基于新型增强有限元的复合金属断裂模拟分析*

李乐毅

(四川建筑职业技术学院 机电与信息工程系，四川 德阳 618000)

0 引言

近几年，国内外专家学者设计提出了一种新型增强有限元算法，该算法在有限元模拟过程中无需设置额外的单元节点或多余约束就能够分析弹性材料中的任意裂纹萌生与扩展，以及多条裂纹的相互影响。由于该方法在裂纹扩展的数值分析上具有精度高、稳定性好、耗时短等优点，进而展现出了更广的应用前景[1-4]，但是，新型增强有限元算法尚未用于模拟复合金属材料的裂纹断裂。为此，本文基于材料力学推导出复合金属材料杆加载模型的解析表达式，并借助有限元软件Abaqus讨论不同断裂韧性对新型增强有限元算法模拟稳定性的影响，以揭示该方法潜在的数值不稳定性因素。

1 新型增强有限元算法理论

新型增强有限元算法引入了线性等向强化模型用来模拟材料网格单元或裂纹扩展后子单元的弹塑性效应，采用米塞斯屈服函数对材料网格单元或裂纹扩展后子单元的弹塑性状态进行动态判断，一方面结合三角形内聚力模型模拟材料网格单元随后的裂纹萌生和扩展过程；另一方面，利用有限元软件Abaqus自带的用户自定义程序，将增强有限元算法导入其中。

图1 复合金属材料杆加载过程中加载点载荷-位移曲线

在第①段加载过程中，复合金属材料杆位于弹性变形状态，施加的位移载荷u的界限为：

(1)

(2)

其中：l为杆长；E为材料的弹性模量。

根据图1中第①段曲线的几何关系可得：

(3)

其中：σ为材料不同加载时段的实时应力；A为杆的横截面积。从而有：

(4)

在第②段加载过程中，复合金属材料杆位于塑性变形状态，施加位移载荷范围为：

(5)

(6)

其中：h为材料的塑性模量。

根据图1中第②段曲线的几何关系可得：

(7)

进而有：

(8)

在第③段曲线中，复合金属材料杆位于内聚力裂纹阶段，施加位移载荷范围为：

(9)

(10)

其中：δnc为材料完全断裂分离的位移临界值。

根据图1中第③段曲线的几何关系可得：

(11)

进而有：

(12)

在第④段曲线中，复合金属材料杆位于内聚力裂纹扩展阶段，施加位移载荷范围为：

(13)

根据图1中第④段曲线的几何关系可得：

F=0.

(14)

在第⑤段曲线中，复合金属材料杆位于塑性卸载阶段，刚卸载时对应的位移为u*、应力为σ*，施加位移载荷范围为：

(15)

(16)

根据图1中第⑤段曲线的几何关系可得：

(17)

进而有：

(18)

(19)

根据图1中第⑥段曲线的几何关系可得：

(20)

进而有：

(21)

综上所述，图1中第①段～④段曲线的载荷F与位移u之间的函数关系为：

(22)

图1中第⑤段、⑥段曲线的载荷F与位移u之间的函数关系为：

(23)

2 复合金属材料断裂有限元模拟

2.1 几何尺寸及材料参数

复合金属材料在工业生产和制造等领域具有非常广泛的应用，且通常被应用于载荷变化复杂、持续受力时间较长和工况恶劣的环境，所以极易出现断裂破坏进而导致局部失效甚至全局破坏。因此，精准模拟复合金属材料的断裂扩展具有十分重大的工程实际意义。采用试验方法进行分析时，通常采用万能拉伸机对复合金属材料杆进行拉伸试验，拉伸试件的标准几何尺寸如图2所示。

图2 复合金属材料杆拉伸试件几何尺寸

复合金属材料试件总长度l=200 mm，左右两侧夹头长度均为70 mm、宽为20 mm，发生拉伸断裂破坏的中间部位长60 mm、宽为12 mm，材料的弹性模量E=60 GPa，塑性模量h=527 MPa，屈服应力σy=220 MPa。

2.2 数值稳定与失稳对比

将图2中的复合金属材料拉伸试件简化成一维杆模型进行有限元数值模拟。由于复合金属材料拉伸试件在试验过程中发生伸长与断裂的位置主要在l=60 mm处，因此，可以将上述简化的一维杆模型划分成11个杆单元，同时通过改变模拟时复合金属材料的断裂韧性对其裂纹断裂有限元模拟的数值稳定性进行讨论。

对简化的一维杆模型施加位移载荷直至杆件断裂的过程采用新型增强有限元算法进行裂纹断裂有限元数值模拟，分别取0.2Γ、0.6Γ与1.0Γ(Γ为材料的断裂韧性值)三种不同断裂韧性进行有限元模拟。三种不同断裂韧性下加载点应力-应变曲线理论解析解与有限元模拟结果(FEM)对比如图3所示。由图3可以看出:断裂韧性取0.2Γ时，应变值理论解析解最终为0.076 9，有限元模拟最终值为0.08；断裂韧性取0.6Γ时，应变值理论解析解最终值为0.078 9，有限元模拟最终值为0.08；断裂韧性取1.0Γ时，应变值理论解析解与有限元模拟最终值都为0.08。断裂韧性取0.2Γ和0.6Γ时，应变值有限元模拟结果与理论解析线不重合，但断裂韧性取1.0Γ时，应变值有限元模拟结果与理论解析线重合，这说明断裂韧性取0.2Γ和0.6Γ时有限元数值模拟结果不稳定。

图3 0.2 Γ、0.6 Γ与1.0 Γ三种不同断裂韧性下加载点应力-应变曲线

分别取断裂韧性为1.0Γ、2.0Γ与6.0Γ,对简化的一维杆模型施加位移载荷直至杆件断裂的过程采用新型增强有限元算法进一步进行裂纹断裂有限元数值模拟，加载点应力-应变曲线理论解析解与有限元模拟结果对比如图4所示。由图4可以看出:断裂韧性取2.0Γ时，最终应变值理论解析解与有限元模拟结果都为0.085 7；断裂韧性取6.0Γ时，最终应变值理论解析解与有限元模拟结果都为0.105 1。图4的结构说明断裂韧性取2.0Γ与6.0Γ时，有限元数值模拟结果同样稳定。

图4 1.0Γ、2.0Γ与6.0Γ三种不同断裂韧性下加载点应力-应变曲线

所以，在采用新型增强有限元算法对复合金属材料进行裂纹断裂有限元模拟过程中，其稳定性与设置的复合材料断裂韧性值有关。当设置的断裂韧性值小于真实值时，会出现裂纹断裂有限元模拟结果失稳；当设置的断裂韧性值大于或等于真实值时，复合金属材料裂纹断裂有限元模拟结果与理论解析结果高度重合，具有良好的稳定性。复合金属材料在工程实际应用中，其断裂韧性值会随着加载速度和温度的变化而动态改变，所以在采用新型增强有限元算法对复合金属材料进行裂纹断裂有限元模拟的过程中，当断裂韧性值无法通过试验精准确定时，在有限元模拟过程中只需设置较大的断裂韧性值，就可以稳定得到与理论结果高度重合的复合金属材料裂纹断裂有限元模拟结果。

3 结语

将新型增强有限元算法应用于复合金属材料裂纹断裂的有限元模拟，并基于材料力学推导出复合金属材料杆加载模型的解析表达式，最后通过讨论不同断裂韧性对新型增强有限元算法模拟稳定性的影响，可以得出结论：当复合金属材料断裂韧性值无法通过试验精准确定时，在有限元模拟过程中只需设置较大的断裂韧性值，就可以稳定得到与理论结果高度重合的复合金属材料裂纹断裂有限元模拟结果。