范德蒙行列式在多项式和线性变换中的应用

2020-12-15 08:37韩荣梅
科学技术创新 2020年36期
关键词:行列式方程组特征值

韩荣梅

(内蒙古科技大学包头师范学院数学科学学院,内蒙古 包头014000)

1 范德蒙行列式在多项式中的应用

分析多项式中求根类的题目时,范德蒙行列式和一些特殊的性质能提升解决问题的效率,亦能间接的帮助我们解出问题的结果,让解题过程更清晰,易懂。

例1:假设f(x)=b0+b1x1+b2x2…+bnxn,若f(x)至少有n+1 个不同的根,则f(x)=0。

证明:

取x1,x2,…,xn+1为f(x)的n+1 个根,且各不相同。代入得:

其中b1,b2,…,bn做未知量。

其中的系数行列式中xi≠xj(i≠j)。该式又为范德蒙行列式,故而:

所以方程组(1)只有零解。从而b0=b1=b2=…=bn=0,即f(x)=0。

例2:在数域F 中,设b1,b2,…,bn为互不相同的数,而c1,c2,…,cn为数域F 中的任意一列不全为零的确定的数。则存在唯一的数域F 上的次数小于n 的多项式f(x),使f(bi)=ci(i=1,2,…,n)

证明:

设f(x)=d0+d1x+…dn-1xn-1由题f(bi)=ci(i=1,2,…,n) 可知:

由题可知b1,b2,…,bn之间都是不同的,这样它就变成了一个范德蒙行列式。

那么其结果就为:

故而有唯一的解,且解为次数小于n 的多项式,f(x)=d0+d1x+…dn-1xn-1,能让f(bi)=ci(i=1,2,…,n)

不难发现,范德蒙行列式在多项式中的应用方法很便捷,可以通过创建向量组等方法,亦或者通过取不同的根引入多项式中,将系数看作未知量。得到一个系数行列式。就构造了新的范德蒙行列式。然后通过范德蒙行列式,直接得到结果或一些性质或者是证明结果。

2 范德蒙行列式在线性变换中的应用

线性变换是高等代数中的一个难点。将范德蒙行列式应用在其中,能提升效率并且能使得解题进程变得简洁,易懂。

例3:设β1,β2,…βn是线性空间V 的一组基,σ 是V 的线性变换,有σβi=β1+aiβ2+…+ain-1βn,证明:σ 是V 可逆的线性变换。

证明:

由已知得

其中的

式(3)为范德蒙行列式,所以

因此B 可逆。所以σ 为可逆线性变换。

例4:在数域F 上,设n 维向量V 的线性变换为σ,有n 个互不相同的特征值λ1,λ2,…,λn证明:所有的e,σ,σ2,…,σn-1(e 表述恒等变换)是与σ 能够交换的V 的线性组合[7]。

证明:

设线性变换δ 是与σ 可交换的。且σ(ai)=λiαi(i=1,2,…,n)

则Vλi={kαi|k∈F}就是δ 的不变子空间。

则由该方程组

可知式(4)的系数行列式是由范德蒙行列式构成的,且

所以方程组有唯一解。故δ 是e,σ,σ2,…,σn-1的线性组合。

3 范德蒙行列式在向量线性相关性中的应用

例5:尝试证明在空间中含有一个向量集包括了无限多的向量。此向量集中的任何三个向量都线性无关。

证明:

取向量集于这个空间中{(1,k,k2)|k∈z},而在这个集中任意的3 个向量形成的向量组,所构成的三阶的行列式

行列式(5)构成了范德蒙行列式。所以可知它一定不是为零的,因而它们必线性无关,即取得的向量组满足标题中的前提条件。

例6:设λi(i=1,2,…,m)是n 阶矩阵A 的不同的特征值。在矩阵A 中的与特征值λi联系的线性无关的特征向量是ξi1,ξi2,…,ξiti(i=1,2,…,m),则ξ11,ξ12,…,ξ1t1,ξ21,…,ξ2t2,…,ξm1,ξmtm是线性无关的一组向量组。

证明:

设有ki1,ki2,…,kiti(i=1,2,…,m)使得

则式(6)可写为

又ξij(j=1,2,…,ti)是特征值λi的特征向量,

由式(7)同时左乘A 及式(8)得

再次左乘A 得

重复进行得到:

写为矩阵

则C 矩阵即式(10)的行列式为范德蒙行列式,所以

又因为λi(i=1,2,…,m)各不相同,可知|C|不为零;从而C可逆。

将式(10)右乘C-1得,(η1,η2,…,ηm)=0,有ηi=0(i=1,2,…,m)

所以向量组ξ11,ξ12,…,ξ1t1,ξ21,…,ξ2t2,…,ξm1,ξmtm线性无关。

猜你喜欢
行列式方程组特征值
深入学习“二元一次方程组”
利用LMedS算法与特征值法的点云平面拟合方法
单圈图关联矩阵的特征值
范德蒙德行列式在行列式计算中的应用
《二元一次方程组》巩固练习
凯莱图的单特征值
计算行列式的几种不同方法解析
三阶行列式计算的新方法
求矩阵特征值的一个简单方法
加项行列式的计算技巧