脑洞大开 一题多解

阮萍扬

(福建省泉州师范学院附属中学 福建 泉州 362000)

2019年泉州市二检中，有一道题吸引了笔者的眼球，乍一看切入点不好找，思路不清晰，但仔细思考后会发现有多个角度可以入手分析，随着思考广度的不断拓展，一题多解，脑洞大开。

题目:如图，在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a，b，c，a+b=5，(2a+b)cosC+ccosB=0,若点D为AB的中点，∠ACD=30°，求a,b的值。

1.向量方向

总结:向量用来解三角问题，经常要用到模长平方，向量的夹角公式，或向量点乘的几何意义、极化恒等式等等，这是一个研究解三角形问题的方向，是一种常见的方法。

2.解三角形方向

总结:此题的参考答案解法也非常漂亮，利用△ACD和△BCD面积相同可以轻易得到b=2a；参考答案还给了另外一种解法，在△ACD对∠ADC用正弦定理；在△CBD对∠CBD取正弦值；联立后，即可以得到b=2a。而笔者的这个解法主要受到2017年全国卷1卷三角函数大题的启发，条件可以二次应用，得到新的条件，这也不失为一种好的解法。解三角形问题，用正余弦定理、面积公式等，这种解法中规中矩，套路化模式化是最重要的一种基本方法。

3.解析几何方向

总结:利用建系，运用代数的方法解决几何问题，这是解析几何神奇之处，常常有化难为易，化繁为简的功效，并且思路简单，入手容易，是解决三角问题的好方法。解法5，利用条件a+b=5，构造一“椭圆”，再利用椭圆的性质去解决问题。这种解法在此例中运算量较大，“小题大做”，但巧在构造的模型。值得一提的是，另外一种常见构造结构圆，也是解决三角问题的一种好模型好方法。

4.平面几何方向

总结：利用平几知识点解决问题，是非常好的一个思路，并且解法不唯一。此题也可以过点A做直线与BC相平行，利用中位线解决问题。也可以过点D做AC的垂线，用相似解决。平面几何的分析方法越来越重要，也是近几年的国考卷中常见的命题手法。

5.联立方程解方程组方向

总结

假设未知数求解未知数，假设两个变量，那么只需要找到两个等式，联立求解即可。此题解法，刻意的选择“公差”作为其中一个变量，计算过程略显麻烦。实际上对于变量的选择还可以有其它选择，可设边长，可设角度，有了变量再去寻找等式。这种方法较为“笨重”，尽管计算量大，但思简单，入手容易，因此成为解决三角问题，最值问题常用解题策略。