递推型数列的几种求极限方法

仝兆佳

摘 要： 本文列出了递推型数列求极限的几种方法，并给出了相应的例子。

关键词： 递推型数列;极限;单调性;有界性

【中图分类号】O171     【文献标识码】A     【DOI】10.12215/j.issn.1674-3733.2020.39.200

数列极限是微积分的第一节课，也是微积分学的理论基础.求数列的极限，在各类的考试，如研究生入学考试，数学竞赛中等都是一个较为重要的考点，也是高等数学中的困难问题之一.本文将列举几种递推型数列极限的求解方法.

设数列xn由递推关系式xn+1=f（xn）给出，将函数f（x）称为该数列的递推函数.

1 利用单调有界定理

定理1：单调有界数列必收敛.

利用单调有界定理对数列极限的求解，主要分为以下三步：第一步，证明数列的单调性;第二步证明数列的有界性;第三步，求递推函数f（x）的不动点，并根据数列的性质，舍去不合条件的解，找到数列的极限.以上三个步骤中，数列单调性的证明是一个难点.主要方法有：

（1）判断 xn+1-xn的正负; （2） 若xn为正项数列，判断xn+1xn是否大于1;

（3） 利用常用的不等式及数学归纳法证明数列的单调性;

（4）若递推函数的导数f′（x）0，则x1SymbolcB@x2时，数列xn单调增加;x1x2时，数列xn单调减少;

以上四种确定函数单调性的方法中，前三种在使用时都可以直接得出正确结论.第（4）种在证明过程中应注意，如果函数f（x）的单调区间不是一个连续的区间，不一定能够直接得出函数的单调性，应对数列的取值情况加以讨论.举例说明如下：

例1.设数列xn满足（2-xn）xn+1=1，证明limn→SymboleB@xn=1.

解：由已知xn+1=12-xn，故递推函数f（x）=12-x，f'（x）=1（2-x）2，故f（x）的单调增加区间为（-SymboleB@，2）和（2，+SymboleB@）.

若对任意的n∈N+，xn∈（-SymboleB@，2），则数列xn有界，且有x2-x1=12-x1-x1=（x1-1）22-x10，即x2x1，由f（x）单调增加知，f（x2）>f（x1），即x3x2，依次下去，知xn为单调增加数列.由定理1可知，数列xn收敛.

若存在m∈N+，xm>2，则必有xm+1=12-xm<0，从而xm+2=12-xm+1<12<1，依次下去，可得xm+n<1<2，对任意的n∈N+，n2.故数列{xm+n}n2满足所有项均小于2，且有递推关系式xm+n+1=12-xm+n，因此由第二段讨论过程可知，数列{xm+n}n2收敛，故数列xn收敛.

设limn→SymboleB@xn=A，则A（2-A）=1，解得A=1，故limn→SymboleB@xn=1.

2 压缩影像原理.

定理2 若数列xn由递推公式xn+1=f（xn）给出，其中f为一可微函数，且存在r∈R，使得对任意的x∈R，恒有 f′（x）SymbolcB@r<1，则数列xn收敛.

例2.设数列xn满足x0=1，xn=bxn-1+c（n1），其中b，c为固定常数，且满足b<1，证明该数列收敛，并求limn→SymboleB@xn.

解：由已知，递推函数为f（x）=bx+c，则f'（x）=b<1，由定理2可知，该数列收敛.假设limn→SymboleB@xn=A，则A=bA+c，A=c1-b.

3 先猜测假设，再证明极限.

假设极限为A，则由递推公式xn+1=f（xn）可知A=f（A），计算出A可能的取值，猜测出数列xn的极限，然后证明数列xn的极限.

例3.设数列xn满足x1=1，xn+1=xn+axn+1，其中a为一固定常数，且满足0

解：假设limn→SymboleB@xn=A，由保号性，必有A0.递推式两边同时取极限，则A=A+aA+1，解得A= a.下证limn→SymboleB@xn= a.

xn- a=xn-1+axn-1+1- a

=xn-1+a-xn-1 a- axn-1+1

=（ a-1）（xn-1- a）xn-1+1<（ a-1）（xn-1- a）

<（ a-1）2（xn-2- a）

<（ a-1）n-1x1- a=（ a-1）n

又因为0

4 根据递推关系式构造新的数列.

主要方法是对已有的关系式做变形，根据关系式构造新的数列，使得新数列的收敛性及极限容易计算，从而可以求出原数列的极限.

例：设数列xn满足x1=1，xn+1= rx2n+2，其中r为给定常数，r<1，求limn→SymboleB@xn.

解：由xn+1= rx2n+2可知，x2n+1=rx2n+2.令yn=x2n，则yn+1=ryn+2.此为例2中讨论的数列类型.由例2的结论可知，limn→SymboleB@yn=21-r.又yn=x2n，且xn0，则limn→SymboleB@xn= 21-r.

一个难题的解决，方法往往不是唯一的，更不是单一的，因此要求学生在学习过程中，熟练掌握基本的、常规的解决方法，在遇到难题的时候有思路可想.递推型数列的极限递推型数列的极限是一个难点，主要原因在于递推关系式的变化是复杂的.本文列出几种求解的基本方法，运用时应该与其他求极限的方法相结合，开阔思路，从而解决问题.

参考文献

[1] 陈兆斗，黄光东等.大学生数学竞赛习题精讲.第2版，北京：清华大学出版社，2018.

[2] 裴禮文.数学分析中的典型问题与方法.第2版，北京：高等教育出版社，2006.

[3] 周民强.数学分析习题演练（第一册）.第2版，北京：科学出版社，2016.