数学分析方法在“金属晶体结构及间隙”教学中的应用及探讨

张如权 陶咏真

[摘 要]该文探讨把数学思维与抽象专业知识结合起来，把数学启发渗透且运用到专业课材料科学与工程基础的晶体结构及间隙教学过程。该教学方法帮助学生借助已有的数学基础知识理解抽象的晶体结构。强化学生的逻辑思维能力，激发学生学习兴趣，并且有助于培养学生跨学科知识的综合运用技巧及创新思维能力。运用数学启发辅助材料科学与工程基础相关知识的教学，强调对晶体结构基本概念内涵的挖掘和分析，为提高课堂教学效果和学生综合素质提供有效策略。

[关键词]数学启发;金属晶体结构;学习兴趣;创新思维

[中图分类号] G642[文献标识码] A[文章编号] 1674-9324（2020）48-0-02[收稿日期] 2020-05-18

引言

晶体结构教学内容比较抽象，需要教师和学生具有一定的空间想象能力。在教学过程中，教师可引导学生运用数学基础知识，理解抽象的晶体结构。以金属晶体为例，本文介绍了数学启发在金属晶体结构及间隙教学过程中的运用。

一、数学启发在晶胞常数及致密度教学中的应用

基于晶体结构的几何图形，计算晶胞常数及致密度。四川大学顾宜教授主编的《材料科学与工程基础》教材中详细解释了面心立方和体心立方晶胞常数及致密度的计算[1]。这里，我们介绍密排六方晶胞常数及致密度的计算。

密排六方点阵常数a和c与原子半径R的关系见图1，上层或底层的相邻顶点原子相切，因此，a=2R（图1（a））。中间层一个原子、底层面心原子以及底层两个相邻顶点原子，紧密堆积形成棱长为a的正四面体（图1（a）），中间层原子到上下两个底面距离相等，所以只需计算正四面顶点到底面的高即得c/2（图1（b））。引导学生利用正四面体知识计算点阵常数c。具体如下：

二、间隙教学过程中的数学知识运用

金属原子通常紧密堆积形成金属晶体，但球形金属原子密堆积结构中不可避免存在空隙，即由最邻近4个原子形成的四面体间隙和最邻近6个原子形成的八面体间隙。

1.四面体间隙。体心立方结构中，每个面上共棱的两个顶点原子，与共该面的两个晶胞体心原子形成一个四面体间隙（图2（a））。由图2（a）可知，四面体间隙中心位于该棱中垂线到该棱的1/4处，每个面都存在4个四面体间隙中心。引导学生分别标出各面上4个间隙中心的坐标，例如：（001）面上的四面体间隙中心的坐标分别为（1/2，1/4，1），（1/4，1/2，1），（1/2，3/4，1），（3/4，1/2，1）。结合晶胞结构的几何图形，引导学生计算四面体间隙大小，具体如下：

四面体间隙中心与顶点原子的距离为：

2.八面体间隙。图2（b）示出体心立方结构中的两类八面体间隙。其一、每个面上的4个顶点原子，与共该面的两个晶胞体心原子形成一个八面体间隙，另外，共棱的两个顶点原子，与共该棱的4个晶胞体心原子形成一个八面体间隙。八面体间隙的中心分别位于面心和棱的中点。结合图2（b），引导学生观察体心立方结构中6个面都存在5个八面体间隙中心。以（001）面为例，引导学生分别标出该面上5个间隙中心的坐标：位于面心的间隙中心的坐标为（1/2，1/2，1），位于棱中点的间隙中心的坐标分别为（1/2，0，1），（1，1/2，1），（1/2，1，1），（0，1/2，1）。另外，借助图2（b），引导学生计算间隙的大小，具体计算过程如下：

三、结论

综上所述，利用学生熟悉的数学知识分析抽象晶体结构专业知识，逐步引导学生理解且演算晶体结构中的各种参数。将数学启发应用到金属晶体结构及间隙的教学中，有利于学生理解并掌握晶胞常数及致密度的计算、以及间隙位置及大小等知识。引导学生应用数学基础知识理解抽象的专业知识，潜移默化地培养学生跨学科知识的综合运用技巧及创新思维能力。

参考文献

[1]顧宜，赵长生，主编.材料科学与工程基础（第二版）[M].北京：化学工业出版社，2011，7.

[2]马福军.晶体结构计算的教学研究[J].青海师范大学民族师范学院学报，2012，23（1）：91-94.