基于Kramers-Kronig方程的油纸绝缘宽频域介电过程参数提取与分析

王 柯，李中为，赵 丽，范继锋，贾雅君

（1.乌海超高压供电局，内蒙古 乌海 016000；2.上海交通大学，上海 200240）

0 引言

油纸绝缘复合材料作为电力系统中最常见的绝缘结构，由于兼具优异的散热性能和绝缘强度，被广泛应用于各类电力系统一次设备中[1]。绝缘结构的性能优劣显著影响着设备乃至整个电力系统的运行安全，因而长期受到业界的重视。随着智能电网建设的推进和超/特高压输电系统在我国的建成和投运，传统绝缘评估手段如介质损耗测量、油中溶解气体分析(dissolved gas analysis，DGA)以及绝缘电阻测量等已不能满足日益严格的现场电力设备安全标准[2]。在此背景下，以绝缘材料介电响应原理为基础的新型评估方法获得了研究人员的广泛关注。其中，频域介电谱(frequency domain spectroscopy，FDS)相较于以回复电压法(recovery voltage method，RVM)和极化/去极化电流(polarization and depolarization current，PDC)法为代表的时域介电响应评估法，由于能够提供更为丰富的诊断信息，同时抗干扰能力更强，更适用于现场设备的状态评估[3]。

目前，采用FDS评估油纸绝缘的相关研究可大致分为两个方向：①基于测量图谱特征参量的提取及其与油纸绝缘状态参量（水分含量、老化时间等）的对比，如廖瑞金等[4]利用宽频带介质损耗图谱建立了FDS特征参量与油纸绝缘样品老化时间的拟合方程；D LINHJELL等[5]利用FDS的相关特征量进行油纸绝缘的受潮观察。②基于电介质物理的FDS机理解释，如董明等[6]对FDS进行了解谱分析；周利军等[7]研究了低频带油纸绝缘的低频弥散现象。然而，由于对FDS的微观机理还有待深入研究，目前尚未建立被广泛接受的、基于可靠物理意义的频域介电谱模型，制约了FDS在现场应用方面的进一步推广。

本研究将频谱分析领域的重要关系——Kramers-Kronig方程（简称K-K方程）引入FDS的复介电常数实部数据分析中，揭示介电谱实部在油纸绝缘介电响应中的相关原理，对宽频带内对各种物理过程进行观察表征，进而定量比较各介电过程的权重，验证K-K方程在FDS分析领域的有效性。

1 相关理论

1.1 Kramers-Kronig变换

Kramers-Kronig关系是广泛存在于光谱、材料频谱分析以及射频电磁波领域的一种反映激励与响应间复解析函数实、虚部关系的普适规律[8]。具体而言，复函数系统的实部可以表示为其虚部的积分形式，反之亦然，如式（1）所示。

式（1）中：P为积分的柯西主值；ω为激励的角频率，与激励源频率f的关系为ω=2πf；φ′(ω)和φ″(ω)分别表示频域内复函数系统的实部和虚部，积分公式被称为柯西主值积分。

以姚熹院士为代表的诸多学者已经对K-K方程在电介质物理领域的适用性进行了证明[8]，然而，相较于光学或射频通信领域的极高频带，油纸绝缘的FDS测量频带集中在10-3～103Hz，两者相差较大，因此现有研究尚未建立基于K-K方程的FDS分析方法。

1.2 FDS相关理论

简单而言，FDS谱图源于施加在样品的电压激励与其电流响应之间的相位及幅值相关关系。而复介电常数ε*(ω)和介质损耗因数tanδ(ω)是FDS最常用的测量参量，其相关关系如式（2）所示。

式（2）中：I*表示流过样品的体电流；U*表示施加在样品上的电压；i表示为虚数单位；C0表示样品的几何电容。

介质损耗因数的确定受制于复介电常数的虚部和实部之比，不能直接反映电介质在频域内的物理过程。复介电常数的实部和虚部分别对应响应电流的容性分量和阻性分量，因此从微观角度而言，实部可以用来衡量电荷在电介质内部的存储特性，而虚部则表征电介质在交变电场下的能量损耗。

从电荷运动角度讨论，在交变电场内，电荷的运动类型包括极化和电导两种。其中，极化过程不仅会引起电荷在陷阱中的存储，还会在外施交变电场频率与其极化频率相近时造成显著的弛豫损耗，损耗在ωτ=1（τ为极化过程的时间常数）时达到峰值。而电导过程不会对电荷的存储造成影响，是一个纯损耗过程。综上所述，复介电常数虚部的频谱曲线具有更加明确的物理意义和更丰富的信息，因而在FDS机理研究中更受重视，而针对实部的研究鲜有报道。

1.3 K-K方程应用于FDS的推导

基于1.1和1.2两节内容可知，K-K方程能够表征复介电常数实部与虚部的对应关系，但想要实现二者的互相推导，由式（1）可知，还需要其中一个参量的函数模型。在频域内电介质物理学定量描述单一极化过程和电导过程的经典方程分别是Debye方程和交流电导模型，分别如式（3）、式（4）所示。由式（3）可以看出，极化过程的表达式为实、虚部均不为零的复数，因此极化过程同时影响介电常数实部和虚部；由式（4）可以看出，电导过程的表达式为实部等于零的虚数，因此电导过程仅影响复介电常数虚部。

式（3）～（4）中：εpolar*(ω)和εresis*(ω)分别表示仅考虑极化损耗和电导损耗情况下的复介电常 数；ε∞和εs分别表示光频相对介电常数和静态相对介电常数；σ0表示直流电导率；ε0表示真空介电常数。

通过式（3）和式（1）的推导和联立可知，单一极化过程引起的实部与虚部对应变化符合K-K方程。然而对于实际材料的频域介电响应，在整个宽频带内包含了多个不同的介电过程，这些过程之间在某些频段内还存在交联、重叠或掩盖等现象，因此电介质材料的频域介电响应实测数据通常无法通过K-K方程实现互相推导。然而，基于前文对实部和虚部物理含义的分析，利用K-K方程可以实现极化过程与电导过程的有效分离。这一过程的实现能够为深入理解FDS的物理机理奠定重要基础。考虑到K-K方程在实际计算中的繁琐与不便，参考文献[9]的三对角线矩阵算法和Debye方程解析式，对其进行近似优化，如式（5）所示。

式（5）中：k为常数，取1～4的正整数，表示保留解析式的前4项；ak具体取值分别为0.445 3、0.227 26、-0.110 0、0.134 58。通过前文分析可知，式（5）中的ε″KK(ω)是由极化过程引起的复介电常数虚部，由于复介电常数虚部与介质在交流电场中的损耗相关[10]，本研究中ε″KK(ω)的物理内涵可以概括为极化引起的损耗因子，是构成电介质材料阻性响应电流的一个分量。

2 试验

为验证1.3中的相关推导，需要对油纸绝缘样品进行FDS测量。本研究中选择变压器中常用的克拉玛依25号矿物油和厚度为2 mm的纤维素绝缘纸板作为样品。

油浸纸样品的制备：将绝缘油和纸板在100℃高温条件下放置1 d以上去除水分，获得干燥样品；在密封的罐体内真空条件下将干燥纸板浸入干燥绝缘油中静置2 d以上，以保证浸渍充分；制备好的油浸纸板在真空环境储存，避免接触空气中的水分和气体。

样品制备完成后采用IDAX-300型绝缘诊断分析仪进行频域介电谱测量，测量频率范围为10-3～104Hz。采用直径为30 cm的圆柱形铜板作为FDS的测量电极，采用三电极系统为表面泄漏电流提供回路，以减少测量误差。为了获得多条不同的油纸绝缘样品FDS曲线，选择在不同温度下对样品进行测量并通过温度传感器记录温度，设置的试验温度分别为30、40、50、60、70℃。整个试验装置的接线图如图1所示。

图1 FDS测量接线图Fig.1 Wiring diagram of FDS test

3 数据处理与分析

3.1 油纸绝缘复介电常数谱观察

在不同温度下测得油浸纸板样品的介电常数实部和虚部数据如图2所示。需要指出的是，根据相关研究的惯例，在表征FDS曲线时横坐标采用电压频率f，与前文理论部分K-K方程及Debye方程等相关模型中的变量ω呈正比，具体关系为ω=2πf。

图2 各温度下油纸绝缘的FDS测量数据Fig.2 FDS measurement results of oil-paper insulation at different temperatures

从图2可以看出，随着温度的升高，频谱曲线表现出向右移动的趋势，这一现象的物理机制在于温度升高会提高微观电荷的动能，进而令电荷在电场作用力下越过能量势垒实现重新分布的速率提升，大量相关文献的定量分析表明，FDS在不同温度下的频移特性符合Arrhenius方程[10]，因此将频域内材料的介电过程温度特性归纳为Arrhenius过程[5]。

从图2还可以看出，仅用于表征电荷存储的实部图谱在10-3～100Hz呈现出下降的趋势，通过式（3）可知，在此频带范围内存在极化与电场频率的“共振”，基于K-K方程的因果关系，虚部在同一频带内必然存在相应的响应。而式（4）表明，阻性电流造成的损耗在交变电场下与频率成反比，即在低频带范围内的阻性损耗显著，也正因为阻性损耗显著的缘故，在图2(b)中低频段，表征能量损耗的介电常数虚部大致呈线性下降的趋势。综合以上分析，实测FDS存在极化过程和电导过程的交联重叠，为微观过程的观测分析带来了困难。

通过图2还可以看出，表征损耗的介电常数虚部曲线随温度升高而向右平移，与极化的温度特性，即Arrhenius函数的规律吻合。

3.2 K-K变换对实部数据的处理

通过式（5）的优化K-K方程对实部数据进行处理，以验证K-K变换在分类交联重叠频段极化损耗的有效性。

以40℃的样品数据为例，图3展示了实测虚部数据ε″(ω)和基于K-K方程变换后的推导数据ε″KK(ω)。

图3 K-K变换所得虚部与实测虚部对比Fig.3 Comparison of measured imaginary parts and imaginary parts obtained by K-K transformation

由图3可见，ε″(ω)和ε″KK(ω)在频率大于100Hz频带内数据趋于一致，但在低频范围内差异显著，与ε″(ω)在低频带内近似呈线性下降不同，ε″KK(ω)在这一频段内先上升后下降，出现了损耗峰。根据电介质相关理论可知，虚部呈峰状是弛豫型极化损耗的典型特征，这与本研究理论部分的分析，即通过K-K方程的定量关系和复介电实部频谱数据，推导复介电常数中与极化过程相关的损耗分量，在一定程度上吻合。

为了进一步验证K-K变换的效果，基于第2节的理论分析可知，产生介质损耗的阻性响应电流由极化和电导过程共同决定，两种电流分量无相位差，通过相加可得到总损耗电流，再考虑到复介电常数虚部与阻性电流的定量关系，可将图3中的实测点与基于K-K变换的推导点直接对应相减，得到的频域曲线应为纯电荷传导引起的损耗项。为减小数据处理过程的误差，仅选取10-3～100Hz的数据点进行处理，并对处理后的差值谱线基于最小二乘法原理进行拟合，结果如图4所示，拟合方程为lgε″=-1.039 81 lgf-1.492，拟合优度R2=0.986。

图4 阻性损耗的拟合结果Fig.4 Fitting result of resistance loss

由图4可见，在lgf-lgε″坐标系中，阻性损耗点的拟合方程为一条直线，斜率接近-1，与式（4）接近，表明计算所得的阻性损耗与相关机理吻合，验证了K-K方程的有效性。

3.3 基于K-K方程的电荷极化损耗与传导损耗对比分析

本研究1.3节通过理论分析提出了一种K-K方程在油纸绝缘FDS分析中的应用思路，而3.2节基于实测数据验证了这一思路的有效性，并直观地揭示了在较低频带内电荷的极化损耗和电导损耗共存的物理事实。基于3.2节的数据处理方法，对所测量的多条FDS曲线进行求解，量化研究极化时间较长的弛豫过程在总体极化中所占权重。

对试验测得的不同温度下复介电常数实部图谱进行与3.1节方法相似的K-K变换处理，处理频段为10-3～100Hz。在获得各温度下从重叠频段内分离而来的极化损耗谱线基础上，得到各温度的极化损耗在峰值点占整体损耗的权重如图5所示。

图5 不同温度下极化损耗与阻性损耗占比Fig.5 Proportion of polarization loss and resistive loss at different temperatures

电介质材料频谱分析的相关文献中常将低频段的复介电常数虚部视为电导过程的主导频带，在这一区域内，不存在极化损耗或者极化损耗相较于电导损耗可以忽略不计。然而，图5的结果表明，至少针对油浸纸板这一复合材料，上述结论并不适用：对于在频域内呈峰状的极化损耗，在常见温度范围内，其峰值附近的损耗量值占整体损耗的比例为30%～50%，且该占比与温度呈正相关。可见，油纸绝缘低频带的极化在峰值附近引起的损耗与阻性损耗量级相当，不能忽略不计。

4 结论

本研究将Kramers-Kronig方程应用于FDS分析，结合对材料复介电常数物理内涵的分析解释，提出了K-K方程具体的应用思路及在FDS分析中实现低频极化损耗分量的提取和观察。在充分验证这一手段有效性的基础上，进一步比较了极化损耗在整体损耗中的权重情况。主要得到以下结论：

（1）由于电荷传导和存储等不同物理过程的共存现象，FDS测量频带内介电常数的实部和虚部并不直接符合K-K关系，因此，可以利用K-K方程分离交联重叠频带内的纯极化分量。

（2）基于Debye方程的表达式，提出了优化的K-K方程多项式形式，以便对数据进行处理。

（3）K-K方程变换结果表明油纸绝缘FDS图谱低频带的复介电常数由峰状的极化损耗和线性的阻性损耗共同构成。

（4）极化引起的损耗在峰值处与电导损耗量级相当，且其占整体损耗的比例与温度呈正相关。