小学数学“主题创新活动”的主题确定

蒋守成

摘要：数学教学可在常规的教材知识点教学及单元复习的基础上，利用“主题创新活动”，引导学生综合运用已有的知识、经验，持续、深入地探究一些与数学知识、生活经验密切联系的，具有一定的复杂性和挑战性的问题，从而丰富数学学科的育人资源，拓展数学学科的育人样式，充分发挥数学学科的育人价值。在教学中，具体通过整合教材零散知识、拓展教材已有方法、选取数学经典问题、发掘现实生活问题等途径，找到合适的主题（问题），开展主题创新活动。

关键词：小学数学;主题创新活动;经典问题;生活问题

数学教育说到底是为了学生的发展，即以育人为目的;即使是为了知识的掌握，最终也还是要指向学生，而不是直接指向知识本身。为此，我们在常规的教材知识点教学及单元复习的基础上，利用“主题创新活动”，丰富数学学科的育人资源，拓展数学学科的育人样式，充分发挥数学学科的育人价值。所谓“主题创新活动”，是指综合运用已有的知识、经验，持续、深入地探究一些与数学知识、生活经验密切联系的，具有一定的复杂性和挑战性的问题，从而获得自我见解，积累活动经验，形成良好的学习品质，发展“带得走”的核心素养（比如：充满好奇心，能敏锐地发现问题;有强烈的质疑精神，敢于提出问题;有独到的思维方式以及创新的思维习惯;有坚持不懈的探究精神;等等）的数学学习活动。

找到合适的主题（问题），是开展“主题创新活动”的先决条件。在教学中，我们尝试基于学生已有的知识和经验，激活“凝固”的教材内容，寻找合适的主题（问题）。具体途径如下：

一、整合教材零散知识

现行的各版本小学数学教材采取螺旋上升式安排，把相关的单元安排在不同的分册中。同时，教材中的单元划分是固定的，只能基于一个主题下知识（内容）之间的关联，而数学知识（内容）之间的关联是丰富多样的，这就给了教师重新选择主题划分单元的巨大空间——华罗庚先生说过：“找另一条线索把旧的东西重新贯穿起来，这也是一种很好的学习方法。”因此，我们根据“另一条线索”关联整合教材中的零散知识（内容），形成一定的活动主题（探究问题），引导学生展开主题创新活动，探究知识的来龙去脉，明晰知识的联系与区别，构建清晰的知识体系，发展结构化、系统化思维。

例如，学习了小学数学中平面图形面积计算的有关知识后，学生通常会形成由长方形（正方形）面积公式推导平行四边形面积公式，再由平行四边形面积公式推导三角形面积公式和梯形面积公式，最后由长方形面积公式推导圆面积公式的一种结构化表达。这是教材编排体现出的知识结构，但僅认识到这种线性的、单向的结构，显然是不够的。因此，我们设计了主题创新活动“平面图形面积的再认识”，帮助学生贯通平面图形面积之间的内在关联。

教学中，教师提供素材引导学生分组研究发现，三角形还可以转化成长方形（如图1所示），梯形还可以转化成长方形（如图2所示），圆还可以近似转化成三角形、梯形（如图3所示）。由此，帮助学生建立平面图形的面积计算之间更为广泛的联系，形成如图4所示的结构化表达。

再如，学习了小学数学中圆的有关知识后，学生对有关圆的问题正确率很高，但是对有关半圆的问题错误率居高不下。究其原因，是学生对半圆与圆的关系认识不到位。对此，我们设计了主题创新活动“圆与扇形”，帮助学生贯通圆、半圆、扇形之间的内在关联。这一活动分为以下四个环节：

1.教师请学生画一个半径为2厘米的半圆，说一说它有什么特征。得到：半圆是由一条直径和半圆弧组成的图形，是特殊的扇形，具有扇形所有的特征。

2.教师请学生求出自己画的半圆的周长和面积，说一说求的方法，让学生形成求半圆的周长、面积的一般方法，同时在比较中发现其内在的区别。然后，引导学生拓展探究半个半圆（即四分之一圆）的周长和面积、八分之一圆的周长和面积、一般扇形的周长和面积。

3.教师引导学生研究长方形和其中最大半圆的关系：在一个长为a、宽为b的长方形中画一个最大的半圆，半圆的周长和面积取决于长方形的长还是宽？得到如图5所示的结果。

4.教师引导学生解决有关半圆形跑道、养鸡场等的实际问题。

又如，苏教版小学数学二年级下册《角的初步认识》单元的一个《动手做》栏目要求学生用三角板拼直角、锐角和钝角，三年级上册《长方形和正方形》单元的一道练习题要求学生用三角板拼长方形和正方形，四年级上册《垂线与平行线》单元的一个《动手做》栏目要求学生用三角板拼画不同度数的角，六年级上册《分数除法》单元的一道练习题要求学生测量、计算三角板上30°角所对的直角边和斜边的比值。因此，我们设计了主题创新活动“探究三角板的奥秘”，将教材中零散的与三角板相关的问题统整起来，引导学生发现三角板如此设计的本质原因，沟通角、边、面积之间的内在关系，加深对数学本质的理解，实现对数学知识的融合。

此外，还可以整合与生活现实密切相关的数学知识（问题），形成活动主题。例如，整合有关利息、纳税、促销等的知识与问题，形成“理财中的数学”这一活动主题。

二、拓展教材已有方法

很多数学知识，如计算法则、公式等，具有方法性——能够解决相应的问题。在常规的教材知识点教学中，学生通常只会学习一些比较基本或现代常用的方法。然而，从问题解决（目标）的角度看，方法应该是多样的并且往往蕴含着相同的本质。认识并比较多样的方法，有助于提升思维的灵活性和深刻性。因此，我们基于问题解决（目标）拓展教材中的已有方法，形成一定的活动主题（探究问题），引导学生展开主题创新活动。

例如，学习了苏教版小学数学三年级下册《两位数乘两位数》单元后，学生提问：我们学习的乘法竖式是从低位乘起的，那么，乘法计算可以从高位乘起吗？于是，我们设计了主题创新活动“乘法计算方法新探”，介绍了我国古老的算筹方法、我国明代的“铺地锦”方法、15世纪意大利的“格子乘法”、古印度的从高位算起方法、我国台湾的“视窗”方法等。这一活动打破了学生对乘法计算方法的固有认知，让学生经历从举一反三到“举三返一”的探索过程，既深刻体验乘法计算方法历史演变的优化过程（如图6所示），又充分理解乘法计算方法历史演变中不变的算理本质（明确各部分计算结果的数位所在——计数单位）。由此，还引发了学生对加法、减法和除法计算方法的思考和探究，如：加、减法一定要从低位算起吗？除法一定要从高位算起吗？从而发现算法背后更为本质的算理的价值，全面提升运算能力。

又如，教学完“十进制”后，我们设计了主题创新活动“数学中不同的进制”，引导学生认识二进制、五进制、八进制、十二进制、六十进制，让学生明白一个数可以用不同的进制系统来表示，虽然呈现的样式不同，但是数的大小是不变的，不同的进制各有一些優点和缺点，各有一些应用。

三、选取数学经典问题

数学经典问题蕴含着深厚的研究历程以及数学思想方法，牵连着广泛的应用变化以及数学知识结构，因此，是非常有价值的探究主题。现行的各版本小学数学教材通过《你知道吗》《数学广角》等栏目呈现了一些数学经典问题，如“哥德巴赫猜想”“杨辉三角”“鸽巢问题”“哥尼斯堡七桥问题”等。我们以此为基础，并基于学生已有的知识和经验，选取更多的数学经典问题。由此，重点针对小学高年级学生组织主题创新活动，引导他们经历和数学家相似的研究历程，感受探索真理的艰辛，提升理性思维和批判性思维，培养独立思考、自由探索的品质。

例如，基于“哥尼斯堡七桥问题”，我们组织了主题创新活动，引导六年级学生经历和数学家欧拉相似的研究过程，将复杂的、有挑战的生活问题抽象成数学问题，即将七桥问题转化成一笔画问题来研究。具体的活动内容如下：

提问：（出示图10）这是当年普莱格尔河的地图，从任意一个河岸或岛屿出发，能否不重复地一次走遍这七座桥呢？请同学们拿出学习单1，用铅笔尝试着在图中画一画，然后在小组中分享你的发现。

分享：不管怎么走，总有一座桥没有走到;要保证全部走到，必须再架一座桥。

追问：再架一座桥，要架在哪里？这时，又该怎么走呢？请同学们拿出学习单2，用不同颜色的笔画出增加的桥和行走的路线，并在小组内交流。

交流：我们发现，虽然架桥的位置不同，但是都能不重复地一次走遍这八座桥。我们觉得，能否一次走遍所有的桥，可能和桥的数量有关。

简化：随着桥的数量的增加，画图解决就太复杂了，其实，能否走通和岛的大小、岸的长短、桥的长短没有关系。请同学们想办法把七桥图变得更简单，从而更方便思考。小组合作画出简化图。

汇报：（出示图11）我们把七桥问题中的A、B、C、D四个区域不断缩小，最后用4个点来表示，而图中的七座桥用7条线来表示，这样就把情境图抽象成数学图了。

评价：当年欧拉也和同学们有着相同的想法，通过图形简化把能否不重复地一次走遍这些桥转化成能否不重复地一笔画出这个图形。

四、发掘现实生活问题

数学具有广泛的应用性。现实生活中的很多问题，都蕴含着或者要用到数学知识和方法。这样的问题可以激发学生的研究兴趣，增强学生的数学应用意识以及社会责任感。因此，我们努力寻找学生能理解、能解决（至少是部分解决）的具有一定的复杂性和挑战性的现实生活问题，如常见的“住房面积有多大？”“汽车牌照中的数学原理”等问题、热点的“新冠肺炎疫情”“神舟飞船”等问题，设计主题创新活动，带领学生走向更广阔的数学世界，从数学的角度、用数学的知识和方法研究跨学科的现实生活问题。

例如，教学《圆环的面积》一课，学生对作为学具的胶带纸表现出了浓厚的兴趣，提出了“胶带纸有多长？”的问题。我们便抓住这个问题，组织主题创新活动。对此，学生首先想到了最简单的方法——将卷着的胶带纸展开后直接测量长度（受测量工具限制，要分段测量后求和），并实际测量了一卷胶带纸的长度，得到结果约为18.3米。对这一方法，教师引导学生认识到优点是简单准确，缺点是浪费胶带纸，进而思考：如何在不展开的情况下，知道一卷胶带纸的长度？对这个问题，学生讨论发现：展开的胶带纸的侧面可以看成长为胶带纸长度、宽为胶带纸厚度的长方形，卷着的胶带纸的侧面是一个圆环，因此，可以测量相关数据，通过圆环的面积等于长方形的面积算出胶带纸的长度。于是，教师引导学生思考如何测量一层胶带纸的厚度，得到先测量多层再除以层数的方法。由此，学生实际测量出圆环大圆的半径约为2.3厘米，小圆的半径约为1.7厘米，一层胶带纸的厚度约为0004厘米，然后通过“大圆的面积-小圆的面积=胶带纸的长度×胶带纸的厚度”算出胶带纸的长度约为18.84米。经历了方法优化的过程，又有学生想到查找包装袋上的信息，看看有没有标明胶带纸的长度。实际查找中，学生发现了“18 mm×20 yd×40 μm”的规格信息。经过分析，学生得出：18 mm表示胶带纸的宽度是18毫米，40 μm表示胶带纸的厚度是40微米，20 yd表示胶带纸的长度是20码，即20×0.9144=18.288（米）。最后，教师引导学生比较由各种方法得到的结果，说一说自己的发现。学生认识到：测量总会存在误差，我们要精益求精，减少误差。在这一主题创新活动中，学生重点经历了通过数学建模、数据分析来解决实际问题的过程，提升了实践创新能力。

再如，超市是学生在生活中常见、常去的地方，我们设计了主题创新活动“超市建在哪儿？”，引导六年级学生讨论解决以下问题：

金坛区西城街道的碧桂园和新城金郡是两个新开发的小区，中间相隔一条1200米长的街道。考虑到周边没有一家超市，某连锁超市的老板准备在这条街道上建一家超市。如果你是老板，你打算把超市建在哪里？

在教师的引导下，经过讨论，学生形成以下观点：

1.考虑距离因素，把超市建在街道的中点，到两个小区的距离一样。

2.考虑人口因素，哪个小区人多，超市就应该向哪个小区靠近一点。

3.考虑消费水平，哪个小区消费水平高，超市就应该向哪个小区靠近一点。

对此，教师让学生分成三个小组，设计活动方案，通过访问调查、查阅资料等方式了解情况、收集数据，来验证或说明自己的观点。

在最后的汇报分享中，学生充分阐述了自己的见解。虽然对超市究竟建在哪儿，没有形成统一的结论，但是，“真实的数据是决策的重要依据或参考”“越精准、越有效的数据越有可能帮助我们形成科学、合理的决策”等观念已经在学生的心间悄悄播下了种子。

这里特别需要说明的是，通过上述四种途径寻找合适的主题（问题）时，既可以以教师为主体，也可以以学生为主体。实际上，学生在日常的学习和生活中总会产生一些教师预想不到甚至有些天马行空的主题，而这些主题往往更加鲜活，更能激发学生学习、探究的兴趣。教师要敏锐地捕捉学生的想法，从而确定主题创新活动的内容。比如，上述主题创新活动“乘法计算方法新探”和“胶带纸有多长？”的主题（问题）便间接或直接地来自学生。

最后需要指出的是，在主题创新活动中，问题的探究对学生来说往往有一定的难度，因此，教师需要做到“三不”：不急于指导，而给予学生探究的空间;不过分追求效率，而重视学生经验的累积;不过分强调学生的收获，而更多关注学生能否提出自己的见解、检验自己的想法，能否尝试综合运用数学知识和方法。

总之，通过12年的研究，“主题创新活动”已经成为江苏省数学主题拓展课程基地的一种鲜活教学样态，连接了儿童数学学习的当下和未来。