用量子化质量数学形式解析质量缺口等经典问题

张思宁，杨冠群

(1.辽宁社会科学院 哲学研究所，辽宁 沈阳 110031；2.沈阳建筑大学 土木工程学院，辽宁 沈阳 110168)

0 引言

“紫外灾难”导致了量子理论的建立[1]，提出了粒子质量的量子化概念，却没给出粒子量子化质量的具体形式，只是将量子化质量当成离散的聚集小块来对待.即便是在自由粒子的薛定谔方程的推导中，质量依然是m[1]，没有量子化具体的展开形式.在不触及量子化质量本质时不会影响量子理论的研究，因为量子理论的成就主要围绕波函数展开，符号m表达的是量子化质量的抽象意义.然而，只要涉及粒子质量就会出现难以解释的问题，诸如波粒二重性怎么既是波，又是粒子；得到实验证明的杨-米尔斯规范理论存在质量缺口；电磁相互作用存在电荷，却没有发现磁荷；强相互作用和弱相互作用是如何进行的等等.研究证明量子化质量不是质量无限分割成的小块聚集，而是需要用四个维度表达的本质不同的四种存在.粒子量子化质量的数学表示可以清楚的阐述量子纠缠[2]、波粒二重性、杨-米尔斯规范理论的质量缺口、电与磁是质量的不同形式，以及强相互作用和弱相互作用的本质.

1 粒子量子化质量的数学表示

波函数在量子理论中具有举足轻重的地位，在波函数中不包含质量，质量的量子化表示对于量子理论十分重要.在波函数ψ(x，t)=ψ0e-i2π(vt-x/A)[3]中包含了虚数i.在复变函数中，i既有长度，也有方向，是长度为1，沿垂直轴指向上方90°的有向线段，表达为

虚数i不仅是虚数，更重要的还是旋转算子.在极坐标系中，第Ⅰ象限的复函数乘以i后，这个复数会从第Ⅰ象限来到第Ⅱ象限；继续乘以i，这个复数会从第Ⅱ象限来到第Ⅲ象限；继续乘以i，这个复数会从第Ⅲ象限来到第Ⅳ象限；继续乘以i，这个复数会从第Ⅳ象限回到第Ⅰ象限，完成360°的旋转，回到了原来位置.i是旋转因子，具有旋转周期性.

为推导方便，将波函数ψ(x，t)=ψ0e-i2π(vt-x/A)简化为波函数指数因子y=eix，其中x是速度v与时间、空间的函数.由于y=ex[5]的n阶导数等于自身，波函数指数因子y=eix每求一次导数就等于乘了i，求4阶导数完成了一个旋转周期，这就是4维的量子空间.波函数指数因子y=eix的n阶导数为y(n)=ineix，波函数指数因子具有旋转周期性，亦即粒子可以同时出现在极坐标的4个象限之中.n阶导数y(n)=ineix[6]展开后，既可以看到粒子遵循波函数运动的轨迹，也可以看到波随粒子运动轨迹上呈现出的周期性旋转，波的轨迹由y=eix的4阶循环导数呈现出来：

y=eix，y(1)=ieix，y(2)=-eix，y(3)=-ieix

y(4)=eix，y(5)=ieix，y(6)=-ex，y(7)=-ieix

⋮

y(n)=-(i)neix，…(n=1，2，3，…，m)

有了“波”与“粒子”的运动轨迹，就可以推导质量的具体形式.同粒子质量m相关的有两个重要函数，即波函数和洛伦兹变换[7].根据爱因斯坦的洛伦兹变换，运动质量会随着速度的增加而增加，表达为

遵循波函数运动的“粒子”在第Ⅰ象限，量子化质量在第Ⅰ象限表示为

对波函数指数因子求导数后就等于乘以i，质量也应当乘以旋转因子i，在第Ⅱ象限的是虚质量m2，量子化质量在第Ⅱ象限表示为

将虚质量m2乘以旋转因子i，在第Ⅲ象限的是负质量m3，量子化质量在第Ⅲ象限表示为

将负质量m3乘以旋转因子i，在第Ⅳ象限的是负虚质量m4，量子化质量在第Ⅳ象限表示为

由此可见，粒子量子化质量有4种不同形式，虽然同时分别在4个不同的象限，却是本质不同的空间.由此可见，量子化质量总是同量子化空间对应的.旋转方向的逆时针旋转或顺时针对于质量没有任何影响，数学表达完全相同.粒子量子化质量m可以表示为

其中m0为粒子的初始质量或者静止质量，当粒子的速度v接近光速时，质量就会同时呈现出这4种不同的形式，m1与m3存在于“实”空间，m2与m4存在于“虚”空间.

2 量子化质量与波粒二重性的数学解析

量子化的质量有4种形式，在波函数的不同点上既会呈现出“波”，也会呈现出“粒子”，而且，在不同时刻遵循波函数而改变位置.波粒二重性的轨迹为

粒子量子化质量有4种不同形式，由此可以推断，只有波与粒子存在于实空间，而且存在形式完全不同，一个是粒，用m表示，一个是波，用-m表示..

3 杨-米尔斯规范理论质量缺口的数学解析

物理学家杨振宁建立了杨-米尔斯规范理论，准确地预言了可以在世界各地实验室中观察到的事实，并在物理学中得到了广泛应用.已经证明在杨-米尔斯规范理论中传播粒子没有质量[9]，有质量就不能保持规范不变.亦即杨-米尔斯规范理论的量子必须质量为0才能维持规范不变性，4维欧几里得空间中的杨米尔斯方程组有一个预言存在质量缺口的解，时至今日，这个问题已经成为量子理论中的经典问题.值得注意的是，杨-米尔斯规范理论中的质量是量子化质量，质量缺口与量子化质量密切相关.倘若用量子化质量来表达粒子的质量，杨-米尔斯方程组预言的质量缺口问题将迎刃而解.

当质量为m0的粒子以接近光速v运动时，

根据式(1)，(2)，(3)，(4)，得到初始质量为m0的粒子以接近光速v运动时，其总质量m等于0，

由此可见，质量缺口不意味着没有质量，而是量子化质量的总质量等于0，亦即当粒子接近光速运动时，量子化质量的总质量等于0，但这不等于粒子没有质量.由此可见，量子化质量给出了杨-米尔斯规范理论质量缺口的答案.

4 量子化质量与电磁相互作用

电磁学理论认为电磁相互作用是超距作用，电与磁同时存在，且互为存在的前提.电磁学理论将电与磁分开研究，获得了电与磁相互作用的规律，并在实践中获得了广泛应用.电子是粒子，粒子量子化质量m在实世界有两种形式，即

m1与m3的存在形式完全不同，假如设m1为“电子”(粒子)的质量，m3为“磁”(波)的质量，电与磁就是粒子运动时质量的不同形式.在导线中运动的是电子，在导线以外与电子相对应的是磁，电磁相互作用是粒子量子化质量的不同形式.电场的高斯定理指出电场是有源的，磁场的高斯定理指出磁场是无源的[10]，电场与磁场的这一重大区别和不对称性是因为自然界中存在电荷却并不存在磁荷，磁场不是通常所说的由运动的电荷产生，而是与运动的电荷相对应.虽然电与磁在某种情况下可以互相转换，但无论如何都不是两种独立的粒子之间的相互作用.电磁相互作用是电子量子化质量在实世界中不同形式之间的相互关系.同运动电子(粒子)对应的是磁(波)，这是量子化质量的不同形式.切割磁力线是磁(波)受到外力作用变成了电子(粒子)，而有电子的地方也会有磁，电与磁的这种内在联系对弱相互作用的研究非常重要.

5 量子化质量与强相互作用

强相互作用[11]存在于原子核中，原子核内有质子、质子和电子等，质子带正电荷，中子不带电.原子核由带正电的质子和中子组成，它们聚集在约10 m～15 m的范围内，物理学家推断质子所带正电荷之间库仑排斥力没有使核子飞散，是因为核子之间存在一种能压服库仑斥力的强相互作用力，即强相互作用，强相互作用抵消了库仑力才使原子核内的质子相安无事.2个粒子之间的库仑力为

F[10]=kq1q2r/r2

F表示q1对q2的库仑力，r表示q1和q2之间的距离，r表示由q1指向q2的单位矢量，作用力的方向沿着它们的连线同号儿相吸，异号相斥.设质子所带电荷等于q，由于质子所带电荷相等，于是，任何两个质子之间的库仑力可以写为

F=kqqr/r2=kq2r/r2

对于任何质子所带正电荷q0，所受合力F10是其他质子所带电荷q1，q2，…单独存在时对q0作用力F1，F2，…的矢量和，即

F=ΣFi=kΣq0qnr/r2(i=1，2，…n)

因为质子所带电荷相等，即

q0=q1=…=qn=q

任何质子带正电荷的q所受是其他质子所带电荷q1，q2，…qn的合力F为

F=ΣFi=kΣqqr/r2

由于电荷是粒子，电荷的质量是量子化的，量子化质量q为

由于量子化质量不在同一象限，任意两个粒子之间的库仑力为

F=kqqr/r2=kq2r/r2=k(q(1)2+q(2)2+q(3)2+q(4)2)r/r2=k[q2+(iq)2+(-q)2+(-iq)2]r/r2=

k(q2-q2+q2-q2)r/r2=0

F=ΣFi=kΣqqr/r2=Σkqqr/r2=0

由此可见，原子核内质子所带正电荷的库仑力等于0，质子之间不存在相互排斥，也就不存在强相互作用.

6 量子化质量与弱相互作用

原子的某些衰变会产生出另一种元素，并会放出α粒子、β粒子或释出γ射线，同时释放出能量，最终衰变形成稳定的元素而停止放射的元素.衰变是放射性元素放射出粒子而转变为另一种元素的过程.弱相互作用[11]是在基本粒子之间存在的一种短程相互作用力，导致β衰变的力.

任何两个粒子(质子或中子)之间的作用力是由质量引起的，万有引力可以写为

F=Gm3m3/r2=m3m3G/r2=(-m0)(-m0)G[1-(v/c)2]/r2

G为万有引力常数，r是m3m3之间的距离.

6.1 α衰变与弱相互作用

α衰变[12]是一种放射性衰变，发生α衰变时，α粒子会从原子核中射出2个质子和2个中子组成的原子核.中子的量子化质量为式(1)，(2)，(3)，(4).

F=Gm3m3/r2=m3m3G/r2=(-m0)(-m0)G[1-(v/c)2]/r2

由于m3是“波”，根据前面讨论的电磁之间的关系，“波”变成的“粒子”是电子.在相互作用过程中(-m0)(-m0)负负为正变成了“粒”，亦即2个电子，由于电子带负电荷，同时会产生2个正电荷，2个“粒”m1(中子)分别带2个正电荷，中子就变成了带正电的质子和带负电的电子，即2个质子的“波”相互作用的结果是原来的2个中子变成了2个质子和2个带负电的电子.2个衰变的中子变成了2个质子和2个电子，再加上原有的2个中子就组成了氦原子，这就是α衰变过程.发生α衰变后，原子核的质量数会减少4个单位，其原子序数也会减少了2个单位.

6.2 弱相互作用与β衰变

β衰变[12]有两种情况：一种是正β衰变，原子核内1个质子转变为1个中子，同时释放1个正电子；另一种是负β衰变，原子核内1个中子转变为1个质子，同时释放1个电子.

F=km3m3r/r2=m3m3kr/r2=(-m0)(-m0)kr/[1-(v/c)2]r2=m0m0kr/[1-(v/c)2]r2

正β衰变是2个质子相互作用的结果.由于m3是“波”，根据前面讨论的电磁之间的关系，“波”变成的“粒子”是电子.在相互作用过程中(-m0)(-m0)负负为正变成了“粒”，亦即2个电子，同时还会产生2个正电荷，在2个“粒”m1(质子)上有2个正电荷，2个正电荷与电子上的2个负电荷碰撞后消失，电子带正电荷，质子就变成了不带电的中子和带正电的电子，即2个质子的“波”相互作用的结果是原来的2个质子变成了2个中子和2个带正电的电子，这是β正衰变过程.

负β衰变是2个中子相互作用的结果.由于m3是“波”，根据前面讨论的电磁之间的关系，“波”变成的“粒子”是电子.在相互作用过程中(-m0)(-m0)负负为正变成了“粒”，亦即2个电子，同时还产生了2个正电荷，电子带负荷，2个“粒”m1(中子)带2个正电荷，中子就变成了带正电的质子和带负电的电子，即2个质子的“波”相互作用的结果是原来的2个中子变成了2个质子和2个带负电的电子，这是β负衰变过程.

6.3 弱相互作用与γ衰变

γ衰变[12]是放射性元素衰变的一种形式，γ衰变时会放出γ射线，这是一种电磁波，不是粒子，γ衰变不涉及质量或电荷变化.

F=km2m2r/r2=m2m2kr/r2=im0im0kr/[1-(v/c)2]r2=-m0m0kr/[1-(v/c)2]r2

由于im2是虚质量，im2im2是负数，变成了波，就是γ射线.2个虚质量的相互作用的结果是波，出现在“实”世界.

由此可见，衰变既不是原子核内1个中子转变为1个质子，同时释放1个电子，也不是原子核内1个质子转变为1个中子，同时释放1个正电子.只有2个粒子相互作用才能产生衰变，所以，衰变的过程必须是2个粒子同时衰变.值得注意的是，对于原子核内的粒子和原子核外的自由粒子虚质量的相互作用的结果完全不同，原子核内粒子虚质量的相互作用使粒子发生衰变，而原子核外的自由粒子相互作用的结果是量子纠缠.

7 结论

粒子的活动之所以扑朔迷离，是因为量子化质量与宏观视野下的质量完全不同，宏观视野下的质量是不变化的常量，而量子化质量是随速度不断变化的变量.正因为如此，量子理论中存在的诸如波粒二重性、质量缺口、量子纠缠这样难以解释的问题.统一场论试图从相互作用由场来传递的观念出发，统一地描述和揭示基本相互作用的共同本质和内在联系，通过上面的讨论得知，所谓场的超距作用是粒子的量子化质量的表现形式，由于证明了强相互作用不存在，电磁相互作用、弱相互作用存在共同本质和内在联系，不仅如此，电磁相互作用、弱相互作用、波粒二重性、质量缺口和量子纠缠存在共同本质和内在联系，引力相互作用同其他两种基本相互作用(电磁相互作用、弱相互作用)具有的共同本质和内在联系是质量-距离-质量之间的关系.量子化质量具有不同形式，由于不同形式的质量在不同时空中，所以只有相同形式的质量才存在引力相互作用.由此可见，质量分为经典质量和量子化质量，或者宏观质量和微观质量，从逻辑上而言，引力相互作用对于经典质量和量子化质量都成立，而后才涉及经典质量之间的相互关系和量子化质量之间的相互关系.粒子的量子化质量的数学表达，可以解决同量子化质量相关的经典量子力学问题.