经历概念获得与原理生成的过程,发展数学抽象素养——以“平面与平面垂直的判定”教学为例

广东省广州市执信中学(510000) 施永红

笔者在多年教学实践反思中发现: 凡是为了完成课时而挤压学生经历概念获得、原理生成的教学,效果都不尽人意,不仅妨碍学生掌握数学的“四基”“四能”,而且不能形成好的数学情感态度价值观,直接影响学生健全人格的培养及核心素养的提升.

新课程标准提出: 通过高中数学课程的学习,学生能在情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系,积累从具体到抽象的活动经验;养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯,把握事物的本质,以简御繁,运用数学抽象的思维方式思考并解决问题[1].

考虑到数学抽象的研究对象有两类,一是真实世界,二是数学世界.另外,数学抽象的内容主要有三类: 一是问题,二是数学概念,三是数学原理.于是数学抽象的内容就可以细分为两类六种: 一是在真实世界中利用理想化和数学表示提出数学问题、数学概念、数学原理,这个叫水平数学化;二在是数学世界中提出更高级的数学问题、数学概念、数学原理,这个叫垂直数学化[2].

下面以立体几何“平面与平面垂直的判定”中的概念、原理教学为例,阐述如何在课堂教学中让学生“经历概念获得与原理生成的过程,发展数学抽象素养”.

1 重视单元设计,整合课时教学

数学学科核心素养的发展具有连续性和阶段性,我们要整体把握教学内容, 促进数学学科素养连续性和阶段性发展[1].因此,扎扎实实进行单元整体设计教学很有必要.

例如: 人教A 版教材编排的顺序是先学平行关系后学垂直关系;从另一个角度,也可以先研究线面的位置关系,再探讨面面的位置关系.“平面与平面垂直的判定”在单元整体设计中可以安排在平面与平面平行的判定与性质之后.

2 创设问题情境,重视概念引入

首先,从数学世界中提出更高级的数学问题,积累垂直数学化的体验.

前面的课时学习了平面与平面平行的判定与性质,学生自然而然地提出: 下面要进行的学习内容是: 研究平面与平面相交的位置关系.

其次,从对真实世界的直观感知创设问题情境,积累水平数学化的体验.

首先教师让学生打开课本,观察打开的“角度”变大和变小的不同,得到“两个平面相交”的直观体验.然后让学生举出现实生活中可以抽象出“平面与平面”相交的直观体验的大量实例,如: 开着的门面和墙面等等.

3 落实问题引导,突出概念构建

在教学中,以具有内在逻辑关系的“问题链”方式突出概念的思维建构和技能操作,突出思想方法的领悟过程分析.

教师展示开门、关门的过程,提出问题①: 对这些相交平面的直观感知有什么不同?

学生回答: 感觉角度不同.教师指出: 为了研究两个平面所成的角,我们引入二面角的概念.

问题②: 观察老师的手提电脑,以及自己“打开课本”的图形,我们得到二面角的直观感知,请类比“角的概念”,用图形语言和文字语言来描述二面角.

学生回答: 先把电脑的键盘所在平面以及屏幕所在的平面抽象为两个半平面,把电脑旋转轴抽象为一条直线,那么,这是一个从一条直线出发的两个半平面组成的图形.学生画出图形,标识字母.教师肯定学生的概括,提炼二面角的概念(略).注意在类比角的概念(共顶点的两条射线)时,学生会自主想到共一条直线的两个半平面,而不是两个平面相交把空间分成四部分.

问题③: 类比角的表示,如何表示二面角?

学生类比角的表示,试着用数学符号表示二面角,教师修正、改进.

问题②③的提出和解决,体现从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构,并用数学语言予以表征,可培养学生类比学习的能力,发展学生的抽象概括的数学素养.

问题④: 如何严谨地描述大家感觉到的“角度不同”呢?

学生回答: 类比角可以度量,解决要怎么度量“二面角”的问题.

问题⑤: 你觉得要如何度量二面角呢?

学生回答: 类比“异面直线所成的角,直线与平面所成的角”是用平面角来刻画的,我们应该考虑用某个平面角来刻画空间的二面角的大小.

这里渗透了数学研究的一般思路,以使学生养成前后一致,逻辑连贯的思考问题的方式.

4 设计探究活动,实现数学抽象

概念学习是有意义的学习, 根据有意义的学习的条件,学习者必须具备有意义学习的心向.要做到这一点,除了激发外在动机的手段之外,教师应该根据学生认知的心理特点,充分激发学生的内在动机.如果教学内容及活动具有新奇性、运动性、可探索性等特点,那么就能激发学生的求知欲[3].本节课设计如下学生自主探究活动,让学生实现从直观图形到数学抽象.

教师把手提电脑打开分别如图1、2、3 的情景,提问⑥:同学们观察: 这几个二面角的大小,给你什么直观感知?

图1

图2

图3

同学们回答: 感知是: 直角、锐角、钝角.

教师请同学们模仿老师的动作,打开课本如图1、2、3 的情景,互相讨论一下: 你是通过什么角度来感知: 直角、锐角、钝角的?

同学们经过观察,讨论,回答: 是从观察该二面角的正视图感知到的;这个正视图就是一个平面角,很明显分别是直角、锐角、钝角,如图4、5、6.

图4

图5

图6

教师肯定学生的观察角度及有用的发现,并再次抬起手提电脑,请同学们观察二面角的正视图,教师提出问题⑥: 你刚才看到的直角、锐角、钝角,在具体的二面角中能否找到?请你画一画,并用符号语言描述.

大部分同学都画成如图7,8,9 所示:

图7

图8

图9

教师展示同学所画的平面角.提问⑦: 一个具体的二面角中,只有这两个平面角∠A1O1B1或∠A2O2B2可以给你度量二面角的直观感知吗? 想一想,如果觉得还有,就再画一画,然后互相交流一下.

根据正视图的直观感知,学生画出图10,11,12,并说出画法: 在二面角的棱l上任取一点O, 以点O为垂足, 在半平面α和β内分别做垂直于棱的射线OA和OB,则平面角∠AOB就是可以刻画二面角α－l－β大小的角.

图10

图11

图12

也会有学生画出的平面角的两条射线与棱不垂直的情况,这时候可以继续追问: 这个平面角可以刻画二面角大小吗?

学生讨论、分析,发现: 过同一点,分别在两个半平面上的两条射线不垂直于棱的平面角可以是任意大小的角,不仅不唯一,也不符合之前观察的直观感知.

在互相交流作图的过程中,学生发现: 不同的同学,画同一个二面角的平面角的时候,点O的具体位置不同;但是二面角的平面角大小不变.学生会自行发现: 改变点O的具体位置,这个角度的大小不会改变.教师追问理由,学生回答:因为等角定理.

教师及时肯定学生的表现.并指出: 这样得到的平面角,就叫做二面角的平面角.

二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.

注意,学生的表述可能不那么严谨,教师要允许学生讲得不清楚,甚至表述混乱,只要耐心提点,逐渐修正就可以得到逻辑清晰的描述.这里学生能提升数形结合的能力,发展几何直观与空间想象的能力;增强运用几何直观和空间想象思考问题的意识;形成数学直观,在具体的情境中感悟事物的本质,因此要舍得花时间.学生参与的过程是很生动活泼的,这样的教学才能落实“四基”(基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验)“四能”(从数学角度发现和提出、分析和解决问题的能力)的培养.

5 “精致”概念获得,奠基原理生成

认知心理学家认为: 在学习某个概念时,可能对所学概念有所拓展,有时甚至会做出某种推论,这个过程就是对概念“精致”的过程.在数学学习中,“精致”的实质就是对数学概念的内涵与外延进行尽量详细的“深加工”,以使学生建立更清晰的概念表象,获得更多的概念例证,对概念的细节把握得更准确,理解概念的各个方面,获得概念的某些限制条件等.这一“精致”过程通常表现为对各种可能的特例进行剖析,分析可能发生的概念理解错误,理解概念的各种变式等等[4].本节课的具体做法是:

5.1 以等值语言精致复述概念,不断构建概念知识体系

问题⑧: 请同学们谈谈你对二面角的具体认识?

答1: 这是由棱上的一点在两个半平面上引出的同时垂直于棱的射线构成的一个平面角,是用来度量二面角的大小的,空间问题平面化,体现化归转化的思想;

答2: 二面角的平面角大小由二面角的两个面的位置关系唯一确定,与棱上点的位置无关;

答3: 二面角的平面角所在的平面与二面角的棱垂直,这个平面实际上就是之前观察二面角的正视图的投影面.

教师继续提问⑨: 二面角的平面角中,哪个度数最特殊?

学生回答: 90°,或者直角.

教师指出: 平面角是直角的二面角叫做直二面角.

教师引导学生观察: 教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角? 分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及其度数.最好用图形(长方体)具体画出并写下来.

很多老师会迅速从直二面角直接去到平面与平面垂直的定义.这可能没有理解教材在这里安排“观察活动”的意图: 这是对二面角的平面角概念的一个“从抽象到具体”的应用,同时也是“平面与平面垂直的判定”的重要奠基,也是对概念“直二面角”的精致过程,是让“直观想象、数学抽象、逻辑推理”等核心素养落地的具体操作.

接着教师给出“平面与平面垂直的定义”: 如果两个平面相交,它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.例如之前观察到的墙面与地面,黑板面和天花板平面,墙面和天花板面,都是平面与平面互相垂直的直观体验.

教师继续提问⑩: 你怎么理解“平面与平面垂直的定义”? (引导学生“概念精致”)

学生答: 定义可以从“线线垂直”(二面角的平面角是直角)到“面面垂直”;同时,由“面面垂直”到“线线垂直”(二面角的平面角是直角),从而把空间线线、线面、面面垂直的转化关系进一步紧密构建起来.

5.2 揭示结论的发现过程,落实原理的自然生成

从培养学生的创新意识和科学发现的能力的角度考虑,教师应该根据学生认知的特点和要求,有选择地进行定理的再发现——引导学生重复或者模拟定理的发现过程,这不仅仅使学生了解定理结论的由来,强化对定理具体内容的理解和记忆,而且可以充分发挥学生的主观能动性,培养学生科学发现的能力[3].

教师指出: 仅用定义来判定“平面与平面垂直”,还不是很方便;而且定义的方式仅仅揭示了面面垂直与线线垂直的互相转化.下面我们看看,还有没有判定“平面与平面垂直”的其它更方便的途径?

学生无论是由之前的学习经验(由线面平行判定面面平行),还是从和老师的互动中,都很容易联想到: 由线面垂直判定面面垂直.

这里积累了学生垂直数学化的体验,促使学生类比面面平行的判定定理,提出猜想: 一个平面上有一条直线垂直于另一个平面,这两个平面互相垂直.

教师表扬学生猜想正确,并给出实例,操作确认1: 建筑工地上,砌墙时,泥水匠为了保证墙面与地面垂直,常常在较高处固定一条端点系有铅锤的线,再沿着该线砌墙,如图,这样就能保证墙面与地面垂直.操作确认2: 旋转的门,因为门轴总垂直于地面,所以门面总垂直于地面.

然后教师要求学生: 把这个判定方法的文字语言再提炼一下,得到判定定理(略).

接着教师引导学生把文字语言转化为图形语言、符号语言,并进行严格的逻辑论证.证明的依据只能是平面和平面垂直的定义,即证明二面角是直二面角.证明的过程需要自主构建辅助线,得到二面角的平面角,再证明这个角是直角(此略).

这里可以发展学生从一些事实和命题出发,依据规则推出其他命题的素养,即逻辑推理的素养.学生先是经历了归纳、类比两种从特殊到一般的推理,接着是从一般到特殊的演绎推理,用面面垂直的定义,证明了面面垂直的判定定理.

5.3 给出典型例子,逐步深入理解概念、掌握原理

教师继续追问: 判定定理有什么作用?

学生答: 可用判定定理判断或者证明平面与平面垂直.判断或证明的方法是: 只要从其中一个平面上,找到另一个平面的垂线即可.

例题选择课本P69 例3 及探究(在单元整体设计中的课时“直线与平面的垂直”已经落实探究并证明了《九章算术》中鳖臑、阳马模型中所有可能的线面垂直关系),然后进行探究变式: 已知底面是矩形的四棱锥P －ABCD,PA⊥平面ABCD,问此四棱锥中你能发现哪些平面互相垂直?

通过典型问题解决以及典型问题的探究、论证,将平面与平面垂直的判定定理的应用得到扎实掌握,同时让学生规范表述论证过程,学会有逻辑地表达和交流,形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神,发展学生的数学抽象和逻辑推理的核心素养.

6 小结逻辑清晰,提炼画龙点睛

知识小结: 略

方法小结: 从直观到抽象,通过对具体的“平面与平面相交”实例的观察、分析, 归纳出共性(一条公共棱, 两个半平面组成的图形)得到“二面角”的概念及符号表示;通过观察“打开手提电脑”的正视图得到的平面角,类比“异面直线所成的角”“直线与平面所成的角”中用平面角度量空间角的方法,我们找到了度量二面角大小的平面角;从一般到特殊,我们的研究重点是直二面角,再从抽象到具体,我们在现实世界找到“直二面角”的直观体验; 最后我们用“直二面角”定义了平面与平面垂直,并类比“平面与平面平行的判定定理”猜想了“平面与平面垂直的判定定理”,并进行了严格的逻辑论证,以及选择了典型的例题及问题探究,运用了判定定理,将平面与平面垂直的问题,转化为直线与平面垂直,最终转化为直线与直线垂直去解决.空间问题平面化(尤其线线、线面、面面位置关系转化)是解决立体几何问题的一般观点(即“套路”).

这里从具体到抽象, 通过对具体的“平面与平面相交”例子的观察、分析, 归纳共性得到“二面角”的概念等等一系列让学生经历概念获得、原理生成过的程, 就是落实“四基”、“四能”的过程,也是直观想象、数学抽象、逻辑推理(各有侧重又相互交融)等核心素养落地的过程.事实上,最终的目标都是聚集在理性思维,要使学生逐步养成有结构、有逻辑地思考的习惯.为此,教师应把培养学生“用数学的眼光观察世界”放在心上,要在“从哪些角度循序渐进地观察”上加强引导[5].

在立体几何中, 还有“空间几何体的结构”、“平面及平面的性质”、“异面直线及异面直线所成的角”、“直线与平面垂直的定义及判定定理”、“直线与平面所成的角”等等的教学,都是让学生“经历概念获得与原理生成的过程、发展数学抽象素养”的孕育点、生长点,找到数学学科核心素养与具体教学内容的关联,关注数学学科素养目标在教学中的可实现性,才能逐步在学生数学学习的过程中,持续发展并提升数学核心素养.