“微元与求和思想”在高中物理解题中的应用

莫桂华

【摘要】“科学思维”是新课程标准中物理学科核心素养的重要组成，物理教学中不仅要重视概念与规律的传授，也要重视科学思维方法的培养。“微元与求和思想”在高中物理教学中经常使用，比如，瞬时速度的定义与测量、匀速圆周运动向心加速度的推导、匀变速直线运动位移的求解、物体沿曲线运动重力的做功等。“微元与求和思想”是中学阶段学生必须理解和掌握的物理学科思想方法之一，在高中阶段各类型的考试中，也常有考查。本文将通过典型题目，探讨 “微元与求和思想”在高中物理解题中的应用。

【关键词】微元;求和;高中物理;应用

一、什么是“微元与求和思想”

“微元与求和思想”实际上就是数学里面的微积分思想，在解题应用中称为微元法。“微元与求和”的具体操作就是把整体或整个过程进行无限的细分和逼近，找出微元及其所遵循的规律，然后进行累计求和，最终找到宏观的物理规律，从而解决问题。

“微元与求和思想”是分析和研究连续分布的对象，或受到非线性变化的外力作用，或经历不均匀变化过程等情况的强有力的手段，是中学阶段学生必须理解和掌握的物理学科思想方法之一。

二、“微元与求和”的解题应用步骤

典型例题：长为L的船静止在平静的水面上，立于船头的人质量为m，船的质量为M，不计水的阻力，人从船头走到船尾的过程中，问：船的位移为多大？

1.微元的选取

把人从船头走到船尾的过程无限分割，任取其中一段无限短的时间△t作为微元来研究，可认为人和船在此时间内做匀速直线运动，假设人与船在△t内速度分别为。

2.建立微元方程

以人船整体为研究对象，人从船头走到船尾的过程中，整体所受合外力为零，由动量守恒可得，两边同时乘以△t，可得 ，在这极短的时间内可认为人和船的速率不变，可以求得人和船位移大小分别为， ，代入可得微元方程：。

3.累积求和

把所有的元位移分别相加有：，即，其中分别为全过程中人和船对地位移的大小，由几何关系可得  ，最终求得船的位移。

三、“微元与求和思想”在高中物理解题中的应用

1.微元求和应用于求转动切割导体棒电动势

例题1： 一根长为l，以角速度w绕其一端点O匀速转动的导体棒OA，试求导体棒两端电动势的大小。

解析：将OA细分为n（n无穷大）段，取第i段微元分析，其切割速度大小为，产生的电动势为累积求和可得导体棒OA的电动势：

评析：用微元求和的方法求解此题，数学难度会大一些，但比起课本里面构建回路，使用法拉第电磁感应定律求解，或者直接告诉学生用平均速度计算，学生反而更容易理解。

2.微元求和应用于求非点电荷电场的电场强度

例题2：半径为R、电量为Q的圆环上电荷均匀分布，求圆环轴线上距离圆心O为x的P点处的电场强度。

解析：带电圆环不能看作电荷量集中在圆心的点电荷，故使用微元求和的方法来求解。选电荷元 它在P点产生的电场的场强沿x轴的分量为：

，求和并根据对称性可得：

且电场强度的方向沿轴线方向。

评析：题目是“微元与求和思想”在静电场中的典型应用。通过灵活选取微元，利用点电荷的场强公式进行矢量叠加求和，实现了问题的解决。更重要的是，通过思想方法的选取，把看似不能解决的问题，转化为可以用已有的规律解决的问题。

3.微元求和应用于变加速直线运动求位移

例题3：某研究小组经查阅资料了解到，在空气中低速下落的物体所受的空气阻力可认为与物体速度大小成正比关系（比例系数k为0.75），因此，下落的物体最终会达到一个恒定的速度，称之为收尾速度.如图所示为小球由静止开始，在低速下落过程中速度随时间变化的一部分图象。已知小球的质量m = 0.5 kg，，求小球在0～0.5 s内的位移大小。

解析：选取时间微元，由牛顿第二定律可得，公式两边同时乘以，，累积求和：，其中，，，可得：，代入数据，可以解得 。

4.微元求和应用于变化的电流求电荷量

例题4：两根间距为L，足够长的水平放置的光滑平行金属导轨通过电阻R连接，导轨间存在垂直导轨平面向上的磁感应强度为B的匀强磁场，一质量为m且与导轨接触良好的导体棒以初速度向右运动，求通过电阻R的总电荷量q。

解析：选取时间微元△t，由动量定理可得，累积求和，可得，其中，，解得。

5.微元求和应用于求变力做功

例题5：两个带异号电荷的小球A和B，电荷量分别为q与Q，质量分别为m和M。A在B的右方，且与B相距。 初始时刻，B的速度为0，A具有向右的速度，同时A还受到一个向右的作用力f而保持匀速运动，求从开始到两球间距离最大的过程中f所做的功及两球的最大距离（A和B均可视为点电荷）。

解析：随着两带电小球距离变化，它们之间库仑力发生改变，所以f为变力，在相对B球静止的参考系S中考察问题。初始時，A球的速度为，B球的速度为0，当两球的距离达到最大值时，两球速度相等，都是，根据动量定理与功能关系有， 式中I和W分别是在所考察过程中变力f的冲量和功。在所考察的过程中某一小段时间间隔内，的冲量为，在所考察的过程中，f的总冲量为，在时间内，A球的位移，力做的功为，在所考察的过程中，f的总功为，联立解得。

6.微元求和应用于求变力冲量

例题6：如图所示，电源的电动势为E，电容器的电容为C，同一水平面上有两根间距为L，不计电阻的平行光滑长直导轨MN、PQ，导轨内部存在磁感应强度为B，方向垂直于两导轨所在平面的匀强磁场. 把两根电阻相同、质量分别为和（）的导体小棒和无初速地横放在导轨上，且它们在导轨上滑动时与导轨保持垂直并接触良好。现将单刀双掷开关开关S先合向1，待电路稳定后再合向2。求两根小棒最终的速度大小。

解析：设两小棒最终的速度的大小为v，则分别为、为研究对象得：， ，① 同理得： ②由①、②得：又因为 、、、，所以累积求和可得：

而Q=CE，q=CU′=CBLv ，所以解得小棒的最终速度

评析：从上面例题3到例题6四个题目的解答过程可以看出，如果遇到求解一个变量对另一个变量的积累的问题，比如功是力在位移上的积累，冲量是力对时间的积累，位移是速度对时间的积累，电量是电流对时间的积累，微元与求和是一种非常好用的方法。

四、结束语

“微元与求和思想”作为高中物理教学中提高学生学科素养的核心思想方法之一，在力学和电磁学等模块都有广泛的应用，教师在平时的教学中应该予以重视。目前，高中数学的教学内容涵盖了微积分的初步知识，“微元与求和的思想”在物理中的应用一方面可以与数学的内容呼应，加深对微积分初步知识的理解;另外一方面也有利于加强物理过程分析的严密性。

参考文献：

[1]赵洁，梁沛林.谈微元法的缺失对高中物理教学的影响[J].教学考试， 2018（31）：70-71.

[2]鲁世明.微元法在高中物理解题中的应用探讨[J].物理教师，2017，38（11）：76-79.