乘风破浪的韦达定理

文 张明明

韦达定理反映一元二次方程中根与系数的关系，是解决数学问题的有力武器，乘风破浪全靠它。

具体内容如下：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根是注意它的使用条件是b2-4ac≥0，其中，b2-4ac叫作根的判别式。

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

若二次项为1，可以得到更简洁的结论：如果一元二次方程x2+px+q=0的两个实数根是x1、x2，当p2-4q≥0时，那么x1+x2=-p，x1·x2=q。

也就是说，对于任何一个有实数根且二次项系数是1的一元二次方程，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。

苏科版数学教材九年级上册“一元二次方程”这一章中有这样一道例题：

例题求下列方程两根的和与两 根 的 积：（1）x2+2x-5=0；（2）2x2+x=1。

本题不需要解方程，第（1）题可以直接利用韦达定理求解；第（2）题可以先把方程改写成一般式，再利用韦达定理求解。中考中经常看见韦达定理的身影，应用的形式多种多样。

变式1（2020·黑龙江龙东）已知2+是关于x的方程x2-4x+m=0的一个实数根，则实数m的值是（ ）。

A.0 B.1

C.-3 D.-1

【解析】方法一：把x=2+代入方程得（2+）2-4（2+）+m=0，解得m=1。

【小结】本题利用韦达定理可以大大减少运算量，降低出错率。

变式2（2019·四川成都）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k-1=0的两个实数根，且-x1x2=13，则k的值为________。

【解析】根据题意，得x1+x2=-2，x1·x2=k-1，

解得k=-2。

【小结】如果题目中有两根满足的等式（或不等式），可以将此关系式进行恒等变形，然后利用韦达定理代入，即可得到关于要求参数的方程（或不等式），从而求出参数的值（或范围）。

变式3（2019·山东淄博）若x1+x2=3，=5，则以x1、x2为根的一元二次方程是（ ）。

A.x2-3x+2=0

B.x2+3x-2=0

C.x2+3x+2=0

D.x2-3x-2=0

【解析】因为（x1+x2）2=+2x1·x2，

又因为x1+x2=3=5，

所 以2x1·x2=（x1+x2）2-（）=9-5=4，

所以x1·x2=2，

所以以x1、x2为根的一元二次方程是x2-3x+2=0。选A。

【小结】题目已知x1+x2的值，我们只要再求出x1·x2的值，就可以求出以x1、x2为根的一元二次方程x2-（x1+x2）·x+x1·x2=0。一般地，如果一元二次方程的两个实数根x1、x2满足x1+x2=-p，x1·x2=q，则这个一元二次方程可以是x2+px+q=0（各项系数都乘相同的不为0的倍数也成立）。

变式4（2019·湖北荆门）已知x1、x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1=0的两个不相等实数根，且满足（x1-1）（x2-1）=8k2，则k的值为___。

【解析】因为x1、x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1=0的 两 个 实数根，

所以x1+x2=-（3k+1），

x1·x2=2k2+1。

因为（x1-1）（x2-1）=8k2，

即x1·x2-（x1+x2）+1=8k2，

所以2k2+1+3k+1+1=8k2，

解这个方程，得k1=-，k2=1。

因为关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1=0有两个不相等的实数根，

所以b2-4ac＞0，把k的值代入检验得k=1。

【小结】在应用韦达定理之前，我们要注意其运用的前提是一元二次方程有解，即满足判别式b2-4ac≥0，这往往是容易忽视的隐含条件，解题时要特别留心。

小试牛刀

1.（2020·江苏泰州）方程x2+2x-3=0的两根为x1、x2，则x1·x2值为________。

2.（2019·山东济宁）已知x=1是方程x2+bx-2=0的一个根，则方程的另一个根是________。

3.（2019·广东广州）关于x的一元二次方程x2-（k-1）x-k+2=0有两个实数根x1、x2，若（x1-x2+2）（x1-x2-2）+2x1·x2=-3，则k的值是（ ）。

A.0或2 B.-2或2 C.-2 D.2

4.（2020·湖北鄂州）已知关于x的方程x2-4x+k+1=0有两个实数根。

（1）求k的取值范围；

（2）设方程两个实数根分别为x1、x2，且求实数k的值。