浅析概率统计中的数字特征

王卫华

（湖北大学数学与统计学院应用数学湖北省重点实验室 湖北·武汉 430062）

概率论与数理统计里面常见的有这几种数字特征：数学期望，极差，方差，均方差，变异系数，分位数，中位数，偏度系数，峰度系数，协方差，相关系数。这些数字特征各从一个侧面描述随机变量某些方面的特征，在理论上和实践上具有重要意义，它们能更直接，更简单，更清晰，更实用的反映出随机变量的本质。经常性地，在许多实际问题中，人们并不需要考察一个随机变量的分布函数，概率密度，而只需要知道它的某几个数字特征即可。

首先介绍一下最常用最重要的数字特征——数学期望，也称为平均值，期望值，并不是所有的随机变量都存在期望值，数学期望的物理解释是重心，中心，质量分布的重心，或者线段，平面等的中心位置。数学期望的理论意义深刻，它是一个实数，消除了随机变量的随机性。数学期望的应用广泛，如评价各产粮区粮食产量水平时，只需要比较各地区粮食的评价产量，比较各班某学科成绩时，可比较整个班某学科的平均成绩和方差。

有了对数学期望，平均值的理解，我们可以解决，理解生活中的许多问题。如，据报道，某人在一平均深度为2尺的河水中溺亡，这可能吗？2尺不能淹死人啊？注意，平均值为2尺，但某人是陷在一个10尺深的坑中沉下去的。又如，由帕莱托定律可知，百分之十的人拥有百分之九十的社会财富，这就是为什么大部分人都会觉得自己的收入低于国民的平均收入，拉了全国人民的后腿。有了数学期望这个有力的武器，我们就不会为很多商业促销所打动。商业促销无处不在，现在我们来看一个简单的例子，某商场促销，购物满88元可抽奖一次，10000张奖票中，一等奖一个，是500元购物卡，二等奖十个，是100元购物卡，三等奖一百个，是10元购物卡，四等奖一千个，是2元购物卡，某人已购物500余元，可抽奖5次，可是排队抽奖的人比较多，是否值得花时间排队抽奖呢？我们来计算他抽奖所得的期望值，平均值。我们先求出来抽奖一次的期望得奖值是0.45元，那么由数学期望的性质，抽奖5次是2.25元，从结果看，期望值很小，不值得排队。

数学期望也有它的不足，如，当二个班平均成绩不相上下时，如何再进一步比较呢，比较简单的度量数据离散程度的方法是用极差，极差虽然能在一定程度是刻画数据的离散程度，但因为极差只使用了数据中最大及最小两个信息，对其他数据的取值没有涉及，所以极差所含的信息量很少，这时候，方差出场了，它用来比较成绩的波动程度，方差越大，则成绩越不稳定，但方差又有它的缺点，方差是离差的平方的数学期望，即它是随机变量与它自己中心的差的平方的平均值，平方之后，方差放大或缩小了随机变量的波动程度。并不是所有的随机变量都有方差。于是，又有了均方差，均方差是方差的算术平方根，能更准确地比较两个随机变量的波动程度。

数学期望和方差联手，可以解决很多实际问题，比如说，我们知道了某地区成年男子的平均身高h以及身高的均方差s，那么我们可以根据这两个数据确定此地区地铁车门的高度，因为成年男子百分之九十五的身高都在（h-2s,h+2s)这个区域，车门高度略高于h+2s即可。概率统计中常用的分布，二项分布，泊松分布，指数分布，正态分布，均匀分布都可以由期望和方差这两个常数确定，有了期望和方差，我们就能写出这些分布的分布列或概率密度函数，多么神奇啊！很多随机变量的比较，我们不需要去进行大量的计算，只去比较一下数字特征就可以。比如，两种不同型号的手机，要比较它们的使用寿命，使用寿命都服从指数分布，知道了两个指数分布的两个参数，就可以比较，参数的倒数是数学期望，是平均寿命，所以，参数大的，使用寿命短。

方差、均方差反映了随机变量取值波动程度，但在比较两个随机变量的波动大小时，只看方差或均方差有时候是不合理的。因为首先随机变量的取值有量纲，其次取值的大小有一个相对性问题，取值较大的随机变量的方差或均方差允许大一些。为了避免这些因素的影响，引入变异系数（均方差除以数学期望得到的数，称为变异系数）。均方差与数学期望的量纲相同，所以变异函数没有量纲了，消除了量纲对波动的影响。举个例子，用X表示某种同龄树的高度，用Y表示某年龄段儿童的身高，量纲都是米，树的平均高度为10米，儿童的平均身高为1米，树的取值较大，树的均方差是1米，儿童的均方差是0.04米，表面上看树的均方差大于儿童的均方差，但是比较它们的变异系数，树的变异系数是0.1，儿童身高的变异系数是0.2，说明儿童身高的波动比树高的波动大。

我们知道，密度函数与X轴所夹面积为1，分位数是X轴上的一个点，这个点，把面积分成了两部分，左侧面积为p，右侧面积为1-p。或者说，分布函数在分位数处的函数值是p，即比如，某场考试要根据考试成绩录取总人数的前10%，那就是求成绩这个随机变量的0.9分位数。再比如一个工厂车间的工人生产产品，根据每个人的产量制定惩罚措施，后5%要扣奖金，那就是求产量这个随机变量的0.05分位数。当p取特殊值0.5时，0.5分位数称为中位数，也就是说有一半的随机变量落在中位数的左边，另一半的随机变量落在中位数的右边，或者说，分布函数在中位数这一点的函数值是0.5分位数和中位数一般是指连续型随机变量的分位数和中位数。对离散分布虽然可以引入分位数和中位数的概念，但分位数和中位数有可能不存在或不唯一。所以，在离散分布里面很少使用分位数。中位数和平均值一样都是随机变量的特征数，它两各有优势，在某些情况下，中位数更能说明问题。比如A国人年龄的中位数是40岁，说明有一半人的年龄超过40岁，B国人年龄的中位数是50岁，说明有一半人的年龄超过50岁，B国人比A国人老龄化更严重。与中位数相比，平均值也有自己的优点，比如，一组数据，如果或数值发生变化，那么平均值会跟着发生变化，但中位数却没有变化，因为平均值与每一个数据都有关，但中位数只利用了数据中间位置的一个或者两个值，而没有利用其他数据，因此与中位数相比较，平均值反映了数据的更多信息，对样本中的极端值更敏感。但有些特殊分布，当这些分布是关于Y=C对称时，这些分布的中位数与均值相等，均为点C。例如正态分布，均匀分布。在实际应用中，除了经常用到中位数，还有0.25分位数，0.75分位数，这三个分位数把数据分成了四等份，因此也称为四分位数。四分位数在数据分析中起着重要作用。

接着来说一下偏度系数和峰度系数。偏度系数是用来描述分布偏离对称性程度的一个特征数，当密度函数是对称图形时，偏度系数为0，任何正态分布，以及一维均匀分布偏度均为0。偏度系数不为0时，分为左偏和右偏，当密度函数最大值左边的变量多于右边的变量时，密度函数图形在左边有长尾巴，称为左偏，反之成为右偏。偏度系数为0时，平均值与中位数相等；左偏时，平均值在尾巴那边，平均值小于中位数；右偏时，平均值在尾巴那边，平均数大于中位数。峰度函数是描述分布尖峭程度和尾部粗细的一个特征数，峰度是相对正态分布而言的超出量，以标准正态分布为基准确定其大小。若标准化后的分布比标准正态分布更尖峭，则峰度系数大于0，若标准化后的分布比标准正态分布更平坦，则峰度系数小于0。偏度与峰度都是描述分布形状的特征数，它们的设置均以标准正态分布为基准，正态分布的偏度和峰度均为0。

前面介绍的都是一维随机变量的数字特征，经常地，我们会用多个随机变量从不同的方向去描述同一样本点，那么这多个随机变量之间有时候有一定的依赖关系。比如，一个成年人去体检，测身高、体重和量血压，体重与身高有一定的关系，血压与体重又有一定关系。协方差就是反映随机变量之间依赖关系的一个数字特征，它是对两个随机变量的协同变化的度量。协方差是两个随机变量的各自的离差的乘积的数学期望。协方差大于0时，称两个随机变量正相关，即两个随机变量有同时增加或同时减少的倾向；协方差小于0时，称两个随机变量负相关，这时有X增加而Y减少的倾向，或反之；协方差等于0时，称X与Y不相关，这时候可能是两种情况，其一是X与Y的取值毫无关系，其二是X与Y之间有关联，但不是线性关系。协方差的引入完善了方差的计算，在X与Y相关的情况，和的方差并不等于方差的和，X与Y的正相关会增加X与Y的和的方差，负相关会减少和的方差，而在X与Y不相关时，和的方差等于方差的和。

协方差也有缺点，它是两个变量的积的数学期望，当两个变量的量纲不同时，协方差的量纲无意义，而且，kX和kY之间的统计关系与X和Y之间的统计关系应该是一样的，但其协方差却扩大了k的平方倍，为了消除量纲的影响，用协方差去除它们各自的均方差，得到一个新的数字特征—相关系数，相关系数实际上是普通随机变量标准化之后的协方差，相关系数描述了两个变量之间的线性关系的强弱，也称为线性相关系数，相关系数取值在-1到1之间，其绝对值越接近于0，则线性相关程度越低。相关系数为0时，称两个随机变量不相关，其绝对值越接近1，则线性相关程度越高。相关系数为1时，称X与Y完全正相关。相关系数为-1时，称X与Y完全负相关。相关系数与协方差是同符号的，即同为正，或同为负，或同为零。我们经常利用相关系数的性质求解，考研有一个经典题型是，一根木棍长为m，分成两部分，一部分长为x，另一部分长为y，求两个随机变量x与y的相关系数。因为x+y=m，x与y是线性关系，x越大，y越小，负相关，所以这个题目不需要计算，直接回答，相关系数是-1。

以上总结了概率统计里面常用的特征数，特征数包含着很多信息，它们在学习生活生产实践中发挥着重要作用。我们要了解它们，掌握它们，应用它们。

随着社会的不断进步和科学技术水平的提高，概率统计将发挥它的最大作用，使之最大限度地为人类服务。