模素养内化建构的过程．以问题为驱动,通过明暗两条线,使学生亲身经历知识的形成和发展过程,让学生体会到从感性到理性、从特殊到一般、从具体到抽象的思维方法,促进学生对数学建模过程和主要表现形式的理解和掌握．

2.3 突出数学建模的主要环节和特点

学生对数学建模是陌生的．长期以来,学生解决的数学问题都条件清楚、可丁可卯,而实际问题不是这样,在最初的校车设站的问题情境中,只提到了“好”,但没说什么是“好”．俗话说:萝卜白菜,各有所爱,这就是实际问题的特点．学生们七嘴八舌说出了自己认为的“好”,所建的数学模型是不同的．实际上,给出“好”的定义,是在表述问题,明确研究的问题．

公平往往是在群体活动中遵循的一个原则,然而,这个想法在“好”的定义中却没有出现,原来学生们认为这是不可能实现的．而教师制造了一个公平的方案,尽管这个方案“劳民伤财”,不会被采纳,但确实存在,而且这个公平是近似的．这种近似的观点非常重要,在实际问题的解决过程中,几乎没有绝对的相等、绝对的公平,误差是存在的,近似是常见的．

“假设”是数学建模的重要环节,学生对此也非常陌生,教师为此做了特殊的设计,开始没有直接讲假设,当问题解决后设立了一个悬念:“咱们做了重要的一件事,但没有写在黑板上,是为什么呢?”之后,在黑板的预留空白处补上了假设．这是非常艺术的处理,用这种方式突出了假设．另外,也让学生感受到假设的自然和必要,不进行假设,问题的条件就不明确,就无法进行数学建模．

2.4 引导学生做数学建模

虽然在数学建模教学的开始要讲解数学建模,但是仍然要让学生参与进来．这似乎挺难,但学生在这节课里真正参与了．从开始对“好”的讨论,到模型的建立,再到模型求解,学生始终积极参与,这是因为情境好理解,经验用得上,模型能驾驭．在一个一个子问题的引导下,学生逐步将数学建模向前推进,在自己的思考基础上,得到一步步相应的结论．

营造良好可行的参与式、体验式的学习环境是对数学建模教师的考验．有赖于教师对实际问题的选择、问题的设计和教学的把控．

2.5 在数学建模的学习中深入理解数学

数学建模是用数学解决实际问题的过程,凸显了数学的价值,可以在用数学的过程中更加喜欢数学,更加愿意学习数学,其使用数学的过程也是深入理解数学的过程．

在这节课的最后,教师提出了问题:“如果有7个学生站设在哪里?”这样的问题必然带来对数学模型一般化的思考,对于求函数F(x)＝|x－x1|＋|xx2|＋…＋|x－xn|的最小值点,便得到可视为定理的数学的一般性结论．

由于这节课的主题是数学建模,所以这一研究留在了课下,但这一段教学过程实实在在地让学生感受到了数学源于生活,生活实际是数学发展的重要源泉之一．