探索反证法在数学证明中的推广及应用策略

田子漫

摘 要：数学题型多种多样，用常规的数学方法解题有时需要很繁杂的步骤才能逼近正确答案，有的问题甚至不能够用一般的数学方法进行解答，若是一味强求只会陷入思维的死胡同，这时，反证法的学习以及应用就显得相当重要了。掌握了反证法，做证明题时将如虎添翼。因此，文章首先将对反证法的定义进行简要的介绍，并进一步延伸其含义，然后分析一般证明法的应用并举例说明，最后将对反证法在数学证明中的一些推广应用进行简要的介绍。

关键词：反证法;数学证明;推广应用

在高中数学的学习中，各种类型的证明题层出不穷，而对于证明题型的解答，掌握正确的方法是必不可少的。比如在函数性质的证明、复合函数解析式的进一步推导、数列的某些结论证明、不等式的证明、某些定理和证明中，采用常规的方法，都可能没办法解答或者解答过程极为繁琐，这就需要采取另外的方式，尤其是反证法。有效地利用题目中的一些条件和数字，并表征为恰当的数学语言，再在符合数学公理的基础上对之进行转化和进一步推导，直达问题的本质。反证法能够在数学解题中另辟蹊径，换用不同的方式来答题，可以迅速找到突破口，使得解题真正高效起来。

1    反证法的定义与一般应用

反证法思想的定义是，为了证明某个命题的成立，先提出其逆命题，假设该逆命题是成立的。从逆命题出发，经过逻辑推理一步步向后推导，直至推导出某个与已知的定理、条件或是事实相矛盾的结果，以此证明该逆命题是不成立的，即该命题成立，如此便达到了“反证”的目的。运用反证法能够有效提高学生的逻辑思维能力，也能够锻炼学生解决问题、活用公式和定理的能力。

通常来说，反证法具有以下几个特性：（1）新颖性。反证法采用的是逆向思维，与常规思维恰恰相反，具有创造性。（2）批判性。反证法往往从反方向去思考问题，然而这将得到意外的收获。（3）普遍性。反证法可以在诸多的问题中得到应用。

举个最简单的例子，命题为“自然数的个数有无限多个”。那么其逆命题为“自然数个数为有限多个”，若是该逆命题成立，那么在有限多个自然数中，一定存在一个最大的自然数，如果给它加上1，就有了比它更大的数。此时，它便不再是最大的自然数了，由此可以说明不存在最大的自然数，即“自然数个数为有限多个”的命题是错误的。因此，原命题得证，这便是反证法。

2    反证法的推广应用

2.1  利用补集法解题

当某个问题的答案很难从正面求解时，比如，运算太过于复杂、分类讨论所需考虑情况太多等，可以运用逆向思维从反面出发求解，在得出答案时，再求其补集，即可得到正确答案。尽管在高中阶段并没有系统地学习补集法，但仍可以将它作为一种重要的解题手段，在解题中合理地运用。

以“生日怪论”为例，假如在一个高中班级中有23位同学，求至少有两个人同一天生日的概率。设甲事件为“至少有两个人在同一天生日”，设乙事件为“任意两位同学都不在同一天生日”，可以比较轻松地求得乙事件发生的概率：P=（365×364×…×343）/36 523=0.493。因此可以知道“至少有两个人在同一天生日”的概率为0.507，其发生的概率居然在50%以上，这与人们的感觉是有些相悖的。

2.2  利用反例法进行解题

反例指的是能够满足命题的条件却不满足其结论的实例。通过将问题特殊化，极大地缩小考虑问题的范围，而反例法正是一种比较具体的，能够将数学问题进行解答的特殊化形式。证明一个结论的正确性可能需要很复杂的一系列推理和分析，而要证明一个结论是错误的只需要列出一个反例就行，并且举反例还会显得很直观且具有说服力。

在利用反例法进行解题时，往往需要大量的数学知识和丰富的想象力作為基础。除了解题之外，举反例这一方法能够有效地在教学中帮助学生理解和记忆数学概念、定理等，教师往往可以通过列举一些经典的反例，来从不同的层面对数学概念、定理进行解释和阐述，学生将更容易掌握。比如在学习相似三角形的内容时，其判定定理为“两边对应成比例且夹角相等”，要注意其中的“夹角”这一条件，通过举出“当两边对应成比例且某角相等，然而两个三角形并不相似”的反例，便能够使学生牢牢记住该定理，减小了犯类似错误的可能。一些生动而又灵活的反例，不仅会使得课堂显得更加生动有趣、激发学生学习的兴致，还能够锻炼学生的思维能力和创造力。因此，将反例法有效地应用在数学解题和教学中是相当有用的。

3    结语

反证法是一种与常规解题方法背道而驰的办法，在数学证明中的应用极为广泛。应当努力掌握好反证法，培养和锻炼反证法的思维，并熟练掌握反例法以及补集法等，将之有效地应用在数学解题中，从而能够有创造性地锻炼思维，并高效地解答数学题目。

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