基于专业背景的教学案例在高等数学教学中的应用

周会娟 兰曼

摘 要：本文以专业背景知识为基础，结合专业前沿，介绍了高等数学课程中关于空间曲线的参数方程和用微元法建立微分方程的应用案例及其解决过程，从而激发学生的学习兴趣和提高解决问题的能力。

关键词：空间曲线参数方程;微元法;微分方程;案例教学

洛阳理工学院在2013年被确立为河南省首批五所应用型本科转型发展试点院校之一，2016年被确定为河南省示范性应用技术本科院校。应用型本科院校人才培养注重的是将基础理论知识有效应用到实践当中，强调学生适应社会的能力，重点培养他们的基础理论、拓展知识领域、提升专业技能与素养，激发创新意识[1]。因此这样的培养目标对高等数学的传统教学提出了新的要求，作为教师不能再把思维禁锢于讲授系统而严谨的高等数学体系，更多的是要关注到数学知识在现实生活中的应用，在学生所学专业中的应用，以此发挥出高等数学这门基础而又重要的课程对学生应用能力培养中的作用。传统的高等数学教学中，在引入数学概念、定理的实际背景时仍采用古典几何和物理学的相关知识作为应用实例，因此学生学习高等数学，仅仅根据教材上所举的理想化的例子很难体会到高等数学知识在实际生活中和自己专业中的应用，这样的教学也有悖于应用型人才的培养需求。

本文以高等数学中空间曲线参数方程的建立和一阶微分方程的建立为例，结合机械生产中怎样测量纺织绕线机的丝线绕线长度和材料科学中新型功能材料的设计这两个问题，引入专业案例，将抽象化的数学知识与具有专业背景和科学前沿的实例紧密联系在一起，形成理论与实践相结合，教学与专业相结合的教学内容，使得高等数学的教学内容更加贴近专业实践需要[2]，帮助学生更好地掌握专业知识，成为应用型人才。

一、针对空间曲线参数方程的应用案例

（一）案例的背景分析

纺织业目前亟待解决的问题：怎样测量纺织绕线机的缠绕丝线长度？目前国内纺织行业主要采取的方法是对丝线密度长度的测量。但是，由于丝线本身线径很细，质量很轻，而绕线机成品后丝线的长度很长，这就给准确测量带来了很大困难[3]。除了这些问题，还要考虑到丝线越缠越厚、是否容易断线，以及退线方式等问题。所以，一种准确可靠的测量手段亟待出现。为了解决这些实际问题，在数学上，最重要的就是建立合适的数学模型。

绕线机的工作过程：（1）丝线以螺旋方式缠绕到丝线辊上，丝线辊做旋转运动，拨叉做轴向往复运动;（2）丝线线轴与丝线辊同轴转动，即丝线以恒定速度缠绕在线轴上;（3）通过拨叉的往复运动，改变缠线位置;（4）丝线线轴一般为圆台形状，将丝线的线轴延长，就形成了一个圆锥。因此，丝线的绕线曲线就可以看成是动点在圆锥面上的运动轨迹。

所以，要解决上述问题，测得丝线长度，首先最重要的就是建立质点在圆锥面上运动的轨迹方程，也即建立空间曲线的参数方程。

（二）案例的数学描述——空间曲线的参数方程

（三）问题分析与假设

1.问题的分析

绕线机的绕线过程：考虑到卷绕丝线辊的结构，丝线以螺旋方式缠绕到丝线辊上，工作过程中丝线辊做旋转运动，拨叉做轴向往复运动;丝线的线轴与摆子（拨叉）同轴转动，即丝线以恒定速度缠绕在线轴上，通过拨叉的往复运动，改变缠线位置。丝线线轴一般为圆台形状，简化工作过程，拨叉摆动一次，卷绕丝线的缠绕曲线即为圆锥面上的螺旋线。由此可以考虑建立圆锥面上的螺旋线的参数方程。

2.根据分析，提出假设

由问题分析，可以假设：（1）假设拨叉在往复摆动一次时，丝线绕线轴旋转的圈数为2n圈（n值可由实际情况测出）;（2）不考虑线轴逐渐变厚。

3.由问题分析和假设，建立方程

即为丝线缠绕的圆锥螺旋线的参数方程。

二、利用微元法建立微分方程的应用案例

（一）案例的背景分析

在工业生产中，需要生产出一种能同时耐受温差极大的材料。比如超音速燃烧冲压式发动机，在燃烧室内部气体燃烧后温度能达到2000℃，使得燃烧室壁受到非常强烈的冲击，但是燃烧室壁的另一侧又需要承受住液氢的冷却作用，温度在-200℃左右。这样燃烧室壁两侧需要承受极大的温差，一般的材料很难满足这个要求。功能梯度材料是一种新型材料，最早由日本科学家新野正之、平井敏熊和渡边龙三等提出。其材料组分在一定的空间方向上连续变化，使界面消失，材料性能随着材料的组成和结构变化而缓慢变化，因此可用作界面层来连接不相容的两种材料，减小残余应力和热应力，在新型材料科学中有着广泛的应用[4]。

（二）案例的数学描述

如果实际问题所描述的是对象的某些性质随时间、空间的演变过程;那么就可以建立这样一个数学表达式，它以时间或者空间为自变量，以对象的性质为未知函数，反映的是自变量、未知函数以及未知函数的变化率之间的关系，那么这就是一个微分方程，我们还可以结合微元法建立微分方程。

微元法的思想是：将研究对象化整为零，得到它的微元;分析微元，以匀代变，建立微分方程;用微分方程的解来分析所研究对象。

微元法的步骤如下：

（三）问题的提出与解决

1.问题的提出

粉末冶金是功能梯度材料的一种生产方式，将不同密度的材料碾成粉末，逐层排列，实现内部性质连续变化，两端性质满足需求。由此我们可以一起来设计一种简单的功能梯度材料，密度逐层减小，要求每层密度的改变率与已经铺设的紧邻层密度成比例，并实现当厚度为6mm时，密度为初始密度的50%。

2.问题的解决

第一步，选取距离底层的高度为自变量x;

三、结语

在教学内容上选用既与学生专业相结合，又与科学前沿相结合的案例，可以将高等数学的理论性、技巧性与应用性相结合。通过课上提出案例、分析案例以及解决案例，不但让学生掌握了相關的数学理论知识，还进一步激发了学生对数学知识的分析和应用能力，以此达到知识的融会贯通。

参考文献：

[1]林美容，王逸勤.应用型本科院校高等数学课程改革与探索[J].山东农业工程学院学报，2018，35（12）：147-148.

[2]黄浩，余雪.基于“案例+模块化”的应用型本科高校高等数学翻转课堂教学模式改革探讨[J].合肥师范学院学报，2019，37（3）：106-110.

[3]宋继红，衣文索.纺织卷绕筒丝线长度测量系统设计[J].长春大学学报，2012，22（8）：929-932.

[4]兰曼，周会娟.结合专业前沿的高等数学教学研究[J].科教文汇，2018，01：44-47.

作者简介：周会娟（1981—），女，硕士研究生，讲师，主要研究方向：应用数学。