多种形式 多元表征 多样推理

倪小红

摘  要：推理能力的培养应贯穿于整个数学学习过程中，特别是在计算数学中。然而，如何有效地培养学生在表内乘法中的推理能力，是一个值得思考的数学问题。笔者通过自身的教学实践，以表内乘法的六类知识为教学载体，以学生自主参与的手段，借助数形结合，各种直观模型让学生参与算法的探讨过程，帮助学生理解算理，培养学生的类比推理、演绎推理、归纳推理等推理能力，增加学生学习乘法计算的兴趣。

关键词：表内乘法;推理能力

一、缘起

在学生眼中，乘法计算大多是枯燥的，只要会算，算得快，算的对就够了。教师在实际教学中常常忽视推理思想的渗透，也不知如何把握算理理解的方式和时机，想面面俱到却往往顾此失彼。针对师生对于乘法计算教学理解上的误区和不足，我们就需要加强在乘法计算教学中渗透推理思想，建立学生的推理能力。

“推理能力的培养应贯穿于整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活经常使用的思维方式。”这是《数学课程标准2011版》对推理能力的要求。它贯穿于整个数学课程的学习内容中，即图形与几何、数与代数、统计与概率及综合实践等所有内容，都是培养推理能力的载体。人教版二年级上册《表内乘法（一）》和《表内乘法（二）》这两个单元中多处体现了对推理能力的重视，并安排了专门的教学例题和大量的习题来培养学生在表内乘法中的推理能力。

下图内容为课本教学例题，8的乘法口诀的编排充分利用了学习7的乘法口诀的思路，旨在唤起学生已有的知识经验，利用知识的类比推理，自主图1探索8的乘法口诀。

这样的类比推理一般学生都能理解。在背诵口诀的同时，思考口诀间的联系，自然而然能将口诀记得更深，更熟。重视这样的推理过程既能解释口诀的合理性，又能加强对口诀的感性认识和理解。在备课时，教材的每一个知识点在提出之前都进行该知识的合理性或产生必然性的思维准备，在教学中要充分展现推理和推理过程，并在黑板上演示出来，让学生一起模仿，加强师生互动，逐步培养学生合情推理能力。

1讨论：等号两边为什么能相等？

教师有意识地引导学生，在填符号时，唤起已有的乘法意义学习经验，不仅从数据特征入手，还应抓住等式的特征展开教学。

如36和18是大数，6和9是小数，要使等式成立，小数必须是相乘才能使得数变大。再观察36和18的共同点，发现他们都是6的乘法口诀或是9的乘法口诀。如果从6出发（图5）：等式左边的36表示6个6相加，18表示3个6相加，等式右边的6×9表示9个6相加，可想而知，6个6加上3个6才等于9个6，即36+18=6×9。或是从9出发（图6）：等式左边的36表示4个9相加，18表示2个9相加，等式右边的6×9表示6个9相加，所以4个9加上2个9才等于6个9，也能说明36+18=6×9。

在上面计算的教学中，我主要从以下方面入手：结合具体计算类型，运用画图等策略引导学生在理解的基础上构建数学等式。在教学中可以先放手让学生用自己喜欢的方法尝试，再将抽象难懂的文本信息转化为形象易懂的图画信息，帮助学生直观地理清信息之间的关系;并对各种解题策略进行分析与比较，突出了画图整理信息的优越性。在理解的基础上，让学生通过自己的探索，从而获得了解题方法，最后构建起数学等式。在构建数学等式的过程中不断强化学生的推理能力。

2.等差数列中的推理

张景中院士认为：“计算和推理是相通的，计算要有方法，这方法里就体现了推理，即寓理于算的思想;计算是具体的推理，推理是抽象的计算。”计算的具体推理，一定意义上就是算理的理解。

（1）多种方式理解算理

在这节课中，我们主要采取了以下方式帮助学生更好地理解算理。

① 联系旧知

在理解“等差數列求和”的计算原理时，要以学生的已有知识经验，即加

法与乘法的联系、乘法的意义为基础，让学生理解“能写成乘法算式的条件是什么”“如何把等差数列转化为乘法算式”，从而将所学知识融会贯通。

② 直观模型

直观模型是指具有一定结构的操作材料和直观材料。这节课，我们也选择了

数列小方块作为直观模型，让学生通过动手移一移来感知整个变化过程，在操作活动中让数与形、形与式有机结合，学生在后面的尝试计算中有图可依，在直观模型的充分体验中经历了“动作思维——形象思维——抽象思维”的发展过程。

3.乘加乘减中的推理

在教材设计中将类比推理、演绎推理、归纳推理等知识点同步呈现，让学生在掌握和梳理知识的同时发展数学思想，真正实现知识和能力同步提高。

以乘法中的演绎推理为例：把乘加或乘减算式改写成乘法算式

4×3+8=（）×（）    3×2+9=（）×（）

6×6-12=（）×（）   3×4+12=（）×（）

（1）尝试计算，列出多种算法。

师：乘加或乘减算式，应该怎么转化成乘法算式呢？请把你的思考过程写下来。

（2）全班交流，归纳不同算法。

生1：我算的是4×3+8，首先把4×3+8的结果算出来得20，根据口诀四五二十，写成乘法算式4×5。

生2：我算的是6×6-12，2×6=12，6×6-12就是6个6-2个6，得4个6，所以乘法算式是4×6。

（3）对比分析，找出一般方法。

师：把乘加或乘减算式改写成乘法算式，大家找出了两种方法来解决。在这两种方法中，你觉得哪种方法适用于所有算式？

生1：我觉得第二种方法是适用于所有算式的，第一种方法有局限性。

师：说说你的想法！

生1：6×6-12如果按照第一种方法，先算得数是24，口诀有四六二十四，三八二十四。但根据乘法的意义，乘法算式不能写成3×8。

师：看来，得数只有一句口诀时，才能写出正确的乘法算式。当口诀有2句时，就会出错。

师：那么，第二种方法是不是适用于所以算式呢？把自己的算式都用第二种方法再算一算就知道了。

（学生用第二种方法再次计算）

师：和你之前写出的乘法算式一样吗？

生（齐）：一样。

师：看来，它的确是一般方法，适用于所有加数或减数比乘数大的乘加或乘减算式改写成乘法算式。

（4）借助图形，深入理解算理。

以3×2+9为例，课件出示点子图，教师说明算理：2个3加上3个3等于5

个3，即3×5或5×3。

合理运用数学方法解决问题（择优），也是计算教学比较关注的方面。让学生在自己选择更适合的方法的过程中，渗透数学思想，提升学生的推理能力。

多观察，多思考，学生的推理就会有抓手，不知不觉就对研究乘法的知识有了兴趣。著名数学家皮埃尔·德利涅说：“在数学中，当你发现两个看似没有共同之处的东西事实上互相关联是一种乐趣，而在两个问题之间建立一个支点则是一个强大的工具。”这个支点就是我们进行推理的关键点。我们在教学中，也要用整体、联系的眼光看待数学的不同知识内容，让学生在理解、推理中内化数学素养。

二、研究后感

本次实践研究，围绕“多种形式，多元表征，多样推理”这一内容，通过对表内乘法中六类情况的实践研究，结果分析等活动，获得了以下感悟：

1.教师的感悟

在课堂上教师不是单纯地强调乘法计算速度和计算正确率。更注重引导学生多问几个为什么，让整个课堂成为一个思考的课堂，时不时会迸射出思维的火花。虽然上课进度不是很快，但每堂课上师生互动、生生互动比较频繁，整节课都很丰满。我想这样的课堂更加适合学生，让学生更感兴趣。在表内乘法的学习中注重学生对知识的理解，注重学生自身的探索操作过程，从而培养了学生的推理能力，建立了推理意识。

2.学生的收获

刚开始学习乘法时，很多学生争相说，“我知道，很简单，我在暑假班学过，我还会背1-9的乘法口诀了”。通过在乘法学习中不断地渗透推理思想，学生在课堂上变得会思考、会表达、会推理，上课积极性颇高。表内乘法学习结束后，问学生：再次学习了表内乘法，除了会背乘法口诀，你还有什么收获？学生有的说会从一句口诀推导到另一句，不怕因忘记口诀而不会计算了。还有学生说学会了用画点子图的方法将乘加算式、加法算式改写成乘法算式等等。学生的作业质量也挺高，不光會计算，还能正确运用乘法解决问题，还会试着自己推理解决较难的题目。学生们说其实乘法里蕴藏着很多有趣的秘密，找秘密的过程有点辛苦，不过我们已经学会如何寻找了。

3.有待完善的地方

不仅在表内乘法中需要培养学生的推理能力，而且在加法、除法等计算教学中也需要强化学生的推理能力，才能使学生不再觉得计算数学是枯燥的。

参考文献：

[1]黄喆.从掌握算法到理解算理【J】.现代教学，2016（4A）.

[2]李仲梅.培养学生数学推理能力的研究【J】.成才之路，2015（26）.