建立模型，培养数学抽象思维

江苏省淮安经济技术开发区启明中学 邵 君

数学模型建构的教学理念是对传统数学课堂的案例进行联系和类比，分散难点，通过多元合作和分享，帮助同学们形成抽象的理性思考模式。虽然数学模型的概念在数学知识体系中比较常见，但目前大部分数学课堂忽略了数学模型的重要性，许多教师没有认识到数学模型对于培养学生抽象思维的重要性。下面本文将从几个经典案例入手，谈一谈如何在数学教学过程中利用模型构建发展学生的抽象思维。

一、发现问题，提出猜想

构建数学模型不需要同学们具备十分全面的知识体系。每一个数学模型都具备一个典型的突破点，因此，教师要注重培养同学们发现问题、理解抽象性问题的能力。阶段性问答的方式会给同学们一定的启发性，帮助同学们提出想法。教师在教学数学模型时要考虑同学们的心理，从低难度的问题入手打消同学们对于未知领域的陌生感和恐惧感，增强学生学习数学的自信。

例如在教学“二元一次方程”时，我认为函数意识的培养最好的基点就是实际问题，所以我针对函数问题展开了实际问题的探讨。比如题目：“同一款式的衣服L 码，衣长为56cm，袖长为40cm，M码衣长为44.5cm，袖长为35cm，已知S 码衣长33.2cm，求问S 码袖长为多少？”同学们看到衣服的尺码问题，无法把这个抽象的生活概念同函数联系起来。我向同学们抛出第一个问题：衣长和袖长之间存在一定的数量关系吗？通过阅读题干，同学们发现衣服的袖长和衣长之间存在一定的比例关系。我又接着提问：如果存在一个方程可以把这联系起来，需要设定几个未知数？同学们发现通过引入一次函数y=kx+b，就可以从方程组的计算中得出衣长和袖长的关系。

把设置阶段性问答作为同学们开展数学建模的突破口，可以很大程度地减轻同学的心理压力，帮助学生高效解决问题，实现数学思维的提升和优化。阶段性问答从浅入深的教学设计可以给同学们提供合理的推理思路，并且从实际问题出发的典型题目可以让同学们更全面地理解生活中的抽象关系，从而更好地理解数学模型的现实意义，为学生更好地运用数学模型奠定良好的基础。

二、多元发散，分别验证

多元化的模型构建途径不仅可以拓宽同学们的思维广度，还可以加深同学们的思维深度。数学模型的建立往往需要涉及多个方面的知识体系，在逐层解析的时候，教师可以鼓励同学们进行多方面的假设和推理，把复杂抽象的问题拆分成小节。这样做既降低了模型构建的难度，还可以帮助同学们更为全面地思考问题。

例如在进行“锐角三角函数”的教学过程中，我认为掌握三角函数的关系和推定原理要比熟记特定的三角函数值更有帮助。比如例题：“AC是楼梯的垂直高度，BC是地面的水平线，BA与CA的夹角为a。现要在楼梯上铺广告，已知BC=4 米，楼梯宽度1 米，则广告的面积至少需要多少平方米？”在进行这个问题的建模过程中，我要求同学们先绘制一个简图，针对简图进行思考。在绘制图像的时候，有细心的同学发现，广告纸的长度并不是楼梯斜面的长度，而是BA与CA的长度之和。在明白了这个关键点之后，同学们可以根据三角函数关系逐步进行建模、计算、解题。

数学模型构建的通路有很多条，依靠简单的数学模型构建方法，同学们可以获得模型构建的部分思路。从全面发展的角度来说，让同学们进行多元思考，从更为深入的方面考虑数学模型的格局，会帮助同学们更好地建立抽象思维，更多地考虑脱离数学情境，回归到顺序的概念和本质。

三、梳理归纳，形成体系

初中阶段的抽象思维主要体现在几何关系上。传统平面的抽象关系可以通过赋予熟悉含义而具有数学关系，并且几何中的抽象问题要求同学们具备全面的几何知识，熟知点线面的关系和几何定理。因此，在进行相关建模时，同学们就需要不断对几何知识进行归纳整理，形成自我的知识体系。

例如，我在进行“平行四边形”的备课过程中，对于平行四边形的几条定理进行了思考。同学们对于定理的记忆基本依靠死记硬背，但是我希望在课堂上通过练习平行四边形相关的几个几何系统帮助同学们理解和记忆定理。例如，在讲解平行四边形和菱形在证明上的不同点时，同学们的思维很活跃，一些同学从二者的对边关系出发，菱形有四条边全等的特点，而平行四边形只具备一组对边相等的特质。还有一些同学另辟蹊径，从角度上考量二者的推定关系，但结果证明，角度的关系理论只有在特殊的图形之间才有实践意义。在针对平行四边形进行的建模活动中，我要求同学们把平行四边形的网络绘制在一张图谱上，并注明这些几何图形与平行四边形之间的平面关联，我认为数学知识网络的建立需要多个系统之间进行联系和融合。

数学知识体系的归纳建立不仅对于同学们记忆知识点和概念具有极大的促进作用，更对学生形成系统、全面的知识体系也具有至关重要的影响，同样，教会学生进行数学知识体系的归纳，还可以帮助同学们回归到概念和原理，更为深入地理解数学知识。在几何问题中，相似几何图形之间的交叉联系对于抽象思维的建立也有重要意义。

初中阶段的模型构建可以为同学们的数学思维建立打下基础。数学模型构建的目的在于教授同学们一种研习数学问题、拓展数学思维的通路，以期同学们可以从数学建模中获得抽象思维的启发和灵感。教师在选取数学模型教材的时候也要注意数学模型的实际性与典型性，以期达到辅助同学们学习数学方法的目的。