知识成体系 方法成系统

文浦叙德（特级教师）

一、从宏观到微观，全面认识方程与不等式体系

从宏观层面来认识初中数学，可以将其分为“数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践”四大板块。其中“综合与实践”属于数学知识的应用，不涉及新知识，所以，严格来说，初中数学就是“代数板块、几何板块、统计板块、概率板块”四大部分。其中的代数板块又分成“数、式、方程、不等式、函数”五部分内容，显然，方程和不等式处在初中代数的中间部分，其重要性可想而知。两者可以看成是前面“数、式”知识的应用，也可以看成是后面“函数”知识的基础，所以，方程与不等式在初中代数中起着承前启后的桥梁作用。

从中观层面来认识方程，初中方程涉及七（上）“一元一次方程”、七（下）“二元一次方程组”、八（下）“分式方程”、九（上）“一元二次方程”共四章内容。其中，一元一次方程是最基础的，二元一次方程（组）是它在“元”（未知数个数）上的推广，一元二次方程是它在“次”（未知数次数）上的推广。按照特殊到一般的规律，我们还了解了“三元一次方程（组）”，当然还可以继续推广了解“一元三次方程”等知识。上述四章方程内容，我们可以把它看成是同类单元，这样我们可以把方程部分作为一个整体来加以认识。从中观层面来认识不等式，初中不等式涉及七（下）“一元一次不等式”，包括一元一次不等式与一元一次不等式组两部分，如果与方程知识加以比较，还可以进一步研究“一元二次不等式”等知识。

从微观层面来认识方程（不等式），他们都是从生活问题中两个量之间的“相等关系”（不相等关系）开始进行抽象，根据“元”“次”不同各自得出方程（不等式）的定义，再根据等式（不等式）的性质对方程（不等式）进行变形，然后解方程（不等式）得出解（解集），最后利用方程（不等式）的知识解决生活中的实际问题，完成数学到生活的回归。上述微观认识体现了生活与数学两个过程，一个是“生活问题——抽象——数学方程（不等式）——建模——生活问题”的生活数学关联过程，另一个是“定义——方程（不等式）解（解集）——等式（不等式）性质——解方程（不等式）”的数学自身发展过程。

二、从知识到方法，全面深化方程与不等式认识

从上面的知识产生过程可以看出，“数学抽象”是方程与不等式中非常重要的思想方法。数学抽象是指通过生活问题或数学问题对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养。显然，问题中如果得到两个量之间是“相等关系”，并且含有未知数，那么就可以得到数学中的“方程”；问题中如果得到两个量之间是“不相等关系”，那么就可以得到数学中的“不等式”。因为这一思想方法主要是用于新知的产生过程，所以，此处不再展开。

从方程与不等式自身发展过程可以看出，“数学推理”是方程与不等式中又一个非常重要的思想方法。数学推理包括很多种思想方法，“转换与化归”就是其中之一。解一元一次方程（不等式）的基本步骤是“去分母——去括号——移项——合并同类项——系数化为1”，这其实就是利用等式性质（不等式性质）一步一步转换化归的过程，最后求出解（解集）。把二元一次方程组与一元一次方程放在一起进行比较，你会发现，它多了一个元，所以，“消元”是我们的目标，我们正是通过“代入消元法（加减消元法）”把“二元一次方程组”变成“一元一次方程”，完成了转化的目的；把一元二次方程与一元一次方程放在一起进行比较，你会发现，它高了一次，所以，“降次”是我们的目标，我们正是通过“直接开平方法”“因式分解法”“配方法”“公式法”等“降次”手段，把“一元二次方程”变成“一元一次方程”，完成了转化的目的。由此可以看出，在数学学习上，我们都是尽量把所学的新知识转化为已经学过的同类旧知识来解决问题。所以，不管方程在元和次上如何不断推广，其解决的根本方法都是“消元”和“降次”，把复杂的方程（组）最后转化成一元一次方程。

从学习了数学知识后有什么用的数学应用过程可以看出，“数学建模”是方程与不等式中另一个非常重要的思想方法。利用方程与不等式的知识解决生活中的实际问题是学习的根本目的。它需要经过这样一个规范的建模过程，即“生活中的实际问题——数学抽象出相等关系或不等关系——变成数学中的方程或不等式——解方程或不等式——得到方程或不等式的解（解集）——把解（解集）放到生活问题中去检验——得到实际问题的解”。很显然，教材中“用一元一次方程解决实际问题”“用二元一次方程组解决实际问题”“用一元一次不等式（组）解决实际问题”“用分式方程解决实际问题”“用一元二次方程解决实际问题”都可以借助上面的“方程建模（不等式建模）”的过程达成解决问题的目标。