2020年广州市中考数学第25题评析与教学思考

广东省广州市第二中学(510631) 卢 奕

2020年中考广州考卷第25 题一如既往的以二次函数抛物线为背景压轴出场.抛物线和各种几何图形组合易于综合考查多个知识点,蕴涵丰富的数学思想方法,特别适合考查学生的综合各项信息,解决问题的能力.下面笔者将对该二次函数综合题进行试题特色分析,赏析各类解法,并在此基础上为教学提供建议.

1 原题呈现

平面直角坐标系xOy中, 抛物线G:y=ax2+bx+c(0＜a ＜12)过点A(1,c－5a),B(x1,3),C(x2,3).顶点D不在第一象限,线段BC上有一点E,设ΔOBE的面积为S1,ΔOCE的面积为S2,S1=S2+

(1)用含a的式子表示b;

(2)求点E的坐标;

(3)若直线DE与抛物线G的另一个交点F的横坐标为+3,求y=ax2+bx+c在1＜x ＜6 时的取值范围(用含a的式子表示).

2 试题特色

本题考查多个知识点, 包括二次函数图象的基本性质,坐标与面积,函数值取值范围等.考查起点低、入口宽,不同层次的学生都有机会着手解答问题,如第(1)问考生只需了解图象上的点这一概念,将点坐标代入解析式,可顺利得到结论.考查的知识点丰富.考生需要调用的知识模块包括解析式与点的坐标互相转化,图形面积与点的坐标的互相转化,最值问题的求解,含参数问题的计算等,有良好解题习惯的考生有机会展示自身的积累.问题的呈现独具匠心,沿袭了几年来广州中考压轴题的风格,不拘于常规表达,既注重考查考生概念的本质的理解,又重视对考生数学思想方法的自觉运用的考查,最大限度的克服当下的“套路”解题,真正关注优等生的能力发展.鼓励创新,考生可构思解决问题的途径及策略多样,在寻找途径的过程中,就蕴含运用不同的思想方法、对应不同的推理过程,这里所有的不同,均体现了创新,意在鼓励考生的创造性思维.很好地体现了中考数学压轴题的选拔功能.

3 试题分析及解法赏析

第(1)问考查点与函数图象的位置关系,本小题的设计有效考查了考生对图形与坐标部分基本内容的理解, 解答是只需要将点A 的坐标代入抛物线解析式中,可得解.解答如下: (1)∵抛物线G:y=ax2+bx+c(0＜a ＜12)过点A(1,c－5a),∴c－5a=a+b+c,∴b=－6a;

第(2)问考查知识模块图形面积与点的坐标相互转化.题目没有给出图象, 需要考生自觉运用数形结合画出示意图,直观分析,形成思路,再全面考虑,自觉运用分类讨论,完善解答.首先,根据抛物线的基本性质,画出包含对称轴,顶点坐标大致位置的示意图是良好的开始, 再根据题意画出ΔOBE和ΔOCE的大致位置,分析图形性质,把握利用图形面积求点的坐标的关键就是将S1,S2的面积关系转化为线段BE、CE的关系,再转化为点E的坐标,实现三者相互转化解决图形面积问题,最后考虑B、C位置的不确定从而要分类讨论,完善结果.

以上除了选择直接由EM线段长度求点E坐标外, 还可以应用方程思想,先设点E(m,3) 将点坐标条件转化为线段长,再转化为面积关系.解法本质仍然是实现坐标、线段、面积三者相互转化解决图形面积问题,故解法不再赘述.

第(3)问以抛物线和直线相交为问题背景,对参数方程进行运算,求特定自变量取值范围下的函数取值范围.具有良好解题习惯的考生,能够在解题过程注重解题的方向,大胆猜想,敢于动手,也同时相对繁杂的含参数计算也需要考生有稳定的心理素质,小心求解,寻求a与c的等量关系的方法多样,需要考生积累各个基础知识模块间的横向联系与运用,熟悉数学知识的关联性,灵活建构解题思路、选择解题方法.解题思思维导图如图2.

不难发现求得a,c数量是解题的核心,是沟通结论与条件的必经之路.其解法关键仍在于坐标图象、坐标与图形的相互转化.具有多种解题思路:

类型一: 待定系数法求直线DE解析式后,代入点的坐标,得到含a,c的式子表示的等式.

法1.利用点D和点E坐标,求直线DE解析式,再将点F的坐标代入,可得a,c的关系式;

法2.利用点D和点F坐标,求直线DF解析式,再将点E的坐标代入,可得a,c的关系式;

法3.利用点E和点F坐标,求直线EF解析式,再将点D的坐标代入,可得a,c的关系式;

法4.利用点E和点F坐标,求得直线EF解析式,利用点D和点E坐标,求得直线DE解析式,D,E,F在同一直线上,所得两解析式的k值相等,可得a,c的关系式.

以法2 为例, 后续解答过程如下: 出直线DF的解析式为:y= 6x －18 +c －9a把点代入得,c=9a,∴抛物线解析式为:y=ax2－6ax+9a,∵1＜x ＜6, 抛物线顶点坐标为(3,0),∴当x= 3 时,ymin= 0,当x=6 时,ymax=9a,∴0 ≤y ＜9a.

类型二: 应用相似三角形性质得点D,E,F有关的线段关系.

法5: 如图过F点作对称轴x= 3 的垂线, 垂足为N, ∴ΔDME～ΔDNF, ∴∴c=9a,继而解答如上法2.

类型三: 应用三角函数得点D,E,F有关的线段关系.

法6: 如图过F点作对称轴x= 3 的垂线, 垂足为N,tan ∠EDM=继而解答如上法2.

还有许多方法,限于篇幅,不再赘述.

4 试题对教学的启示

二次函数是初中数学的核心内容,历来都是中考必不可少的一项内容,常广泛结合各知识,突出考查几何思维水平和数学思想方法,这为我们教师今后的教学给予了一定的启示.

4.1 重夯实基础,让知识变得透彻

正确的解题思路源于对基础知识、基本技能的熟练掌握.教学上应引导学生避免浮躁地堆砌知识,而应着重深度理解最基本的概念和原理,真正理解基础知识.如教学上引导学生对某个一元二次方程的根的认识,形成四个层次: 首先有直观感知,将根代入方程,等式成立;进一步可以运用根的判别式了解根的存在情况;还想知道根的大致范围,可以运用根与系数的关系;最后应用求根公式明确求根.从这四个对根的认识,由浅入深,符合人们对事物的认知规律能帮助学生深度理解根的意义,构建学生良好的基础知识水平.

数学运算作为数学六大核心素养之一,是良好的解题习惯,解题速度和准确度的保证.运算能力作为课标核心词,不应狭隘、极端地理解为短时间、高效率、准确性.《课标》指出:“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力.培养运算能力有助于学生理解运算的算理,寻求合理简洁的运算途径解决问题.”运算的正确、灵活、合理、简洁是运算能力的主要特征,良好的运算能力是优等生形成与自身综合实力匹配的稳定的心理素质的前提.

4.2 重深度思考,让思维得以延续

解题教学中,不仅需要教师引导学生分析问题,从不同方向思考,寻求解题途径,还需要教师引导学生进行深度思考,挖掘问题的本质,避免落入花式技巧和套路的学习怪圈.只有提升学生思维的深广度,才能真正收获解题方法和经验,形成解题能力.如在代数综合类问题解题教学中,特别是与函数相关的内容,常依据问题的背景做一些分类: 函数与平行四边形,函数与面积,函数与全等等.但教学上要避免陷入学生机械地套路解题,而应引导学生深刻认识到图形与坐标关系的本质,是点的坐标、线段长之间的相互转化.函数与多方面知识结合形成千变万化的问题,其本质为归纳出线段的关系,进而转化点的坐标关系.

4.3 重积累经验,让数学本质得以挖掘

经历深度思考的解题之后,学生要学会将知识置于整个知识体系中,积累学习经验.教师引导学生及时总结题目所蕴含的结论以及所涉及的思想方法.学生构建合理的知识结构与知识系统, 才能在解决问题是能够顺畅地提取知识.初中几何有许多的知识是以图形为线索展开的,如与中点相关的定理在几何各个章节里都有出现,教师在教学中，引导学生归纳与中点有关的定理,让学生“见到中点能想到什么……”,学生在总结和归纳中发现知识的纵横联系,有助于提高学生在新问题情境下准确把握核心知识、形成解题决策的能力,从而提高运用已有经验解决新问题的能力.类似的经验还有“证明线段相等的方法”,“用轴对称变换的观念添加辅助线”等.