一题七问

文 何宏政

我们在一次函数、正比例函数、反比例函数的基础上来学习二次函数，是拥有一定经验的。同时，二次函数和以前学过的一元二次方程、一元一次不等式有着密切的联系，进一步学习二次函数，将为它们的解法提供新的方法和途径，并能更深刻地理解数形结合的重要思想。二次函数题型多变、考点多、思维量大、计算复杂，怎样从纷繁复杂的考题中找出二次函数考题的基本问题进行归纳总结，真正地掌握学的方向，并应用二次函数知识解决实际问题，是我们应当思考的。下面以一道典型例题为例，经过深入研究，我们可以挖掘出很多有意思的题型。

例题已知：如图1，抛物线y=x2+bx+c与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于点C，OA=OC=3，顶点为D。

（1）求此函数的表达式。

先确定坐标，再用待定系数法求函数表达式。这是基础中的基础，要求我们人人掌握。

（2）在对称轴上找一点P，使△BCP 的周长最小，求出P点坐标及△BPC的周长。

最值问题，已知表达式，求抛物线的对称轴。求直线表达式、交点坐标是解决函数问题的必备基础技能。我们可以运用解决“将军饮马”问题的策略求两点一线的最短距离，主要运用的数学方法为化折为直。当然，“将军饮马”问题还有许多变式，同学们可以自己尝试。

（3）在AC 下方的抛物线上有一点N，过点N 作直线l∥y 轴，交AC 于点M。当点N 坐标为多少时，线段MN 的长度最长？最长是多少？

求线段的最值问题，要用到两点间的距离公式。利用设点法求两点间距离、线段最值是解决函数问题的基本技能。

（4）在y 轴上是否存在一点E，使△ADE为直角三角形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，说明理由。

本问考查定点与动点的判别与使用。两条直线垂直即斜率k之积为-1。

（5）在对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A、B、K、L 为顶点形成平行四边形，求出K、L点的坐标。

利用平行四边形对角线的特征（对角线互相平分、中点坐标公式、对角线顶点横坐标之和相等、顶点纵坐标之和相等）能轻松解决两动点平行四边形问题。解决本问的关键是抓准定点与动点的关系及熟练掌握中点坐标公式。

（6）在线段AC上是否存在点M，使△AOM与△ABC 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由。

使△AOM 与△ABC 相似，应考虑问题的多样性（对应边的变化）。我们可以利用设点法，以代数式表示线段的长度来解决形的问题。此题构建的是A字与反A字相似模型。

（7）点P 是抛物线上一个动点，作PH⊥x轴于H，是否存在点P，使得△PAH 与△OBC相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。

△PAH 与△OBC 相似，只确定了一个直角，应考虑问题的多样性（对应边的变化）。我们依旧采用设点法，同样用代数式表示线段的长度来解决形的问题。此题构建的是两对应边成比例夹角相等模型。

对于基本问题，我们要深入研究和拓展，要学会对题目中的规律进行总结，善于就题变题；要学会通过观察分析探索交流解题的过程，寻找到规律进行学习，从而使知识转化为能力；要学会运用函数思想，利用好数形结合思想，注意分类讨论，最终掌握学习函数的方向和方法。