一道“倍半角”习题解法分析与拓展

广东省化州市第四中学(525100) 吕明勇

笔者以一道习题为例,依托学生现在的知识结构,通过多角度分析,从解题探究发展为解题策略探究,构建知识网络,从而促进学生自身数学解题能力深入发展,培养学生的高阶思维能力和实践应用能力.

1 题目呈现

如图, 在等腰直角三角形ABC中,AC=BC, ∠C= 90°, 点P为线段AC的中点, 连结PB,PD, 若∠BPD=45°,CD=2,求CP的长.

思路分析: 此题的背景是在等腰直角三角形中,含有90°和45°,是“倍半角”关系;故可以从两个特殊角出发,寻求问题解决的方法.从几何角度,可以利用45°角构造“一线三等角”相似,或者添加一条垂线,构造两个“手拉手”模型相似的直角三角形,也可以通过添加平行线构造相似三角形,从代数角度,容易联想到利用建立直角坐标系用直线斜率公式或三角函数或三角形面积公式来解决问题.

2 教学过程简录

学生1: 勾股定理, 如图1, 过点D作DE ⊥BP交BP于点E, 设CP=x, ∴BC= 2x, 由勾股定理得:已知CD=2,在RtΔCDP中,DP=∵ ∠BPD= 45°, ∴DE=PE=在RtΔBDE中,由勾股定理得:DE2+BE2=BD2,即:=(2x－2)2.解得x1=6,x2=

学生2: 勾股定理+相似,如图1,过点D作DE ⊥BP交BP于点E, 易证ΔBDE～ ΔBPC, 设CP=x,∴BC= 2x, 由勾股定理得:BP=已知CD= 2,在RtΔCDP中,DP=∵∠BPD=45°,∴DE=PE=∵ΔBDE～ΔBPC,∴∴解得x1=6,x2=

在上述两种方法后,教师带领学生思考这方法是如何想到的? 因为∠BPD= 45°,所以想到作垂线构造等腰直角三角形,利用勾股定理可解题.方法1 要求学生运算能力比较强.

观察图形,不难发现,里面有不少基本相似图形,所以我引导学生从基本图形入手探寻相似三角形解题.

学生3:“X”字模型相似,如图2,过点B作BE ⊥PD于PD的延长线于点E,由“X”字模型易证ΔPCD～ΔBED,设CP=x, ∴BC= 2x,DP=由勾股定理得:BP=∵∠BPD= 45°,∠E= 90°,∴ΔPBE是等腰直角三角形,∴BE=PE=,∵ΔPCD～ΔBED,∴解得x1= 6,

学生4: “手拉手”模型相似, 如图3, 过点P作PE ⊥AB交AB于点E, 易得ΔAPE是等腰直角三角形,∴∠APE= 45°= ∠BPD,∴∠CPD+∠BPE= 90°.又∵∠BPE+ ∠EBP= 90°, ∴∠CPD= ∠EBP, 易证ΔPCD～ΔBEP.设CP=x, ∴AP=x,BC= 2x,BP=∴AE=PE=∵ΔPCD～ΔBEP, ∴解得x1=6,x2=－6(舍).

学生5: 相似, 如图4, 过点D作DE//AC交BP于点E, 易证ΔDEP～ΔBPA.设CP=x, ∴BC= 2x,∵DE//AC,∴DE=x －1,∵ΔDEP～ΔBPA, ∴=解得x1=6,x2=

在上述三种方法呈现后,教师引导学生思考在构造直角三角形后又是如何想到接下去的操作呢? 这三位学生一致指出根据条件可获得角度相等(即“导角”、“AA”型相似),学生4、学生5 两人构造“手拉手”相似模型.根据已有一角相等(图3 直角相等,图4 含45°角相等,再寻找另一角相等;这是相似最常用的证明方法.由此积累添加辅助线构造不同的图形的解题经验,体验不同方向构造相似图形的方法.

学生6: “一线三等角”相似, 如图5, 反向延长AC到点E, 使CE=CD= 2, 所以ΔCDE是等腰直角三角形, ∴∠E= 45°, ∴∠A= ∠BPD= ∠E= 45°.运用“一线三等角”模型易证: ΔDEP～ ΔPAB.设CP=x, ∴PE=x+ 2,AB=∵ΔDEP～ΔPAB, ∴解得x=6.

这位同学指出,“一线三等角”是相似的常用方法,因为AC所在的直线上已有两个角是45°,只要构造一个45°角就能成为“一线三等角”相似模型,所以想到构造等腰直角三角形CDE,顺利找到解题突破口.

学生7: 三角函数,如图6,过点P作PE//BC,过点B作BE ⊥PE于点E,构造矩形BCPE,已知∠BPD=45°,∴∠1+∠2=45°.设CP=x,∴BC=2x,∵BE=CP=x,PE=BC= 2x,∴tan ∠1 =∵tan(∠1+∠2)=tan 45°=1,解得x=6.

第7 位同学指出,前面几种方法从相似的角度来解决的,能用相似来解决的问题也可以用锐角三角函数来解决,所以求CP的长可以采用锐角三角函数的思路来搭建桥梁.

学生8: 建直角坐标系, 如图7, 以点C为坐标原点,CB所在直线为横轴,AC所在直线为纵轴建立直角坐标系,设CP=n,则CB= 2n,所以点坐标:C(0,0),P(0,n),B(2n,0),D(2,0), ∴yP D=tan ∠BDP= tan 45°= 1 是直线PB,PD夹角的正切值,=tan 45°=1,解得n=6.

第8 位同学指出,建系根据已知条件求出直线PB,PD的关系式,然后用正切和差公式解题,解析几何真正实现几何方法与代数方法的结合,坐标系则是沟通几何代数的桥梁,如果在结合证明中一筹莫展的时候建系用解析法也是一种不错的选择.

学生9: 面积法, 如图1, 在学生1 的基础上解答, 设CP=x, ∴BC= 2x, 由勾股定理得:CP=已知CD=2,在Rt ΔBDP中,DP=∵∠BPD=45°,∴DE=∵SΔBDP==解得

学生10: 面积法, 设CP=x,BC= 2x,BP=DP=SΔBDP=|BD|·|PC|=sin ∠BPD,(2x－2)·x=·sin 45, 解得x1=6,x2=

以上两位同学指出, 因为ΔBDP是含45°的特点, 构造ΔBDP面积的不同表达方法, 融数的形式在几何特征的图形中, 设CP的长度为x, 用含x的代数式分别表示BD,DP,BP的长度,用不同的方法表示ΔBDP的面积,建立方程计算解决问题.

在这些方法呈现之后,教师指出简捷、巧妙的解法7 与解法8 关键在于转化,注重目标引领,加强理性探索.当然,目标的选择与确定要自然、合理;目标的转化与分解要适时、果断;目标的实现与达成要理性、灵活.同时带领学生感悟解决这个问题的主要思想方法有哪些? 遇到45°角问题一般有哪些思考方法? 基本图形对解题思路的形成起到怎样的作用? 可如何变更条件与结论得到类似的“倍半角”问题?

3 类题迁移

3.1 如图8, 在ΔABC中, ∠A= ∠B= 30°,AC= 8,AD= 3BD, 若∠FDE= 60°, ∠FDE的两边分别与BC,AC交于点F、点E,则线段EF的最小值是____.

解: 如图9,因为ΔABC中,∠A= ∠B= 30°,AC= 8,AD= 3BD, 易求BD=过点D分别作DG ⊥BC,交BC于点G,DH ⊥AC,交AC的延长线于点H.∵∠A= ∠B= 30°, ∠BGD= ∠DHE= 90°,∴ ∠BDG= ∠ADH= 60°, ∴ ∠GDH= 60°, 易得DG=∵∠EDH+∠HDF= ∠EDF=∠GDH= ∠GDF+ ∠HDF, ∴ ∠EDH= ∠GDF, ∴ΔDHE～ ΔDGF, ∴设DF=x,DE= 3x,EF=(ΔDEF已知两边及夹角是60°,过点F作DE垂线,用勾股定理可求EF长).当DF=DG=时,EF有最小值为

这一解法与学生4 方法一致,都是构造“手拉手”模型解答.这是因为题目中都含“倍半角”条件;这是运用模型巧解“倍半角”题的通法.

3.2 如图10, 在四边形ABCD中,AB=AD,BC=BD,∠ABD==40°,求∠BDC的度数?

解: 如图11,反向延长DA使AE=AC,∵AB=AD,∴∠ADB= ∠ABD= 40°, ∠BAD= 100°, ∴∠BAE=80°= ∠BAC,AB=AB,∴ΔBAC～= ΔBAE,∴BC=BE=BD,∴∠E=∠ADB=40°,∴∠ACB=∠E=40°,∴ ∠ABC= 180° －40° －80°= 60°, ∴ ∠CBD=∠ABC－∠ABD=60°－40°=20°,∴∠BDC=80°.

这一解法是利用80°与40°倍半角关系构造全等三角形,通过巧妙导角来解答.

3.3 (3.2)变式题: 如图10,在四边形ABCD中,AB=AD,BC=BD,若∠ABD==α,求∠BDC的度数? (用含α的式子表示)

在类题迁移中,都含有“倍半角”关系,如果学生熟练掌握例题中基本几何图形的性质,内化为自身的几何素养,在解决相关数学问题时, 就能准确找到与之对应的几何模型,然后采取行之有效的解题方法与策略,合理使用几何模型能使原本复杂的问题变得简单,使学生少走弯路,从而提高学生分析问题和解决问题的能力.

4 拓展小结

求线段长度的通法: ①、勾股定理.②、相似或全等.③、解直角三角形.④、建直角坐标系,两点间距离.⑤、等面积法.⑥、四点共圆托勒密定理.

章建跃博士在《图形的变化》的数学思维方式中指出:“几何就是要研究和理解几何图形的本质和结构,研究结果:几何图形的定性性质与定量性质”,把定性的结果变成定量的结果,把存在的东西具体表现出来,这是数学的基本追求.

三角形中二倍角问题辅助线常见处理有4 种方法:

5 结束语

习题教学要尽力做到3 个“坚持”——坚持以知识转化为思路引领;坚持以“怎样做、怎么想到这样做和同一类型还可怎么做”三步曲为操作模式; 坚持以“培养学生分析问题能力”为解题宗旨.习题教学的过程是一种研究的过程,不仅要寻找解题方法, 还要洞察命题意图、试题背景, 指向与发展,并通过解题研究与反思,提炼出这一类问题的常用解题方法和技能技巧, 及时归纳和梳理题目中包含的基本数学模型,优化思维路径,最终转化为学生已知的知识与活动经验去解决问题,真正做到从“教教材”到“用教材教”的转变;其次,通过学生亲身经历详细解一题,结合同类试题的举一反三,在主动探究和问题解决的体验中,在方法的碰撞和对比中,收获知识方法,逐步提高分析、综合、抽象、概括和运用转化迁移的思想解决问题的能力,形成良好的思维习惯,全面提高学生的思维品质.