平移光滑数中无平方因子数个数的一个结论

王周结，赵前进，戴浩波

(安徽理工大学 数学与大数据学院，安徽 淮南 232001)

0 引 言

一个整数n称为y-光滑的,如果它的最大素因子p(记为P+(n))满足P+(n)≤y。在数论中,将一个整数分解为两个或者多个由其素因子大小决定的部分往往是重要的。比如,张益唐[1]2014年完成了关于相邻素数差的著名工作,光滑数在其中起了关键的作用。关于光滑数的性质和应用等内容可以参见文献。[2-6]

若对于任何的素数d满足d2不能整除n,则称n是一个无平方因子数。无平方因子数也是数论中经常研究的一类数。利用解析方法有很多关于无平方因子数研究,比如一元整值(或素变数)多项式取无平方数个数的问题等。[7]本文主要利用Möbius变换的方法研究光滑数平移后取无平方因子数的个数问题。对于y≥exp{(logx)5/3+ε},事实上因为有很多好的估计[8],因此本文只考虑当y小的时候的情形。

设x,y是两个正实数,记

S(x,y):={n|n≤x,P+(n)≤y}

为如下整数的集合:从1到x的y-光滑数所组成的集合。

记

Ψ(x,y):=#S(x,y)

为S(x,y)这个集合中元素的个数。对于2≤y≤x,记α=α(x,y)∈[0,1]是如下方程的解

(1)

对于自然数m,记

(2)

本文主要结果是下面定理:

定理1 设c≥4是一个常数,若时,有

#{n∈S(x,y):n+1是无平方因子数

1 一些基础知识和记号

记φ(n)是通常的Euler函数,ω(n)是自然数n的不同素因子的个数。在本文中,记号U=O(V)或者U≪V是指存在常数c,使得|U|≤cV。

记

Ψ(x,y；a,q):=#{n∈S(x,y):n≡a(modq)}

Ψq(x,y):=#{n∈S(x,y):(n,q)=1}

首先，需要如下关于Ψm(x,y)的引理。

引理1[9]若(logx)2≤y≤x,P+(m)≤y,且则

其中，gm(α)由(2)式所表示的,而其次，还需要光滑数上Bombieri-Vinogradov类似的结论。

记

引理2[10]对于任意的ε>0,存在c,δ>0,对所有的x,y满足(logx)c≤y≤x1/c,及对所有的A≥0,有

2 定理1的证明

在这一节中，证明定理1。

从初等数论中知道,对于任何自然数n,它可以唯一的表示为n=a2b,其中b是无平方因子数。因此自然数n是无平方因子数当且仅当a=1,由此可得

通过上述式子,可以把问题转换为

(3)

通过后面计算可知∑1是主项,∑2是余项。

首先，由引理2可得(取a1=-1，a2=1)

下面，分析Ψd2(x,y)。若记

则根据Ψm(x,y)的定义,容易得到

Ψd2(x,y)=Ψd(x,y)=Ψdy(x,y)

其次，估计Ψd2(x,y)中的余项Edy(1+Edy)。当c≥4,由条件(logx)c≤y和引理1中Edy的定义,经过简单的代入,可得

因此

从而得到

下面估计∑2,事实上对于它的估计,只需要给出如下平凡的上界:

(5)

综合(3)、(4)和(5),就证明了定理1。