基于改进粒子滤波的锂离子电池健康状态估计＊

徐超 李立伟 杨玉新

（1.青岛大学，电气工程学院，青岛 266071；2.青岛大学，威海创新研究院，青岛 266071；3.青岛大学，图书馆，青岛 266071）

主题词：锂离子电池 SOH估计 粒子滤波算法 萤火虫算法 健康指标

1 前言

锂离子电池具有自放电率低、能量密度高等显著优点[1]，在交通、航天、国防等领域得到了广泛应用[2]。但在反复充、放电过程中，锂离子电池容量会下降，性能会降低，严重时甚至会发生灾难性事件[3-4]。因此，准确估计锂离子电池的健康状态（State Of Health，SOH）对于电池的安全可靠运行具有重要意义。

电池容量是电池SOH 的直接指标，在许多估计方法中都有应用。Chen 等人[5]提出了一种基于欧姆内阻与容量衰减关系的电池SOH 估计方法。与此同时，基于可测电池参数的健康指标（Health Index，HI）在线构建也得到了越来越多的研究[6-8]。此外还有基于数据驱动的预测方法，但是需要与电池电容和可测量的物理参数建立映射关系，对训练数据集具有高度依赖性。电池在复杂条件下工作时，该方法可能会降低精度。因此，基于模型的预测方法越来越受到人们的重视，该方法通过提取表征电池动态老化和失效过程的内部参数来建立物理模型。由于模型参数随电池退化而变化，因此可以采用滤波方法递归更新模型参数[9-14]。

然而，卡尔曼滤波（Kalman Filter，KF）存在一些固有的缺陷，不适应非线性的模型，而且要求系统噪声和测量噪声必须满足高斯分布，但锂电池退化过程并不符合这些要求。相比之下，粒子滤波（Particle Filter，PF）算法在处理非高斯和非线性电池SOH方面具有优势[15]，因而受到许多学者的关注和重视。然而，PF 算法存在粒子多样性退化的问题，为解决这一问题，可以采取的主要策略有2种：一是改进重采样技术[16-17]，虽然重采样技术可以在一定程度上解决粒子数量不足的问题，但是会导致粒子的多样性缺失；二是选择更合理的粒子建议分布[18]。近年来，随着生物智能算法的出现和发展，采用智能群体优化算法优化粒子滤波来解决粒子退化贫化问题具有非常好的应用价值[19-21]。因此，本文选用萤火虫算法优化粒子滤波，并对传统萤火虫算法加以改进，模拟萤火虫优化思想的吸引行为和移动行为代替粒子滤波重采样来解决粒子贫化问题。

2 基本算法

2.1 粒子滤波算法

粒子滤波是一种基于蒙特卡洛仿真的近似贝叶斯滤波的概率统计算法[22]。许多非线性滤波问题可以用动态空间模型来描述，状态方程和观测方程分别为：

式中，xk、yk分别为k时刻的状态值和观测值；fk为状态转移函数；hk为观测函数；uk为过程噪声；vk为观测噪声。

设初始的状态概率密度为P(x0|y0)=P(x0)，则得到(k-1)时刻状态变量xk后验概率密度分布P(xk|y1：k-1)的状态预测方程为：

设初始重要性密度函数为q(x0)，并将已知且易于采样的重要性密度函数q(x0：k|y1：k)改为：

从q(xk-1|y1：k-1) 中采样N个粒子的概率密度为：

式中，δ为狄拉克函数。

状态估计为：

2.2 萤火虫算法

通过对热带萤火虫的发光机制和运动行为进行模拟，Yang 提出了一种新型的自然启发式群体智能优化算法，即萤火虫算法（Firefly Algorithm，FA）[23]。真实的萤火虫发光自然地呈现出一种离散的闪烁模式，而萤火虫算法假设它们总是在发光[24]。

2.2.1 荧光亮度

荧光亮度取决于萤火虫所在位置的适应度，并与其近似成正比。亮度越高，表示该个体的吸引力越强，其他个体向其移动的概率越大，并且存在亮度随着距离而弱化的过程，定义荧光亮度参数为：

式中，I0为rij=0 时的光强，即最大光强；γ为介质的吸收系数，通常取1；rij为萤火虫i和j之间的欧几里得距离：

式中，xi和xj分别为萤火虫i和j所处的空间位置；D为维度；xid和xjd分别为萤火虫i和j所在的第d维分量。

2.2.2 吸引度

萤火虫的吸引度随荧光亮度的变化而变化，定义吸引度参数为：

式中，β0为最亮萤火虫的吸引度。

2.2.3 位置移动

萤火虫在受到比自身更亮的个体吸引时，会向更亮的个体移动，位置的更新表示为：

式中，为萤火虫当前所在位置；为吸引度；α(R-0.5)为随机项，其中α为步长因子，R∈[0,1]为随机数。

3 改进算法

3.1 改进萤火虫算法

FA 是一种参数少、稳定性强，且操作方便的算法，但是在迭代后期会出现随萤火虫之间距离逐渐缩小，其相对吸引度增大的现象，从而导致萤火虫算法局部搜索能力变弱，并且有可能在峰值附近反复振荡，使得算法的计算速度和求解精度下降。与此同时，萤火虫的个体多样性变差，易出现早熟收敛现象。针对传统萤火虫算法的不足之处，本文对FA进行改进。

3.1.1 采用动态搜索步长

在标准FA中，α是固定的，未考虑随着迭代次数增加，萤火虫之间距离逐渐减小的特征。因此，本文采用随迭代变化自适应控制的随机步长因子α来减小萤火虫的随机运动。α在每次迭代中进行动态调谐：

式中，tmax为最大迭代次数。

3.1.2 引入惯性权重因子

虽然式（13）最后的带有特定系数的随机项可以在一定程度上避免局部振荡的延续，但是可能由于迭代次数过多，精度无法得到满足。因此，为了提高FA的局部搜索能力，将惯性权重引入位置更新公式：

式中，ωt为惯性权重因子，一般取0～1范围内的常数。

3.1.3 改进移动策略

每一只萤火虫都在逐步向更亮的萤火虫移动，因为每只萤火虫的亮度都需要相互比较，而且每次比较都伴随着一次移动，这就会使得跟踪时间过长。为了克服这一问题，以所有比萤火虫i亮的位置坐标的平均值作为代表点，萤火虫i只向这一代表点移动而不必向其他较亮萤火虫移动，这将大幅缩短跟踪所需时间。最终改进的位置移动公式为：

3.2 改进萤火虫算法优化粒子滤波步骤

a.设定所需参数，包括粒子数N、最大吸引度β0、步长因子α、传播媒介的吸收系数γ、最大迭代次数tmax和算法迭代终止阈值ϵ。

c.采用改进萤火虫算法来优化粒子，模拟萤火虫优化思想的吸引行为和移动行为代替粒子滤波重采样。首先求出xjavg，并获取粒子吸引度，然后根据式（16）更新粒子位置，迭代拟合最小方差估计。粒子吸引度计算公式为：

d.判断拟合终止。当荧光亮度大于设置的终止阈值ϵ时，停止算法迭代，否则继续迭代至最大迭代次数；当算法符合设定的ϵ时，说明粒子已收敛至粒子真实值，或者达到最大迭代次数，此时停止优化；否则转入步骤c。

e.权重补偿及更新。萤火虫算法与粒子滤波结合的核心思想是，为了得到更准确的预测值，对PF中的粒子逐个进行迭代寻优，粒子会向后验概率密度值高的区域聚集。但是萤火虫算法会导致粒子滤波分布存在贝叶斯滤波理论丢失的情况，因此，在粒子位置更新的同时对权重进行补偿及更新：

4 仿真及结果分析

4.1 锂电池数据集

本文采用先进寿命周期工程中心（Center for Advanced Life Cycle Engineering，CALCE）公布的利用美国Arbin BT2000 锂电池试验系统对锂电池进行连续的充、放电试验获得的一组电池容量试验测量数据。试验在室温条件下进行，所用锂电池的额定容量为1.1 A·h。首先，以恒定电流0.675 A 充电，当电压升高到4.2 V 时充电结束。然后，以恒定电流1.350 A放电，放电速率为1 C，当电压降低到2.7 V 时放电结束。最后，对锂电池进行电化学阻抗谱扫描，频率扫描范围0.1～5.0 Hz。

4.2 锂离子电池在线SOH估计方法

本文通过提取电池实际运行过程中可以直接监测到的放电电压序列和时间序列构造一个在线的HI，对构造的HI 与电池SOH 之间的相关性进行评估和映射，并将此映射关系应用到系统状态空间方程中以实现电池SOH估计。

等放电电压差时间间隔潜在退化模型与电池容量退化模型类似，取等放电电压采样的最大值Vmax和最小值Vmin分别为4 V 和3.5 V，一定充、放电周期内，提取等放电电压时间间隔的在线HI为：

式中，tVmax和tVmin分别为电压采样的上限和下限时间。

在线HI序列可以表示为：

在线HI可以作为电池SOH的间接指标，而在线HI与电池SOH之间的相关分析和转换关系也具有一定的参考价值。由文献[25]可知，电池SOH与在线HI之间的转换关系可以描述为：

式中，Oi为电池健康状态；β0为常数；β1和β2为转换关系系数；ε为误差。

这种近似方法应用线性基础展开，是广义线性回归模型的扩展之一，这种转换关系的优点是可以添加平滑函数来描述两个变量之间的线性或非线性关系。

4.2.1 退化模型和状态转移方程

锂离子电池反复充、放电造成的退化是一个复杂的电化学反应过程，因此很难建立合适的模型来表征整个降解过程，但是不难看出，电池退化的总体趋势是指数衰减的。而且Xing等人[26]的研究表明，双指数退化模型能够很好地描述电池的退化过程：

式中，a、c为内阻抗；b、d为退化速率。

电池双指数模型所确定的函数如图1 所示。由于原数据集样本量较大，先对数据样本进行约减预处理，原数据样本每隔5次循环抽取一个新数据点，构建缩减后的数据样本。拟合相关系数R=0.995 5，说明双指数模型表征电池降解过程的能力很强。

图1 CALCE数据集A12系列电池退化过程拟合

选择退化模型参数作为系统状态空间变量，状态转移方程可建立为：

式中，N(0,σm)(m=a,b,c,d)为均值和标准差都为零的高斯噪声。

4.2.2 测量方程

测量方程描述了系统状态变量与观测信息之间的函数关系，选择在线HI 作为状态空间方程的测量值。考虑到电池退化模型以及在线HI与电池SOH之间的映射关系，测量方程为：

式中，g()为在线HI与电池SOH之间的转换关系。

4.2.3 状态更新和电池SOH估计

在第k个循环周期，每个粒子对电池SOH 的估计为：

4.3 仿真设计

首先，对CALCE 数据集中A12 系列电池进行在线HI 提取，并对构建的HI 与SOH 进行相关性分析。然后，对测量方程建立在线HI 与电池SOH 之间的映射函数，对状态转移方程建立退化模型。最后，利用改进算法对电池SOH估计的状态参数进行优化。为便于与电池数据对比，将在线HI除以某一基准值，所构造的在线HI和真实SOH如图2所示，由图2可知，在线HI与电池SOH 有很强的相关性，说明电池SOH 的变化可以通过提出的HI表示。

图2 A12系列电池的在线HI提取

由式（24）和电池SOH获得的映射在线HI如图3所示。利用最小二乘法计算系数β0、β1和β2。最大误差为0.045 7，表明利用映射关系可以建立系统状态空间方程。

图3 A12系列电池的在线HI与SOH映射关系

4.4 评价指标

为了分析改进算法的估计性能，对粒子数相同的PF 算法进行分析和比较。评价指标包括均方根误差（Root-Mean-Square Error，RMSE）ERMSE、最大误差（Mean Error，ME）EME、最大相对误差（Maximum Relative Error，MRE）EMRE和平均误差（Average Error，AE）EAE：

4.5 仿真结果与讨论

传统PF 算法与改进萤火虫算法优化的粒子滤波（Improved Firefly Algorithm-Particle Filter，IFA-PF）算法对A12系列电池的SOH估计结果如图4所示，量化性能比较结果如表1所示。

图4 2种算法对A12系列电池的SOH估计结果

表1 2种算法仿真结果评价指标

从图4 和表1 可以看出：经过滤波的估计值与真实值之间的误差都在0.05以内，最大相对误差都在10%以内，具有较高的准确性，说明PF算法在电池SOH估计中具有良好的性能，适用于锂离子电池等非线性、非高斯系统；结合退化模型和在线HI的IFA-PF算法最大相对误差可减小到6%以内，表明改进算法估计结果具有较高的精度，优于传统的PF算法。

5 结束语

本文提出了一种基于改进粒子滤波算法的锂离子电池SOH在线估计方法。首先从放电电压和放电时间方面构建了在线测量的健康指标，建立了其与电池SOH之间的映射关系，并将其应用于系统状态空间方程。通过建立双指数退化模型，采用改进算法实时调整模型参数估计电池SOH。仿真结果表明，基于IFA-PF 算法的电池SOH 估计精度高，能够有效地适应具有非线性和非高斯特性的锂离子电池。然而，当电池在动态条件下工作时，情况将更为复杂，测量精度可能降低，因此在未来将对这一具有挑战性的问题进行研究。