2020年全国新课标Ⅰ卷数学试题评析及2021年新高考备考建议

文∣罗文军 刘娟娟

一、试题结构及考点的变化

2020年全国新课标Ⅰ卷数学试卷不分文理科，在整体结构上，有8道单项选择题、4道多项选择题、4道填空题及6道必考解答题。在分值分布上，单项选择题40分，多项选择题20分，填空题20分，解答题70分。与历年高考全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷相比较，全国新课标Ⅰ卷数学试卷的选择题新增了“多项选择题”这类题型，多项选择题考查知识容量大，运算量大，可以更深入地考查考生的综合思维能力，具有很好的梯度，考生部分选对就可以得3分，一定程度上有利于缩小学生选择题部分成绩的差距；6道解答题都是必做题，无选做题，并且第17题是一道开放性试题，设问方式有了创新，需要考生补充已知条件(三选一)并解答，条件不同，结论不同，但考查的知识点相同，这样的开放性试题可以很好地考查考生的探究意识和创新意识。

2020年全国新课标Ⅰ卷未考查程序框图、三视图、线性规划、坐标系与参数方程和不等式选讲等知识，因为2017年版全国新课标中已经删除了这些内容。

二、 主干知识考查分值分布的变化

表1 2020年全国新课标Ⅰ卷数学卷主干知识考查的分值分布表

全国新课标Ⅰ卷数学卷中，主干知识数列和概率与统计所占的分值权重增加。以往的全国Ⅰ卷数学卷中，解三角形题和数列题交替出现在解答题中，一个出现在解答题中，另一个就出现在小题中。本卷解答题中解三角形和数列都存在。历年全国Ⅰ卷数学卷中，概率与统计的考查各有一道小题和大题；本卷中，概率与统计有3道小题和1道大题。

三、考查内容

表2 2020年全国新课标Ⅰ卷数学思想考查与题号对应表

表3 2020年全国新课标Ⅰ卷数学学科五大能力考查与题号对应表

表4 2020年全国新课标Ⅰ卷数学核心素养考查与题号对应表

从表2—表4可以看出，全国新课标Ⅰ卷数学卷更加注重多种思想方法、学科能力和学科核心素养在同一道题中的综合考查。第7题考查平面向量数量积的几何意义，考查了数形结合思想和转化与化归思想，旨在考查直观想象和数学运算的学科核心素养。第8题考查函数的性质，考查了函数与方程思想、数形结合思想和转化与化归思想，旨在考查数学抽象、直观想象和数学运算的核心素养。第9题考查曲线与方程的有关知识，考查了方程思想，考查了推理论证能力和运算求解能力，旨在考查逻辑推理和数学运算的核心素养。第16题考查了直四棱柱的结构特征和球体的性质，考查了空间想象能力和运算求解能力，旨在考查直观想象和数学运算的核心素养。第18题考查了等比数列的通项公式和分组求和法，考查了方程思想，旨在考查逻辑推理和数学运算的核心素养。第19题以当前社会关心的为治理空气污染环境监测部门对某市空气质量进行调研为背景，考查了概率以及独立性检验，考查了考生的阅读理解能力、提取信息和分析信息的能力，旨在考查数据分析和数学运算的核心素养。第21题主要考查了导数的几何意义和导数的应用，考查了函数与方程思想和转化与化归思想，旨在考查数学运算和逻辑推理的核心素养。第22题考查了椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系以及圆锥曲线中的定值、定点问题，考查了方程思想，旨在考查数学运算和逻辑推理的核心素养。

第4题给出了中国古代测时仪器“日晷”的图片，图片看上去很美观，将美育渗透进试题，第5题渗透了体育，第6题和第15题渗透了劳育。

四、部分试题评析

题1(全国新课标Ⅰ卷数学卷，题4)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间。把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面。在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为( )。

A. 20° B. 40° C. 50° D. 90°

【评析】日晷也叫日晷仪，是我国古代普遍使用的观察日影计时的仪器，它是根据日影的位置指定当时的时辰或时刻。本题将蕴含丰富科学含量的中国古代传统文化元素“日晷”融入高考真题，使题目具有了强烈的人文气息，以优秀传统文化情境为载体，考查了球体的有关计算、平面与平面平行的性质、直线与平面垂直的性质，考查了阅读理解能力、空间想象能力、运算求解能力和创新能力等关键能力，弘扬了中国优秀传统文化，使考生感受到中国古代传统文化，也认识到古代中国人民的聪明才智，增强考生的民族自豪感，考查了数学文化的高考学科素养，体现了高考试题的育人功能。同时本题与地理学科中的纬度知识相关联，也体现了以生活实践情境为载体。

题2(全国新课标Ⅰ卷数学卷，题5)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )。

A. 62% B. 56% C. 46% D. 42%

【评注】本题以某中学的学生喜欢足球或游泳为背景，取材于生活真实情境，体现以生活实践情境为载体，考查了积事件的概率公式，考查了考生的逻辑思维能力、运算求解能力和应用意识，旨在考查考生的逻辑推理和数学运算的数学学科核心素养，考查了数学应用的学科素养，做到了将体育渗透入高考试题。

题3(全国新课标Ⅰ卷数学卷，题6)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数。基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间。在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT。有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6。据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69) ( )。

A. 1.2天 B. 1.8天

C. 2.5天 D. 3.5天

【评析】本题以“新冠肺炎疫情初始阶段累计感染病例数的数学模型的研究成果”为背景，以生活实践情境为载体，考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，考查了数学知识在生活实践中的应用，考查了考生的阅读理解能力、运算求解能力和数学建模能力等关键能力，考查了考生解决实际问题的能力，考查了考生的探究意识、创新意识和应用意识，旨在考查数学建模和数学运算的学科核心素养，也考查了数学探索的学科素养，同时，该指数模型的建立凝结了科学家的劳动成果，本题做到了将劳育渗透入高考试题。

A.若n=1，则H(X)=0

B.若n=2，则H(X)随着p1的增大而增大

D.若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为1,2,…,m，且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m)，则H(X)≤H(Y)

【评析】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，是一道信息创新型多项选择题，体现了以探索创新情境为载体，考查了对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，考查了考生分析、思考和解决问题的能力，考查了考生阅读理解能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识和应用意识，考查了考生的综合思维能力和思维品质，旨在考查数学运算和逻辑推理的数学学科核心素养，也考查了理性思维的学科素养，具有很好的区分度。

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。

【分析】解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，根据比例关系，设出长度，由余弦定理得到c的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解。解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得tanA的值，得到角A,B,C的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解。

【详解】解法一：

选择条件①的解析：

∴m=1，此时c=m=1。

选择条件②的解析：

选择条件③的解析：

【评析】本题是一道开放性试题，主要考查正弦定理、余弦定理的应用，本题与常规的解三角形题相比，涉及的解三角形知识广泛，注重考查考生整体运用解三角形知识的能力，考查综合思维的灵活性和发散性，考查了理性思维的学科素养。这类开放性试题可以破除高考试题题型设置的八股化，可以很好地考查考生的探究精神和创新意识，是新时代高考数学转型的一大亮点。

五、2021年全国新高考备考建议

第一轮复习：2020年8月—2021年2月。

第二轮复习：2021年3月—2021年4月中旬。

第三轮复习：2021年4月中旬—2021年5月中旬。

第一轮复习要过好课本关，积极引导学生对课本中相关公式进行重新推导，比如对点到直线距离公式的推导，通过推导让学生体会推导过程中蕴含的思想方法，通过推导圆锥曲线的弦长公式，让他们认识两点间距离公式与弦长公式的联系，体会“设而不求”的思想，在数列复习中，通过推导等差和等比数列的通项公式，分别引导学生掌握求数列通项公式的不完全归纳法、叠加法和叠乘法，推导等差数列和等比数列前n项和公式，分别使学生体会其中的倒序求和法和错位相减法。要对课本中的例、习题做到归类总结，对其中的经典习题进行多解探究和变式探究。同时要引导学生重新阅读散布在教材阅读材料中的祖暅原理、割圆术、斐波那契数列和海伦-秦九韶公式等数学文化知识，在此基础上，教师要适当选取一定数量的相关数学文化题目供学生练习使用。在回归课本的基础上，做到对考点知识全面覆盖的学科体系构建，绝不能主观臆断那些冷门考点可能不考而在复习中排除，从而留下了复习的盲点。

教师要在研究《中国高考评价体系》的基础上，引导学生做近三年全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷高考真题；关于三视图、程序框图、线性规划、坐标系与参数方程和不等式选讲的题目不做，因为2017年版新课标中已经删除了这些内容，新课标不考查。因为历年高考真题是高考试题的源头之一，例如2020年全国新课标Ⅰ卷数学卷第5题源于2019年全国Ⅲ卷文科数学卷第4题，第13题源于2018年全国Ⅱ卷数学卷第20题第(1)问。要注重研究2020年全国新课标Ⅰ卷，通过做这两套真题，体会《中国高考评价体系》和《普通高中数学课程标准(2017年版)》的要求在高考试题中的呈现，把握好复习难度，对哪些知识不宜钻得太深和对哪些知识又不宜复习得太浅陋做到心中有数。

教师要采撷一些高三一轮复习资料书中好的数学文化试题，引导学生耐心阅读完比较长的题目，从题目提取有利于破解题目问题的关键信息，培养学生好的阅读理解能力、分析问题和解决问题的能力。

教师可以在高三一轮复习和二轮复习阶段，每两周安排一次数学周考练，题目个数和高考一样多，在周考练的试题命制中，要以考查近段时间复习过的知识为主，做到以课本为依据，选择题和填空题中可以设置1到2道数学文化试题，也要结合自己学校的实际学情,把握好试题难度。

第二轮复习中，主要是强化框架性问题的梳理和专题综合训练，提升学生知识迁移、学以致用的能力。

教师可以根据高中数学主干知识，将复习内容分成三角函数、函数与导数、数列、立体几何、解析几何和概率与统计这六个专题进行复习。在专题题目的选取上，要关注知识的交汇，例如选取一些解析几何与不等式知识交汇的题目、概率与统计和函数交汇的题目、数列和不等式交汇的题目等。在每一个专题中设置一定数量的数学文化题目，例如在数列专题和立体几何专题中可以设置一些取材于中国经典名著《九章算术》中的问题的题目。二轮复习中，要注重培养学生的逻辑思维能力、运算求解能力、空间想象能力和推理论证能力。

三轮复习，就是套题训练阶段，每周训练两套数学模拟题，在命制试题时，首先要做一个数学三轮模拟训练命题双向细目表，便于做到同一套题中的考点不重复，四周的套题训练要覆盖近三年全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷除三视图、程序框图、线性规划、坐标系与参数方程和不等式选讲等外考到的所有考点，也要适当设置一些冷门考点试题。有意在每套题的小题中，设置1到2道题干比较长的数学文化题或者新定义题目。教师在试题的讲评中要精心挑选，切忌从头到尾讲完整套试题，引导学生把自己模拟训练中做错的题目整理到纠错本中，引导学生要认真分析和思考出错的原因,到底是知识点掌握不熟练还是运算能力不过关。要特别注意的是，教师要把引导学生对经典题目进行多解探究贯穿高三复习的始终，通过多解探究，提升学生的综合思维能力，培养学生的创新意识，在解题中落实数学学科核心素养的培养。