从猜开始的数学学习

高晓健

猜的正名

在很长一段时间内，数学都被认为是一种系统的演绎科学。这一成见甚至可以追溯到欧几里得时代。直到20世纪40年代，美籍匈牙利数学家乔治·波利亚（G.Polay）通过对数学创造和学习的具体思维过程的再现、分析，提出了“合情推理”的思维模式。

在《怎样解题》[1]一书中他指出：“数学具有两个面，它既是欧几里得的严谨的科学，但同时也是别的什么。”这里的别的什么，指的就是合情推理。

从解题的角度（虽然显得比较应试，但我们应该要意识到解题就是从某种程度上研究数学问题）看，无论是证明题还是解答题，所有答案都需要我们用严谨的因果关系来书写，这是数学的第一个面——演绎推理。但是在学习的过程中我们也应该注意到，很多时候我们解决不了一个问题，不是因为不懂得如何严谨地书写，而恰恰是不知道如何找到解题的思路。严谨的书写是内敛的由因导果，当我们确定了大体方向之后，书写变化基本不大。但是我们拿到题目探索思路却更发散，哪怕同一个条件也可以有丰富的联想。把这些纷繁复杂的联想进行整合的过程，其实就是我们所说的合情推理。或者说得更直白一些，就叫猜想。

猜的现状

可能你没有意识到，但是几乎所有需要一些思考的数学问题都对你的猜想能力提出了要求。那么我们现在对高中生的猜想能力培养得如何呢？诚然，教材设置了专门的章节来教授合情推理，但是我想一般的学校可能在整个高中三年也只会留一两个礼拜的时间来教授。这显然与其在数学中的地位极不相称。

可能有人会说：“那好办啊，现在的高中基本高三整个一年都在复习，多给几个礼拜还不够吗？”这……当然不够。或者应该说，这不是课时的问题。前述已明，猜想存在于每个需要思考的数学问题之中，那么我们的教学自然也应该存在于每个数学问题之中才对。

猜的模式

教材中涉及的合情推理内容，基本就是归纳推理与类比推理两块。让我们回到“开山祖师爷”波利亚那里，他老人家确实非常强调归纳与类比这两个手段，在他的三个姊妹篇《怎样解题》《数学与猜想》[2]和《数学的发现》[3]中多次提及。但是合情推理毕竟是发散性的猜想，飘忽不定才是它应有的面貌。其实，这个问题也早有前辈论及。比如《波利亚合情推理的成功与不足》[4]一文中就指出：“通过进一步考察他（波利亚）所组织的反映其合情推理的案例，可见合情推理主要包括归纳、审美和间接实证等几个方面。”这里简单解释一下审美。好比门外汉和专家一起看青花瓷，门外汉多半形成不了联想，但是专家往往可以通过各种蛛丝马迹来猜测它的真赝、年代、产地等等。数学问题也是一样，很多老师能够在未经演算的情况下就大体判断出某想法是否可行，这就是数学审美。所以笔者斗胆将合情推理模式描绘成这样一个场景：在数学审美的指导下，进行类比、归纳或其他猜想，得出猜想一;然后，继续在数学审美的指导下，进行类比、归纳或其他猜想，得出更可信的猜想二……如此持续到几近完美。之后的事就交给演绎推理了。

猜的实战——归纳推理

只有泛泛而谈未免单调。笔者分享一个在教学过程中的实例来辅助说明：

此题求前2012项和，关键点当然在求出通项公式，也就要对递推关系式作处理。看似不难，但是在初学阶段，学生往往难以一蹴而就地想到正确解法。毫不夸张地说，在普通一点的学校，能不能有一小半的学生构造成功都是存疑的。那么对于大多数学生来说，听老师讲课未免有些望山跑马了。

对于那些没有一点想法的学生来说，打击太多甚至会让他们渐渐失去对数学的兴趣。我们可以试着让他从“猜”开始。

直接构造数列的通项公式太难，那么我们能不能试着猜出来呢？通项公式是项值与项数的关系，那么只要计算几项，应该就能发现规律了。

怎么样，是不是很容易操作。容易就对了，我们在没有降低题目难度的同时，让学生更容易得到答案，获得成就感，也就免于失去对数学的兴趣，对学习的兴趣。这就是猜的第一个好处：比解题容易，让更多学生能够参与。

猜的实战——审美加成

可能有人会说，这不是办法啊。这个通项公式毕竟是“猜”到的，不符合数学的严谨性。确实如此，不仅我们老师，只要学生有一点上进心的话也会知道这样其实是不妥的，这将在后续的学习中激励他更进一步。

可能你会说“这两个方法差别不大”。但只要学生足够有心，就一定会担心将来的问题，直接进行猜想可能会遇到猜不出的情况。学生就会尝试培养自己的数学审美，或许他并不知道这个词，但是实质上他会在这个方向努力。我们可以说，猜其实也是一种提高数学审美的绝佳手段。

猜的终结——归于不猜

当我们在日常教学中积极引入猜想之后，这道本来只能启发一小半学生的题目，就变得人人能从中受益。其背后的成就感，激发的灵感、兴趣都是不可估量的。

猜的后言

老师或许会很担心，如果教学生来猜答案，会不会让学生懒于思考。或许真有老师尝试了这种教学策略之后发现有一半的学生都沉浸在第一个阶段似乎也没有进步的迹象。但你要知道，不然的话，这些甚至更多的学生会步入对递推关系，甚至对数学的恐惧之中。虽然算不得，但是猜了个大概，足以让很多学生宽慰。而我们也不应该希望有这么一种办法能让全部学生一定时间内取得最好的学习成就。毕竟我在前文的行文中也强调了诸如“有一点上进心”“足够有心”等字眼。但是对于上进的有心的这部分学生，当他最后发现，猜想的答案离标准只差这么微小的一步，他怎么可能会放弃学习呢？当数学审美达到一定程度时，就会从量变到质变——完全解出题目。毕竟完全解决一个问题比大致解决更能给人以兴奋。

当我们回顾整个过程不难发现，虽然“猜”听上去就不上台面，但是猜给我们带来了解题的“兴奋”。正是这种兴奋，挽救了那些在数学面前弱小又无助的学习信心，提升了那些在转化条件时的数学审美，并最终将学生送入“不猜的境界”。文笔拙劣，非敢言能补正前贤之缺失也。

参考文献：

[1]G·波利亚.怎样解题：数学思维的新方法[M].上海：上海科技教育出版社，2011.

[2]G·波利亚.数学的发现：对解题的理解研究的讲授[M].北京：科学出版社，1981.

[3]G·波利亚.数学与猜想：数学中的归纳与类比[M].北京：科学出版社，2001.

[4]孫名符，蒙虎.波利亚合情推理的成功与不足[J].数学教育学报，1998，7（3）：43-46.

编辑 李琴芳