网络画板在高中函数教学中的应用

尹洁 侯小华

摘  要 以网络画板在“正弦函数的图像”“导数的几何意义”中的应用为例，说明合理使用网络画板的功能可以提高教学质量，帮助学生理解教学难点，并更好地吸引学生积极参与课堂的探索过程。

关键词 网络画板;函数教学;高中数学;正弦函数;导数

中图分类号：G633.6    文献标识码：B

文章编号：1671-489X（2020）13-0036-02

1 网络画板概述

网络画板是基于移动互联网环境的专业数学教学平台，为教师和学生提供一个操作的环境，让数学真正动起来。通过互联网，广大教师在平台上共享课件资源，并根据自己的教学需要重新编辑制作;学生也能够利用网络画板进行自主探究，培养学习数学的兴趣。

网络画板比超级画板更精进，具有支持3D和多终端、成本低、方便共享、简单易学等特点。网络画板官网的“在线帮助”中有详细的视频教程，供初学者借鉴学习。对于想学习的课件，在“资源”中搜索课件主题就能查阅到，再根据对象栏的制作顺序学习制作。

网络画板具有广泛而高效的功能：能够计算长度、面积、倾斜角等，也可以自行输入公式进行计算;能够对对象进行追踪或设置动画，显示对象的变化过程;能够作出各种函数曲线;等等。网络画板下方还具有一系列按钮组，如多边形按钮组、线线关系按钮组、变换按钮组等，可以根据不同需求进行选择。此外，网络画板中有许多快捷键，在制作过程中更加省时，比如“Ctrl+H”可以将选中元素进行隐藏;“Shift+Enter”可以对参数和动作按钮之间的距离进行调整，使得课件更加规整等。

2 网络画板在高中函数教学中的应用举例

网络画板在“正弦函数的图像”教学中的应用  在“正弦函数的图像”这一节内容中，教学的一个难点是为什么要用正弦线作正弦函数图像[1]。在传统教学中，教师为了达到教学目标，再加上教具的限制，容易产生一些问题：

1）略过教学难点，直接让学生接触“五点（作图）法”，导致学生对正弦函数图像的由来比较模糊[2]，不能从“形”上直观感受由正弦线作正弦函数图像的过程，导致对图像认知不明确;

2）让学生在一个函数周期内把区间[0，2π]平均分成八份或12份，再描点连线[3]，既耗费时间，也不能画出准确的函数图像，这是由于三角函数的特殊性，某些分点对应的三角函数值是无理数，无法精确作图。

教师通过让学生动手描点作图，造成学生的认知冲突，因为学生发现有些三角函数值是无理数而难以准确取点，这个时候再引导学生回忆单位圆内的三角函数线的知识，他们就会想到利用正弦线、余弦线作正弦、余弦函数图像。

教师利用网络画板继续向学生展示图1所示正弦函数图像的形成过程，将单位圆分为12等份，每一等份圆所对应的弧度数即弧长为;∠ABC表示一等份圆所对应的弧度，点A绕圆心B逆时针旋转m1弧度形成点D，所以∠ABD>0，弧AD的長就表示i等份的点所对应的弧度数m1;将弧AD的长m1作为横坐标构造点F（m1，0）;点D对应的正弦线DE平移到点F的纵坐标产生点G（m1，sinm1）;

对点G设置轨迹并进行跟踪，拉动变量i的进度条，显示的跟踪像和轨迹就是12等分圆的i等份弧度所产生正弦函数图像的动态过程。改变n的值为更大，就可以由特殊扩展到一般，演示任意等分圆作正弦函数图像的过程。

利用网络画板的轨迹、计算、旋转、跟踪功能，能够将正弦曲线较为准确、直观地展示出来，有利于学生从“形”上把握正弦函数图像的形成过程，体会数形结合的思想，为学习正弦函数的性质作铺垫。

网络画板在“导数的几何意义”教学中的应用  学生在高中第一次接触极限思想，概念比较抽象，对导数的几何意义理解不当，会直接影响函数单调性、函数最值以及极值等知识的学习。在“导数的几何意义”这一节内容中，课标要求通过函数图像直观理解导数的几何意义[4]。

传统的教学利用教材和PPT观察割线的变化趋势，这种展示是静态的，无法结合极限思想给学生带来强烈的体验，导致学生理解不深刻;单纯学教材会让学生产生厌倦情绪，失去探究的积极性。这归根于教师没有从运动变化的观点出发设计教学[5]。

在教学中，教师先让学生回忆导数的概念：函数y=f（x）

在x=x0处的瞬时变化率就是函数y=f（x）在x=x0处的导数，

即。再利用网络画板演示图2所示课件，向学生提问割线斜率的表达式，引导学生用数学表达式表示点A处的切线斜率。点击动画按钮“形”，学生就能清晰直观地感受不同的割线AD从点A右侧逼近切线的过程，也就是△x→0的过程。在这个过程中，m0→m1。

在演示过程中，教师口述：kAD→kA，kA就是函数在A点的瞬时变化率f′（xA），割线的极限是切线，而切线斜率的数学表示就是切点A的导数。然后用动作按钮“数”来显示导数的几何意义推导过程，分别从“数”和“形”角度帮助学生理解导数的几何意义。同理，可以制作由点A左侧趋近切线的过程。另外，如图3所示课件，引导学生通过观察切点A附近不同割线与曲线关系的图像，发现在点A附近，点A处的切线最贴近曲线f（x），因此，在点A附近，曲线f（x）就可以用过点A的切线kA近似代替，帮助学生领悟微积分中的以直代曲思想。

网络画板具有的动画、跟踪、测量等功能，为教师设计“导数的几何意义”一节内容提供了新的教学思路。教师通过动画和跟踪图像的演示，让学生直观地感受到割线无限逼近切线的动态过程，潜移默化地渗透极限思想和以直代曲思想。另外，通过网络画板作图，有利于激发学生对导数概念的回忆，容易开展本节课的教学，进一步加深学生对知识的理解，使学生沉醉于探索的过程。

3 结语

网络画板给高中函数教学带来诸多便利，不仅成为辅助教师教学的工具，最重要的是能吸引学生积极参与课堂探索，达成良好的师生互动，加深学生对知识的理解。网络画板丰富的功能和优势，还需要广大教师不断探索，以期更好地应用于高中数学教学。

参考文献

[1]章建跃.高中数学核心内容教学设计案例集 上册[M].北京：人民教育出版社，2014.

[2]张全.高中数学三角函数的教学问题分析[J].中学数学，2018（7）：80-81.

[3]邱宁.“正弦函数的图像和性质”教学设计[J].中学数学教学参考，2018（12）：21-25.

[4]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[5]马丽娜.“导数的概念及其几何意义”教学设计[J].中国数学教育，2019（8）：54-58，64.