（α，β）型Bazileviˇc 函数相邻两系数模之差的估计

牛潇萌， 李书海

（赤峰学院 师范学院，内蒙古 赤峰024000）

设f（z）与g（z）在单位圆盘U=｛z：|z| ＜1｝内解析，如果存在U内满足|ω（z）|≤|z|的解析函数ω（z），使得f（z）=g（ω（z）），则称f（z）从属于g（z），记作f（z）≺g（z）.特别地，如果g（z）在U上是单叶的，则

的全体.显然P（C，D）⊆P（1，-1）=P，P为熟知的正实部函数类.

设S表示在单位圆盘U内单叶解析函数

构成的函数类.S*、C和Bα分别表示通常的星象函数类，近于凸函数类和Bazileviˇc 函数类，它们都是S的子类且S*⊆C⊆Bα.

设

其级数中相邻两系数模之差‖Dn+1| - |Dn‖的估计是单叶函数论中的一个重要问题.对于f∈S的形式，还尚未完全解决，而且对于相邻两系数模之差的准确估计，在整个单叶函数族中要办到，是一件不容易的事情.记

其中A为绝对常数.寻求最佳的b（λ）是一个有趣的问题.这个问题最初是由Goluzin 研究的，并证明了b（1）=3/2，b（1/2）=1/2，在文献［1］中有详细介绍.这引起了国内外许多学者的兴趣.对1/4 ＜λ ＜1，胡克［1］证明了

这是目前比较好的结果，但不是最佳结果.当0 ＜λ ＜1 时，b（λ）的最佳值是什么呢？此后这个问题虽然屡有进展，但至今尚未解决，仍是一个很值得探讨的问题［1］.近年来，许多学者主要研究单叶函数中一些特殊函数族的相邻系数模之差的估计［1-8］.当0 ＜λ ＜1 时，邓琴［3］证明了当f（z）∈Bα时，，阶λ -1 为最佳值.

本文研究由Kim［9］给出的（α，β）型Bazileviˇc函数类B（α，β）和由牛潇萌［10］给出的Bα，β（C，D）.

定义1［9］设f（z）∈S，α ＞0，β∈R，如果存在g（z）∈S*使得

则称f（z）∈B（α，β）.显然

定义2［10］设f（z）∈S，α ＞0，β∈R，-1 ≤D＜C≤1，如果存在g（z）∈S*使得

本文首先利用复分析中的一些初等方法研究Bα，β（C，D）的相邻两系数模之差的估计，进一步给出（α，β）型Bazileviˇc 函数相邻两系数模之差的估计，获得最佳结果，推广了邓琴［3］给出的结果，并给出几何刻画.

1 预备引理

为了得到Bα，β（C，D）相邻两系数模之差的估计，需要如下引理.为方便，函数f（z）的幂级数展开式中zn系数an表示为an=｛f｝n.

引理1［3］设

2）设f（z）∈Bα，β（C，D），则存在g（z）∈S*满足

证明由文献［3］证明过程可得此引理.

引理6［3］设f（z）∈S，ψ（z）由（1）式定义，则

2 主要结果

定理1设f（z）∈Bα，β（C，D），Dn（λ）由（1）式定义，则对n≥2 有

是绝对常数，阶λ-1 是最佳的.

证明因为

下面分别计算|｛（z-z2）ψ′（z）｝n+1|的界和|｛-zψ（z）｝n+1|的界.

由（1）式可算出

图1 λ=0.3Fig. 1 λ=0.3

图2 λ=0.7Fig. 2 λ=0.7

图3 λ=0.3Fig. 3 λ=0.3

图4 λ=0.7Fig. 4 λ=0.7

因为Bα，β（1，-1）=B（α，β），所以由定理1 可得如下（α，β）型Bazileviˇc函数B（α，β）的相邻两系数模之差的估计.

定理2设f（z）∈B（α，β），Dn（λ）由（1）式定义，则对n≥2 有

是绝对常数，阶λ-1 是最佳的.

证明当C=1，D= -1 时，由定理1 可知

在定理2 中取β=0，则B（α，0）=Bα，所以由定理2可得到文献［3］中的定理.

推论1设f（z）∈Bα，Dn（λ）由（1）式定义，则对n≥2 有

其中

是绝对常数，阶λ-1 是最佳的.

证明设f（z）∈Bα，由定理2 可知

其中

易知

是绝对常数.

因为B（1，0）=C，所以由定理2 可得如下近于凸函数C的相邻两系数模之差的估计.

推论2设f（z）∈C，Dn（λ）由（1）式定义，则对n≥2 有

是绝对常数，阶λ-1 是最佳的.

致谢内蒙古自治区高等学校科学研究项目（NJZY18217）和内蒙古自治区高校青年科技英才支持计划（NJYT-18 -A14）对本文给予了资助，谨致谢意.