数形结合思想方法在高中数学教学与解题中的应用

◎杨高峰 （安徽省亳州市亳州第五完全中学，安徽 亳州 236800）

新课改中明确要求高中教师要改变传统的授课方法，让课堂更多样化，提升学生的学习兴趣，增加学生和教师之间的互动．教师在高中数学课堂上将数形结合思想和数学知识融在一起，可以有效地完成新课改中对教师的教学要求，而且学生学会数形结合的方法可以强化对知识点的认识，对提升学生学习数学知识和解答数学问题的能力都有着十分大的帮助．在实际的教学课堂中，虽然有些学生很早就开始学习使用数形结合思想解答问题，却不能在解题过程中有效地将数形结合思想引入，不能发挥出数形结合思想的重要解题作用．针对这种情况，下面提供几种能有效地将数形结合思想应用在高中数学教学与解题中的策略．

一、让学生意识到数形结合的正确性,合理地应用到数学知识中

要想让高中学生将数形结合思想正确地应用在数学解题过程中，首先，高中数学教师要与学生增加沟通，了解学生学习数形结合思想的程度，再给学生正确的指导，从而让学生充分地掌握数形结合思想．其次，要让学生意识到数形结合思想对解决问题的重要性，例如，在学习人教版“函数与方程”这节课的时候，教师可以先让学生以传统的解题方式进行解题，然后教师在黑板上展示数形结合的解题思路，让学生意识到利用数形结合解决问题的效率和准确性，这对刺激学生学好利用数形结合思想解题的思路以及间接地提升课堂效率有着十分积极的意义．

当然，正确地使用数形结合思想解决问题，不但可以让复杂、抽象的知识以更简单的图形方式呈现出来，而且对培养学生的探究能力、促进学生养成正确的思维都有着十分积极的意义．教师在教学生学习数形结合思想的时候一定要注意不是所有的题目都适合学生使用数形结合思想进行解题，一些简单的题目并不适宜用数形结合的方法进行解题，而且画图也会浪费学生大量的解题时间，这并不利于学生高效地解决数学问题．通常数形结合思想会用在方程、函数、解析几何或者三角函数这些具有一定难度的数学问题中．

二、数形结合在函数和方程中的具体应用策略

高中的数学知识相对初中的数学知识来说是十分复杂和抽象的，而函数作为高中数学学习的重点，更是让一部分学生望而却步，以至于函数的教学成了高中数学的难点．在原本的教学过程中，教师只是先教学生学会相关的函数知识点，再让学生根据这些知识点进行解题，在这个过程中，学生需要具备十分强的数学逻辑思维和较高的数学学习能力，这就把多数同学挡在了门外，而那些优秀的学生也是根据数学题目中的已知条件，结合学习的函数知识一步一步地推导，这个过程无疑加大了解题的难度，同时也降低了解题的速度．如果在这个过程中，高中数学教师引导学生利用数形结合思想，让学生将已知条件在图形和坐标系上表现出来，这样能更直接地表达已知条件中的函数关系，大大地降低了学生解决函数的难度，同时也降低了学生解决问题的难度，这对提升学生学习函数的自信心有着十分积极的意义．

除了函数以外，学生在解决高中的方程时也是费时费力，而且面对方程中的大量计算时也十分容易出错，而在方程中有效地使用数形结合思想，找出方程中的已知条件之间的关系，将其在坐标系上正确地标记出来，这样不但有助于学生更直观地对已有的数据进行分析，更有助于确定答案的范围，减少学生出现错误的概率．在解决问题的时候，高中数学教师可以根据数学方程和函数之间的密切关系，将数学方程转化成函数，再利用数形结合思想建立合适的坐标系，确定方程中零点所在的范围和零点的个数，这个过程可以大大地减少学生出现错误的概率，而且建立图形可以帮助学生认真地分析题目中给出的条件，从而让学生顺利地解决问题．在高中课堂上有效地引入数形结合思想对提升学生分析高中数学问题的能力和解题技巧都有着十分重要的帮助．

三、以形助数,使抽象问题变得形象直观

在高中数学教材中，有很多抽象、复杂的问题，对于这些数学问题，学生理解起来并不容易，也很难找到解题的思路和方法．若是在教学中，教师引导学生通过数形结合思想来解题，那么学生就可以通过直观的方式来解决问题，避免了烦琐的计算过程，还能够使学生掌握正确的解题方式，在今后能够熟练地应用这些解题技巧．运用数形结合思想，能够将抽象的数量问题转变成直观的图形问题，学生能够快速地找到已知条件、未知关系，形成解题思路，这样就能够有效地解决这些数学难题．

在高中数学题中，特别是一些数量关系既复杂又抽象的问题，学生难以理解，不容易找到解题的思路和方法，如果运用数形结合思想，学生就可以把复杂、抽象的“数”的问题用直观的图形来解决，这样就可以绕开冗长烦琐的数量计算过程．利用图形能够帮助学生有效地解决复杂的数量问题，使学生对题目中的数量关系能够正确理解，快速准确地找出已知条件、未知关系，形成解题思路，从而有效地突破解题难点．例如，在学习“圆锥曲线与方程”的知识时，由于教材中的例题比较抽象复杂，学生在理解题意的时候就很容易出现困难，更不用说应用所学知识解决问题了．如已知一个动圆P 与两个定圆相外切，定圆C1的方程是（x＋4）2＋y2＝25，定圆C2的方程是（x-4）2＋y2＝1，求这个动圆P 的圆心的轨迹方程．学生在解这道题时，通过直接求方程的方式是非常复杂的，若是运用数形结合思想，借助两个圆的“形”，来求方程的“数”，这样问题就变得简便多了．设动圆的圆心为P，半径为r，C1的圆心为（-4，0），半径为5，C2的圆心为（4，0），半径为1．借助图形能够直观地得到动圆P 与定圆C1是相外切的，与定圆C2是相外切的，依据题意就可以得出｜PC1｜＝5＋r，｜PC2｜＝1＋r，然后可得出｜PC1｜-｜PC2｜＝（5＋r）- （1＋r）＝4 ＜｜C1C2｜，所以点P 的轨迹是双曲线的右支，再依据图形可得出a＝2，c ＝4，b2＝12，动圆P 的圆心的轨迹方程是在解这道题时，通过数形结合思想，利用图形的直观性，通过作辅助线的方式，可以很快形成解题思路，这很明显地突出了“以形助数”的思想．

四、巧妙利用数形结合思想解决教学重难点

在高中阶段的数学教育中，函数既是一个基础性的知识点，又贯穿了高中数学学习的全过程．高中数学中的函数知识涉及的种类较多，如正比例函数、反比例函数、幂函数、指数函数等，并且这些知识具有一定的难度，对于学生来说，学习起来是很困难的．在以往的数学教学中，教师一般先为学生讲解知识点，然后通过习题训练学生的解题技巧，使学生在机械化的解题过程中将这些解题方式进行死记硬背，在这种教学模式下，并不能明显地提升教学效果，因此，在数学教学过程中，教师可以合理地渗透数形结合思想组织教学活动，利用数与形之间的转变，帮助学生条理清晰地掌握函数知识，提升学生的知识应用能力．

例如，方程sin 2x＝sin x，在区间x∈（0，2）中，解的个数有多少？ 学生在解决这类问题时，一般是按照已掌握的解题方法，但在应用知识的过程中，学生会明显地感到难，此时，教师就可以引导学生运用数形结合思想来解决问题．首先，教师需要引导学生依据函数方程绘制出对应的图像，利用图像来解决这个函数问题．而对于图像的绘制，教师可以让学生将两个三角函数的图像绘制在同一个坐标系中，并让学生对图像进行观察．学生在观察之后会发现在三角函数的图像中存在三个解．从例题中可以看出，运用数形结合思想轻松地将问题解决了，大大地提升了解题的效率，还加深了学生对数学知识的印象，增强了学生应用知识的能力．

五、以数解形,使学生的解题思维更严谨

从数学这门学科来看，数学具有严谨性的特点，这就要求学生在学习数学知识和解数学题的过程中，都要保持严谨的数学思维．很多学生在解数学题时，会存在思考不全面、不严谨、粗心大意的问题，这就很容易导致找不到正确的解题思路，或者解错题．而学生在解决较为复杂的图形问题时，则可以发挥“数”的严谨性，将图形中所包含的数量关系找出来，以此作为解题的依据，这样不仅能够帮助学生找到正确的解题思路，还能够锻炼学生思维的严谨性．比如，在解决几何图形问题时，学生单纯地凭借直觉是很难发现图形中存在的特点和规律的，此时运用“数”的严谨性、准确性，则能够深入地将几何图形中隐藏的条件挖掘出来，确保解题过程的严谨性．

例题：有一个圆M 介于直线和抛物线所围成的封闭区间里（含边界区域），求这个圆M 在此区域中能取得的半径的最大值是多少．在这道例题中，学生能够从图形上大概看出圆的半径，却不能将数值进行精确的定位，所以此时就可以发挥代数的严谨性，将圆的半径的数值求出来．

六、凸显数形结合思想的价值,确保教学活动的合理性

在高中数学教学中，教师若想有效地发挥数形结合思想的应用价值，不仅需要教师充分认识数形结合思想的重要性，还要将其融入解题中，并依据数形结合思想的特点和规律，合理地引导学生解题．因此，在开展数学教学活动时，教师就要做好和学生的沟通工作，了解学生的实际水平．教师还要结合高中数学教材的特点，设计出具有层次感的教学内容，确保能够将数形结合思想贯穿到教学中，引导学生在“数”和“形”互相转换的过程中获得理想的解题效果．

七、结束语

总而言之，教师在高中课堂上适当地引用数形结合思想，有助于学生更加准确地把握数学内容的本质，并且对学生适应高中学习的急迫和压力也有着十分重要的意义．因此，高中数学教师一定要引导学生学会并重视使用数形结合思想，优化高中学生的解题思路的同时让学生更容易学会高中一些重点、难点知识，对提升高中学生的数学成绩有着十分积极的意义．在教师教会学生利用数形结合思想解题的过程中也打破了传统的学生学习数学知识的模式，可以启迪学生从更多的角度去理解数学知识，这不但顺应了教育改革的要求，也对促进学生养成数学思维有着十分密切的关系．