方程φe（n） =ptω（n） （e=2，3，4，6）的可解性

邓桂林， 廖群英

（四川师范大学 数学科学学院，四川 成都610066）

1 引言及主要结果

正整数n的欧拉函数φ（n）定义为序列1，2，…，n-1中与n互素的整数个数［1］，关于欧拉函数的研究是数论中十分重要和有意义的课题之一.近年来，人们研究了几类欧拉函数相关的方程.吕志宏［2］用初等方法研究了方程φ（n）=2ω（n）（ω（n）为n的不同素因子的个数）的可解性，并给出了全部的6 个解为n=1，3，4，10，12，30；马静［3］研究了方程φ（n）=2tω（n）（t∈Z+）的可解性.

文献［4 -5］定义了正整数n的广义欧拉函数φe（n）（其中e为正整数）为

的可解性，并给出了e=2 时方程（1）的全部正整数解（本文定理1.1）、e∈｛3，4，6｝时方程（1）的部分正整数解（本文定理1.2 -1.4），以及无解的几个充分条件.α，β，αi≥0 为整数，pi为不同的奇素数且

1）若αi=0（1≤i≤k），α∈｛0，1｝且β≥2，则方程（1）的解为n =2α·3（1+α）t+2.

2）若α∈｛0，1｝，β =0 且存在pi≡1（mod 6），则方程（1）的解为

其中p为奇素数.

3）若下列条件之一成立，则方程（1）无解：

Ⅰ）α≥0，β≥2；

Ⅱ）α∈｛0，1｝，β=1 且存在pi≡1（mod 6）；

Ⅲ）α≥2，β∈｛0，1｝且存在pi≡1（mod 6）；

Ⅳ）α≥2，β∈｛0，1｝且任意pi≡5（mod 6）；

Ⅴ）α=0，β=1 且任意pi≡5（mod 6）.

2 一些引理

3 主要结果的证明

现设n≥3，分n的奇偶2 种情形讨论.

1）若n为偶数，不妨设n=2αm（2m，m≥1）.若m=1，即n=2α，则φ（n）=2α-1，ω（n）=1，故由方程（2）得2α-1=2pt，由p为奇素数且t∈Z+可知方程（2）无解.故m≥3，即n=2αm.不妨设

pi为不同的素数，则ω（n）=k+1，由引理2.4 得

陈主任以为两家私底下早已形成同盟，将索赔的事情商量好了，说：“如果没造成财产损失，我看赔钱也就没什么必要。”

故由方程（2）得

注意到α≥1，故由方程（3）知α=1 且k=1，则

综上，完成了定理1.1 的证明.

定理1.2 的证明e=3 时，由引理2.1，可分为以下几种情形.

于是由方程（1）及引理2.4 得

又p是奇素数，t∈Z+，等式两边奇偶性不同，矛盾.当α=1 时，类似可得方程（1）仍然无解.

综上，完成了定理1.2 的证明.

定理1.3 的证明e=4 时，由引理2.2，可分为以下几种情形.

1）若αi=0，则n=2α（α ＞2），ω（n）=1，由引理2.2 及引理2.4 知

从而由方程（1）得2α-3=pt，由p是奇素数且t∈Z+知等式两边奇偶性不同，即方程（1）无解.

2）若α∈｛0，1｝且存在pi≡1（mod 4）.

Ⅰ）若α=0，即

由引理2.2 可知

于是由方程（1）及引理2.4 可得

注意到p、pi均为奇素数，故由方程（5）可知k=1或2.

由p是奇素数可知等式两边奇偶性不同，即方程（1）无解，故α≥1，同α=0 时的证明，可知方程（1）仍无解.

Ⅱ）-Ⅴ）类似情形1）的证明，可知方程（1）无解.

综上，完成了定理1.4 的证明.

4 结束语

本文基于φe（n）（e=2，3，4，6）的准确计算公式，利用初等的方法和技巧，对n进行分类讨论，研究了

时的正整数解.对e∈｛3，4，6｝时n的其他分类情况，还有待进一步研究.