考虑二次反射条纹的透明被测件多表面干涉测量

常 林，闫恪涛，王 陈，孙 涛，于瀛洁*

（1. 上海大学 机电工程与自动化学院，上海200444；2. 复旦大学 应用经济学博士后流动站，上海200433；3. 浦发银行博士后科研工作站，上海200002）

1 引 言

光学表面的精确测量对于量化和评估高精度光学元件具有重要意义［1］。光学干涉测量是一种高精度平面测量方法，其测量精度可以达到纳米级［2-3］。随着测量技术及仪器的发展，多表面透明透镜的一次性非接触式测量成为研究热点。目前，被广泛应用的测量方式是通过硬件压电陶瓷干涉仪采集干涉图，对透明平板非检测面涂抹消光材料以抑制多表面反射信号，而后经清洗和旋转，再对另一表面进行测量［4-5］。这种测量方法的缺陷十分明显：使用硬件干涉仪无法实现多表面干涉信号的特异性区分，即各表面信号的移相值与干涉频率是相同的，不存在差异性，因此无法通过算法进行区分；其次，被测件表面在涂抹和清洗消光材料时，被测件表面容易造成损伤，因此也无法一次性获得多表面信号。

De Groot 提出了一种能够实现单表面干涉图相位求解的算法，该方法使用不同帧序数下干涉图的系数加权计算即可得到被测件表面的相位分布信息［6］。Wang 等人发展了一种先进迭代算法，基于最小二乘原理可以计算出被测件干涉信息中的调制度和初始相位等信息，但是没有考虑多表面干涉情形［7］。Hibino 等人提出一种使用特征多项式根系数分布作为采样窗，从而进行离散傅里叶变换对目标信号进行提取的移相算法，但是这种算法的采样窗计算较为复杂，只能使用近似的分段拟合窗函数，并且受采样定理的限制，此系列算法只能求解固定腔长和厚度相对比值下的干涉信息［8］。

基于波长移相技术的干涉仪和相关算法近年来得到了发展。该技术通过波长可调谐激光器对输出波长的精确控制进行移相操作，基于不同干涉位置的被测表面在相同波长调谐量的条件下可以实现数值不同的移相，使得各干涉信号具有不同的相移频率，从而为信号的分离提供基础。在移相算法中，可应用于多表面干涉测量的主要有两类，一类是基于离散傅里叶变换的加权多步算法，另外一类是迭代最小二乘算法。加权多步移相算法通过时域加权实现各表面干涉信号的分离，从而获得初始相位分布，完成表面重建。但是这种算法需要精确地计算干涉频率，对线性移相的要求较高，当波长调谐线性程度不高时则无法完成相位解调。

本文基于最小二乘原理，提出一种能够应用于多表面干涉测量的最小二乘迭代算法，并且考虑多次反射条纹，进一步提高求解精度。该算法在处理多表面干涉条纹时能够获得精确结果，并且通过实验系统的搭建进一步验证了它在实际测量过程中的有效性。

2 干涉测量原理

2.1 多表面干涉测量原理

使用波长移相干涉仪对多表面被测件进行测量时，因为各被测表面与参考面之间的光程差不同，各表面的干涉频率是不同的，并且可以量化分析。通过移相算法求解出干涉信号中的初始相位，可以重建各被测面的形貌分布［9］。通过干涉仪采集的干涉图中，各表面所反射的信号会重叠地分布在条纹图中，因此使用传统算法直接对条纹图进行分离是不可能的，必须根据各干涉条纹之间不同的干涉频率进行信号分离，从而得到目标信号的初始相位等关键信息。以单表面干涉为例，每一个像素点的光强照度可以表示为：

其中 δ ( x，y，t )为干涉图在t 时刻的移相值。干涉光强I ( x，y，t ) 可以利用CCD 相机采集，移相步长通常作为已知或可测得的主动控制变量，式（1）中只有I0(x，y)，b(x，y)，θ(x，y)（分别对应干涉光强、调制度和初始相位）3 个未知数，故理论上需要采集3 幅或者3 幅以上的干涉条纹图即可求 出 待 测 表 面 的 初 始 相 位 。 其 中δ(x，y，t)=2πvi(x，y)t，vi为移相频率，该频率与其光程差有关［10］。

图1 多表面检测信号频率示意图Fig. 1 Frequency diagram of multi-surface signals

在图1 中，vi(x，y) 中i=1，2，3，4，分别代表前表面信号、后表面信号、厚度变化信号和二次反射信号（寄生条纹）；T代表被测件的平均厚度，h代表前表面到达参考镜之间的距离，数值上等同于干涉腔长。使用最小二乘迭代多算法时，通常忽略二次反射信号，本文将次信号纳入求解，以提高求解精度。

2.2 最小二乘迭代移相算法

通过干涉仪对多表面透明平行平板进行形貌测量时，各表面信息与参考面之间均会产生干涉。与此同时，基于传统的计算方法，如果要进一步精确地分析各干涉信息的具体组成和恢复表面形貌，必须考虑寄生条纹对于计算结果的影响。

基于上述分析，本文基于最小二乘法提取各表面的干涉信息，并且分析各误差对于分离结果的影响。在工业CCD 相机采集到的干涉图中，不仅存在各干涉信息混叠的复杂信号，还有背景光强和系统采集和处理过程中引入的噪声。本文通过移相过程中的每一帧减去第一帧的方法进行降噪，目的在于最大程度地减少噪声信息对结果的影响［11］。考虑多表面干涉混合信息，得到的各点光强如下：

其中i=1，2，3，4，在此分别表示前表面、后表面、厚度以及寄生条纹干涉信息。

使用波长移相干涉仪进行移相操作时，通过改变激光波长达到相位变化的目的。当波长发生改变时，相应的相位变化可以通过对波长变化进行表示，仍以厚度变化信号为例，其第k帧的总相位值以σ1(k) 表示，为简化描述，坐标不再列出。

式中：λ0为起始调谐波长，Δλ为单次波长调谐量。移相时波长发生线性变化，相位的变化呈现非线性。对式（3）进行泰勒级数展开可得：

式（4）中，χ进行泰勒展开的最高幂次，k次移相后，相位的变化量为：

根据式（5）可以量化分析移相过程中的非线性误差。 当起始调节波长λ0= 632.8 nm，腔长h= 0.1 m，波长调谐量Δλ= 10-4nm。若移相值第一项δ1(k)≈π/2，则第二项的移相值是第一项移相值的kΔλ/λ0≈1.58 × 10-7k倍，也就是说第二项非线性移相远小于第一项的值，因此测量时忽略第二项及更高次项。 那么式（4）可以改写为：

以上即为波长移相干涉技术的相位调谐原理。由于泽尼克多项式和光学检测中观测到的像差多项式的形式是相近的，因而常用它来描述波前特性［5-6］。

在实际测量时，需要精确求取前表面、后表面和厚度的变化，从而重建和表征前后表面的形貌分布和厚度均匀性等参数。此处的厚度变化信号指的是被测件前后表面上，去除被测件的平均厚度T 后，一束平行光所穿过的前后两点之间的距离。因此，通过算法重建的前表面、后表面和厚度变化的微观分布均可被视作平面大小与被测件表面相同而厚度很薄的微元。本文使用的计算方法所求取的二次反射信号在实际干涉波面重建中的作用是有限的，但是可以通过将该信号从其他信号中进行剥离，来进一步提高前后表面和厚度变化信号的求解精度。

当考虑被测件的多表面干涉信息对于结果的影响时，应当精确分析被测面之间多次反射的寄生信号。此处主要考虑在材料表面二次反射光束与参考面反射光束形成的干涉信号。基于最小二乘原理构建如下方程［12］：

在进行移相时，需要考虑所使用的干涉仪的最大调谐范围以及采样点的分布，理论上可以通过减小移相值和增加采集帧数来提高求解精度。但是与此同时，更小的移相步距意味着对波长调谐激光器的调谐精度要求更高，更多的采集帧数会提高测量成本和增加采集过程中纳入误差的可能性，因此需要谨慎选取移相值。基于采样定理分析，选取的移相值应当大于等于π/2，此时基频信号满足香农定理。在初始值的选取方面，如果所选取的初始值与真实值之间的偏离过大，则会致使计算精度降低，甚至导致算法失效。因此在预估移相值的初始值时，使用腔长值（h）和被测件的光学厚度（n1T，n1为被测件的材料折射率）对移相值进行估计，当基频信号的移相值为π/2时，则根据光程关系，前表面信号为( h/n1T ) π/2，后表面信号为( h/n1T + 1 ) π/2。

按照式（7）～（10）的迭代计算方法，设定移相值为π/5，考虑计算精度和实现成本，迭代次数（也即干涉图帧数）设为21，通过泽尼克多项式模拟波面，充分考虑寄生条纹对于多表面干涉系统的影响，得到的初始干涉条纹如图2 所示。

图2 包含寄生条纹的初始干涉图Fig. 2 Initial interferogram with parasitic fringes

为了分析寄生条纹对整体计算结果的影响，本文首先使用不考虑寄生条纹的原始计算方法对上述包含多表面干涉信息的模型进行计算（即省去包含寄生项的部分），解相结果如图3 所示。

图3 原始算法的分离结果Fig. 3 Separation result of original algorithm

从图3 可以看出，原始算法的解相结果较差。为了更好地分析解相结果，原始分离算法得到的复原值与真值的残余误差如图4 所示。

通过图4 可以看出，原始算法的误差较大。因此，对存在寄生条纹的干涉系统进行精确检测时，必须考虑寄生项。 本文基于移相值的精确计算，提出最小二乘的拓展计算方法，考虑寄生条纹的光程与腔长的关系，将移相系数与光程差相联系，纳入算法的设计过程以后，再次计算式（7）～式（10），可以得到各干涉信号的解相结果，如图5 所示。

图4 原始算法分离结果的残差Fig. 4 Residual of separation result of original algorithm

图5 考虑寄生条纹的算法分离结果Fig. 5 Separated results of algorithm considering parasitic fringes

通过上述计算，各信号的残余误差如图6所示。

图6 考虑寄生条纹的算法残余误差Fig. 6 Residual errors of algorithm considering parasitic fringes

通过如图6 所示的残余误差结果可以明显地看到算法分离结果具有很高的精度。由此可知：基于传统算法分析，在不考虑寄生条纹的情况下对多表面干涉系统进行解相和恢复，结果误差较大，不能很好地分离各表面信息。若综合考虑移相值和各表面光程系数的不同，把寄生条纹对算法结果的影响纳入算法设计中，可以得到较为精确的测量结果，能够很好地解相和分离各干涉信号，证明了所设计的算法的有效性。

为充分考量所述算法的鲁棒性和适用范围，本文对所述算法在不同移相值以及不同移相误差下的结果进行了分析。移相值对于移相算法而言是至关重要的，决定着算法精度，因此应当综合考虑移相值设定对于结果的影响。将不同的移相值带入算法设计过程并且进行循环迭代，取各结果的解相均方根值（Root Mean Square，RMS）作为观察值，如图7 所示。

图7 不同移相值下的RMS 结果Fig. 7 RMS results under different phase shift values

在干涉仪实际工作过程中，由于环境的误差以及激光器本身误差的存在，移相值并非每一步都符合设计值，因此若综合判定算法的鲁棒性，应当观察存在移相误差时算法的结果。以厚度变换信号为例，当被测板较薄时，该信号被选取为基频信号，其他干涉信号均可以用该信号的不同频次来表示。 定义移相值的一阶误差如下：

其中：ε是一阶移相误差，δ1(x，y，k)是第k次的设定基础频率信号的移相值。将式（11）带入迭代过程，计算解相结果的RMS 分布如图8 所示。

分析结果可知，所述最小二乘算法综合考虑了二次反射寄生条纹对于结果的影响，能够准确地解相以及提取多表面干涉信息，可以精确、完整地恢复样品表面形貌，满足高精度测量需求。同时，所述算法对于移相误差具有较好的鲁棒性，能够很好地应用于移相误差较大的情形，进一步证明了该算法的有效性。

图8 不同移相误差下的RMS 结果Fig. 8 RMS results under different phase shift errors

3 实 验

为验证所述算法的有效性，实验使用Fizeau干涉仪和New port 激光器，干涉仪原理如图9所示。

图9 波长移相干涉仪原理Fig. 9 Schematic diagram of wavelength phase-shift interferometer

使用上述干涉仪与激光器，被测件的平均厚度T=10 mm、折射率n1=1. 52，腔长h=145 mm，中心波长为632. 8 nm，移相步距为π/2，移相总步数为21，计算结果如图10 所示。

图10 初始干涉图和最小二乘算法的解相结果Fig. 10 Initial interferogram and calculated results of least square algorithm

通过上述结果可以看出，基于最小二乘原理的解相算法可以得到精确的解相结果，并且能够准确地求取寄生条纹，将传统算法中（包括加权多步算法）被隐藏的二次反射寄生项进行准确提取，该算法不受腔长分布的限制，可以实现任意腔长下的测量。但是也应注意，该算法需要对误差进行综合分析和抑制，其计算难度主要在于初始值的选取，若初始值选取不当则得不到精确结果。

4 结 论

本文阐述了基于最小二乘的多表面干涉信息提取算法，在该算法的设计过程中，考虑前表面二次反射信号，并且对比了原始算法及改进算法的计算结果和精度，分析了在不同的移相值和移相误差下的最小二乘算法RMS 值。 结果表明，所述算法对移相误差具有较好的鲁棒性，可以应对高精度测量情形。考虑二次反射信号的迭代最小二乘算法的理论精度可以达到0. 3 nm，但是当在同等条件下不考虑二次反射信号时，其理论精度为10 nm，并且通过实测数据求解得到的初始相位分布清晰，无杂波干扰，分离结果较为准确。

传统加权多步采样算法的特点在于：能够根据各信号分布的频率不同从而进行时域傅里叶采样，算法实现过程较为便捷，但是要符合一定的腔长系数条件，否则无法实现分离。而最小二乘算法则不需要严格地遵守腔长系数设置条件，可以在任意腔长下进行测量，但是初始值的预估对结果的影响较大，并且计算量较大，若初始值预估不精确则解相不一定收敛。 因此，根据实验条件和测量要求的不同，要综合考虑当前测量条件、误差和精度，选择合适的算法及测量方案。