“同心鼓”颠球最佳策略建模

莫京兰，伍杨杨，黄羽婷，袁 森

(广西科技大学鹿山学院，广西 柳州 545616)

1 问题

素质拓展是培养团队精神、凝聚团队合作力的一种户外活动，该活动中又包含各式各样的活动项目，其中有一项活动最能体现团队合作能力——“同心协力”，它是用同样的心使同样的力。

题目：一面牛皮双面鼓，鼓身周围固定有多根绳子，固定点与绳子皆均匀分布，每个队员都拉着一根绳子的末端，使鼓面维持水平，将垂直落下的球颠起，按标准的颠起高度作为参考，球颠越多则获胜。问题1，在团队每个人能精准控制用力方向、力度和时机的理想状态下，讨论团队最佳协作策略及颠球高度。问题2，现实中，团队每个人不可能准确地控制发力时机和用力大小，其中必然会导致鼓面产生倾斜。假设队员有8人，绳子长1.7 m，鼓面于初始状态为水平静止，鼓面的初始位置比绳子水平位置低了0.11 m，据所给数据中队员的用力大小和发力时机建立数学模型，描述队员某一时刻的鼓面倾斜角与力度和发力时机的关系，并求出0.1 s时鼓面的倾斜角度。考虑到现实因素带来的影响，在问题2的模型基础上，思考是否对问题2的最佳协作策略进行调整。如果鼓面倾斜，球将不再竖直向上跳动，则需要调整队员的拉升策略。当队员人数为8人、绳子长2 m、球有60 cm反弹高度、球跳动方向与竖直方向夹角为1°、且跳动的倾斜方向的水平投影指向两队员之间、其角度比为1∶2。在可精准控制条件下给出所有队员的发力时机和力度来将球的跳动方向调整为竖直方向，并分析在现实中此调整策略的可行性与实施效果的任务。

2 模型假设

忽略空气阻力对实验造成的误差影响；忽略球与鼓之间相互撞击为弹性撞击，不考虑能量损失；假设鼓和球均完好，不影响使用；不考虑不同用力大小的站位问题；不考虑团队队员自身情况所造成影响；不考虑活动经行过程发生的意外因素。

3 问题分析

问题1。在理想状态下进行条件假设，建立数学模型，寻找团队合作使颠球数量尽可能多的最佳策略，求出最佳策略下的最佳高度。通过分析题目所给数据，对球运动过程进行分析，判断该项目球与鼓的运动是否属于能量守恒问题。以能量守恒为导向，以颠球高度、拉力角度、人对鼓所作力的大小为线索，寻找最适合解决问题的数学模型。

问题2。需要考虑到现实情况。每个人反应的速度、使用的力度有所不同，则发力时机，发力大小有所不同，这导致鼓面发生倾斜，产生倾斜角。从分析不同力度下产生的高度差下手，根据题目所给信息，寻找可行的数学模型，分析角度与时机、力度之间的关系。

问题3。在问题2的数学模型上，考虑实际情况，绳长与角度带来的影响。又对问题2的数学模型进行优化，重新调整策略。

问题4。需要调整拉绳策略。根据题目假设，在问题2数学模型基础上，在理想情况下，采用问题1所得最佳用力大小，寻找竖直方向产生倾斜夹角时所产生的高度差，从而得到调整策略。又考虑到现实情况，对调整策略进行分析。

4 模型建立和解决

4.1 问题1模型建立和求解

4.1.1 模型建立

从题目所给条件，根据球的大概运动过程，选择球与鼓接触后向上弹起瞬间作局部受力分析，进行建模。在理想状态下，不考虑空气阻力，在没有能量损失的条件下该运动过程中球满足能量守恒条件。球运动过程中，能量守恒：mgH+W=mgh，假设颠球高度保持在0.4≤h≤1围内最合理。

根据以上条件可得出人对球做功的约束范围0≤W≤1.59。

4.1.2 模型求解

4.1.3 结果分析

从模型求解结果可以分析出每个队员在理想状态下的最佳策略，如表1所示：

表1 最佳策略结果分析Tab.1 Analysis of optimal strategy result

从表1可以清楚看出绳长为0.78 m时人对鼓的拉力。拉力属于合外力分力范围内，证明假设合理。所以发力时机为球接触鼓面的瞬间，绳子倾斜角为45°，每个人对鼓使用力大小为15.6 N，此为最佳策略。在该策略下，高度假设合理，考虑到省力、点球次数尽可能多等因素，选取0.6 m为该策略下的最佳高度。

4.2 问题2模型建立和结果分析

当人对鼓施加一个特定的拉力Fi时，会产生一个向上的支持Ti。根据问题2所给数据，对鼓与拉力进行特定受力分析，又因不同的时机、不同的用力大小都会影响鼓抬起的高度，会产生一个高度差，这时建立一个用力大小在时机约束条件下与鼓面倾斜角的关系分析模型。

4.2.1 模型建立

4.2.2 模型求解

从力影响高度、时机影响高度两方面将1～9组进行粗分。

A.1～3属于t1时间下，力对高度产生影响。

②当F2=80 N时，支持力的大小为T2=10.353 N，此时所产生加速度大小为a2=13.207 m/s，所抬起的高度为x2=0.066 m，所以8人中有1人用力90 N时，所产生高度差为Δx=x1-x2=0.014 m，此时可得鼓面的倾斜角约为θ1≈1.25°。同理可求得有两人用力为90 N时，所产生的鼓面倾斜角约为θ2≈2.08°，θ3≈1.89°。

B.4～6属于Fi=80 N时，时间t1，t2对高度的影响。

①当t1=0.1 s时，所抬起高度为x3=x2=0.066 m。

②当t2=0.2 s时，所抬起高度为x4=0.264 m，因此8人中有1人发力时机属于t2时，所产生的高度差为Δx=x4-x3=0.198 m，此时鼓面的倾斜角为θ4≈1.06°。同理可求得有两人时，在时间t2的影响下，产生的鼓面倾斜角θ5≈1.96°，θ6≈1.32°。

C.7～9属于t2时间下，力影响高度。

①当F1=90 N时，通过A所得求解结果可计算出此时所抬起高度为x5=0.322 m。

②当F2=80 N时，同理计算出抬起高度为x6=0.264 m，因此在t2时间下，一人用力大小为90 N所产生的高度差为Δx=x5-x6=0.058 m，此时鼓面的倾斜角为θ7≈2.35°。同理可得有两人用力90 N时，绳子的倾斜角为θ8≈1.54°,θ9≈1.08°。

根据求解结果，0.1 s时鼓面倾斜角可归纳为表2：

表2 0.1s时鼓面的倾斜角Tab.2 Slant angle of the drumhead at 0.1s

4.3 问题3模型建立和解决

问题1中可知队员之间的最小距离不得小于0.6 m，所以绳子不能小于0.78 m。考虑到现实因素，绳子长度在一定限值下，角度过大，鼓会碰到地面。问题2的模型中，可得绳子倾斜角度。

4.3.1 模型优化和求解

4.3.2 模型结果分析

在绳长为0.78 m的情况，以问题2为基础，调整方案如表3所示。

表3 调整后策略方案Tab.3 Strategy schedule after adjustment

所以调整后策略为发力时机相同，绳子倾斜角调整为10°，每个人对鼓使用65.5 N的力，此时为最佳策略。

4.4 问题4模型建立和解决

若鼓面发生倾斜不处于水平状态时，致使球弹起运动不属于竖直上抛，运动方向发生改变，且在反弹时相对于竖直方向产生1°的倾斜。由角度关系证明定理可知，1°的倾斜角相对于平面发生了的1°倾斜。所以，为了将球调整为竖直状态，则在球类下降过程中，应将鼓面倾斜角1°。

因人数10人，所以人员的站位为正十边形，且人与人的夹角度数为36°。利用对角线判断方法，将人员分为两组，以1～5号为第一组，6～10号为第二组进行受力分析。经研究分析，倾斜方向与位置没有关系，因此假定倾斜落在8号与9号之间，且在位置上，倾斜位置更偏向于9号。所以，要想改变倾斜角度为水平，必须改变该线上的作用时间或者是力的大小，因此对模型进行限制。

在水平方向上：

设F(i=1，2，3，…，9，10)为绳上拉力，θ为绳子与水平线上的夹角，所以，在水平上的受力为Fi·cosθ，在y轴上，矢量和为0，得F1·cos4°+F2·cos40°+F3·cos76°+F5·cos36°=0。

因为在理想状态下，问题1中最大合外力为Fl=124.73 N，利用问题2所得模型，求得在10人情况下，使用力度合外力为Fl=124.73 N，每个人提供加速度a3=34.647 m/s，调整时间为t3=0.020 1 s。

根据受力时间条件下t3取0.1 s作为计算，调整鼓面倾斜度时加速度a4=13.8 m/s2，调整拉力为p=5.026 N，调整后用力大小为F=20.63 N。

由此得出调整后的策略方案，如表4所示：

表4 调整后策略结果Tab.4 Strategy results after adjustment

根据表4结果可知，在现实情况中，人不可能在球发生倾斜后能准确地控制调整时间、调整力度，但调整策略结果与整数调整相差不大，实施效果良好。

5 结语

“同心鼓”这项运动中，理想状态下没有能量损失，利用排球掉落弹起过程的受力分析，寻找出颠球高度、拉力角度、人对鼓所作力的大小之间的关系，同时考虑到实际弹起高度，建立最佳策略模型。在特定用力大小下的受力情况，从不同用力对高度影响、不同时机与高度影响两个大方面考虑鼓面因为高度的不同所产生的倾斜角。通过物理计算，建立了用力大小、发力时机与倾斜角的关系模型。现实情况下，人不可能准确地把握时机、力度，因此调整策略效果不能达到理想效果，通过分析调整策略效果，使得模型属于合理范围内。