文∣王伯龙
2007年4月,史宁中教授在宁波举行的数学教育高级研修班的报告中提出,要把数学教学中的“双基”发展为“四基”,即除了“数学基础知识”和“数学基本技能”之外,要加上“数学基本思想”以及“数学基本活动经验”。《义务教育数学课程标准(2011年版)》也把培养学生的“双基”转向了“四基”。《普通高中数学课程标准(2017年版)》将“四基”纳入高中数学课程目标,并强调指出,“四基”是培养学生数学学科核心素养的沃土,是发展学生数学学科核心素养的有效载体,教学中要引导学生理解基础知识,掌握基本技能,感悟数学基本思想,积累数学基本活动经验,促进学生数学学科核心素养的不断提升。
何谓数学基本活动经验?目前也没有严格的界定。张奠宙教授指出,所谓数学基本活动经验,是指在数学目标的引导下,通过对具体事物进行实际操作、考查和思考,从感性向理性飞跃时所形成的认识。郑毓信教授又指出,“数学基本活动经验是学生在积极参与数学活动的过程中,内化了的数学知识、技能与情感体验”。由此可见,数学基本活动经验是在课程目标的引导下,从数学基本活动的过程出发,通过数学归纳和演绎,尝试由特殊情形猜想一般结论,并试图验证或证明的自然思考过程,是在数学学习活动中获取的、经得起推敲的、沉积的感悟体验。
数学基本活动经验和数学基础知识不一样,基础知识是以结果的形式呈现,经验和知识的不同之处在于经验是主体经过自身实践得到的体验,知识是经历学习之后得到的结果。数学基本活动经验和基本技能不同,技能是在大量训练之后顺利完成工作任务的方式,而所有数学活动都能够让学生在学习过程中得到必要的经验。数学基本活动经验不同于数学思想,而思想本质上是方法指导,经验则是铺架在基础知识、基本技能、基本思想方法之间的桥梁。由此可见,“四基”的落实离不开数学活动,学生只有在具体的数学活动中,亲身经历观察、实践、思考、体验等过程才能有效地落实。有研究者将其关系用图1来表示。
图1
以人民教育出版社出版的高中数学A版“椭圆及其标准方程”为例,利用学生已有圆的学习经验及经过观察、操作、猜想、归纳所获得的数学基本活动经验对教材“再度开发”。结合教学实际,充分考虑学生的现实水平和实际需要,挑选他们认为最合适的材料,对这些材料进行一定的处理与加工,包括适度增删、调整等;更灵活、有效地使用教材,使教学内容和教学活动最贴近学生的实际。[5]
“椭圆及其标准方程”一节教材编写以椭圆定义的发现—椭圆标准方程的建立—椭圆的定义、标准方程的运用为线索。其中,椭圆定义的发现环节以探究内容展开,但是我们觉得教材探究内容的设置对椭圆定义的引入有欠妥之处。
教材对椭圆定义的引入为:“把细绳的两端拉开一段距离,移动笔尖的过程中,细绳的长度保持不变,即笔尖到两个定点的距离之和等于常数。”围绕这个方法产生许多教学设计。或是让学生按教材上的叙述方法,动手画出椭圆,或是用课件演示,按定义画出椭圆,但定义是怎样想到的?两个定点从何而来?似乎是“魔术师的帽子里突然跳出一只兔子”,无法理解[6]。因此,椭圆定义产生的问题情境(探究内容)既不能充分反映数学的本质,不能体现数学逻辑性和严谨性,也不利于学生自主探究、直观理解。
1.重构情境,引入课题
多媒体展示图2、图3。
图2
图3
问题1:请同学们观察生活中的图2、图3,你能说出它们的大致形状吗?
问题2:大家还能举一些生活中见到的类似形状的例子吗?
设计意图:利用学生在实际生活中已获得的经验,通过生活中的图案进一步增强对椭圆形状的感性认识,使学生感受到生活中处处有椭圆。
2. 展示问题,探索定义
问题3:老师这里有一个握力器模型,你能给大家演示一下如何将它变成椭圆吗?
学生活动:(演示)挤压或拉伸,圆变成椭圆。
设计意图:借助于学生已有圆的学习经验,通过动手操作,感受椭圆是圆经过挤压或拉伸而形成的,使得学生对椭圆的认识更深入,从中获取新的活动经验:椭圆是由圆经过伸缩变换形成的。“伸缩变换”这一知识点学生在三角函数内容中已学过。
师:把一个圆均匀压缩(或拉伸)后,感觉变成了椭圆,那么它到底是不是椭圆呢?请大家探究下列问题。
问题4:如图4,在圆x2+y2=16上任取一点P,过P作x轴的垂线段PD,D为垂足。当点P在圆上运动时,线段PD的中点M的轨迹方程是什么?你能猜想出点M的轨迹是什么吗?
图4
【师生活动】求动点轨迹问题,学生在 “曲线与方程”一节中已有学习经验,求动点M的轨迹方程困难不大。经过思考,大部分学生有了结果,得出点M的轨迹方程是x2+4y2=16,但轨迹是什么图形,学生无法想象。教师用“几何画板”软件演示,让点P绕圆周运动,线段PD的中点M(设置成追踪点)所形成轨迹的形状(如图5),让学生观察,直观感知。
图5
师:圆的定义是平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹,即在圆的定义中有一个定点、一个定长。那么,椭圆能否通过定点、定长来定义?
给学生留足思考的时间,留下思考的机会,让他们思考交流、合作探究。
师追问:定义椭圆需要几个定点?有没有定长?
师生活动:部分学生猜想是两个定点。教师用“几何画板”演示,让点P沿着圆的半径PO滑到点M的过程中,圆心O沿着x轴向两边分别滑向点F1,F2(如图6),半径PO滑到MF1,MF2的位置。
图6
问题5:请学生思考,教师刚才的演示中,有什么新发现?
教师引导学生观察演示过程,结合图形思考,观察到有两个定点F1,F2,且|MF1|+|MF2|=4×2=8(定值)。
问题6:学生发现点M在图6的位置时,有|MF1|+|MF2|=8。那么,点M在椭圆周上其他位置是否也有|MF1|+|MF2|=8(定值)呢?
教师用“几何画板”演示:让点P沿着圆周徐徐而动,同时,点M也沿着椭圆周运动,线段MF1和MF2的长度随着点M的位置的变化而改变,但始终有|MF1|+|MF2|=8。即“椭圆周上任意一点M到两个定点F1,F2的距离之和始终等于8”。让学生进行严格的论证。
设计意图:教师利用“几何画板”的演示,借助学生已有的经验,通过设置“问题串”对特例的探究,让学生经历观察、思考、交流、操作、猜想、验证等体验活动,对椭圆的形成从感性认识的层次上升到理性认识的层次,通过参与数学基本活动,获取椭圆定义初步形成的基本经验,为自主探究椭圆定义及建立标准方程储备了丰富的数学知识,掌握了基本技能,感悟了数学基本思想,积累了新的数学基本活动经验。
问题7:通过上面特例的探索,你能类比,从特殊到一般的归纳,给椭圆下个定义吗?
学生尝试给出椭圆的定义:平面内到两定点F1,F2的距离的和等于定长(大于两定点F1,F2间的距离)的点的轨迹叫椭圆。
教师追问:为什么要在括号内加上“大于两定点F1,F2间的距离”呢?
学生思考讨论,得出结论。如果定长等于两定点F1,F2间的距离,动点的轨迹是线段F1F2;定长小于两定点F1,F2间的距离,不成轨迹。
设计意图:让学生从特例的研究中获取数学基本活动经验。通过类比,从特殊到一般的归纳、提升、辨析,建构得到椭圆的定义,使椭圆定义的形成自然、水到渠成。同时提升学生类比和归纳的数学能力。
问题8:老师手中有一根定长的细绳,你能利用椭圆的定义画出一个椭圆吗?
学生尝试画椭圆,先在黑板上取两个定点,再把细绳的两端固定在两个定点上,然后用粉笔拉紧细绳,移动粉笔的过程就画出一个椭圆。
设计意图:动手实验是新课程倡导的学习方法之一。学生通过动手操作,进一步理解椭圆的定义。
师:下面我们通过上面研究特例的思想方法,尝试建立椭圆的标准方程。请大家探究下列更一般的问题。
教师追问:它是椭圆的方程吗?我们如何去验证?
学生经过思考,类比研究问题5所获得的经验,只需验证方程所表示曲线上任一点M到两定点F1,F2的距离等于常数2a(大于|F1F2|)即可,即|MF1|+|MF2|=2a。这个式子的验证学生完全可以借助于研究问题6的方法和思路,轻松搞定。
教师追问:你能用同样的方法研究焦点在y轴上的椭圆标准方程吗?
设计意图:让学生通过研究问题4和问题5所获得基本经验和已有的数学活动经验,自主探究一般情形下的轨迹方程,进一步感受椭圆是圆经过坐标压缩变换得来的,椭圆方程的建立可以经过圆方程实施坐标变换,避免了教材用两次平方化简的困惑。
请同学们应用本节课所获得的知识,解决问题。(1)如果点M(x,y)在运动过程中,总满足关系式
图7
设计意图:强化学生对椭圆定义及标准方程的理解,通过学生思考和练习,总结所学知识,提炼研究问题的思想方法,进一步领会研究数学概念的基本方法,让学生在学会基础知识的同时,学会研究问题的方法和技能,积累解决问题的数学经验,提升学生数学学科核心素养。
在数学活动中,学生已有的认知经验能提升学生思维的活跃度,只有关注数学基本活动经验的获得,才能在数学教学中体现出数学的过程性,才能使学生在学习知识的过程中积累新的经验,在积累经验的过程中提炼数学思想方法。本设计改变了教材原有的编排顺序,将椭圆定义后的例题进行了改编,作为探索的主线,从学生已有圆的认知经验出发,设置合适的问题串,使学生亲身经历观察、操作、探究、猜想、验证等活动,获取新的数学基本活动经验,最后利用已获得的经验从特殊到一般,自主归纳出椭圆的定义,建立椭圆标准方程,使得新知识的呼出自然流淌。在整个教学过程中,教师的主导作用和学生的主体作用得到了充分的体现,同时,也注重数学文化的渗透,灌注了学数学就是利用活动经验做数学的理念,培养了学生的创新思维能力。
本文系宁夏第五届基础教育教学“高中数学教学中培养学生创新思维的实践研究”(JXKT-ZS-05-071)的研究成果。