在比较时归纳特征 于操作中形成概念

黄袁媛

【摘要】三角形是学习平面图形知识的起点，准确把握图形特征、迅速形成相关概念对学生学好三角形乃至今后所有的几何课程都至关重要。本文以《三角形的认识》为例，详细阐述比较引导和操作启发在教学中的重要意义。

【关键词】比较    特征    操作    概念

一、案例背景

《三角形的认识》是“空间与图形”领域的重要研究内容之一。学生在第一学段已经直观认识了三角形，那么，课堂上该如何抽丝剥茧地揭示并归纳出三角形的特征，帮助学生建立三角形高的核心概念，明确深化三角形中高的画法呢？在这样的任务驱动下，笔者对本次执教的过程做了详细的记录与分析，取得了良好的教学效果。现将课堂教学主要过程简要介绍如下。

[片段一]认识三角形的特征

师：瞧！黄老师带来了一些图片，谁可以找到三角形？

生1：自行车上有三角形。

生2：建筑物上有三角形。

……

根據学生指出的三角形，课件动态演示出三角形的轮廓，并隐去实物产品图片，抽象出4个三角形。

师：大家快速准确地找到了图片中的三角形，想一想生活中还有哪些三角形？

生1：三角尺上有三角形。

生2：我家弟弟玩的积木上有三角形。

……

师：看来同学们对三角形并不陌生，你可以试着在纸上画一个三角形吗？

学生画完三角形后，教师组织展示和交流，并让三个学生依次上台对照作品详细说说画三角形的过程。教师随即将三幅作品并排展示在投影上。

师：比较一下这三个三角形，它们有哪些共同点呢？

生1：都有三条边。

生2：都有三个角。

生3：都有三个顶点。

师：一条线段2个端点，为什么三角形有三条线段却只有3个顶点呢？

生：每两条线段有一个端点重合，所以，三角形有3个顶点。

师：对！在数学上这就叫首尾相连，首尾相连是三条线段围成三角形的重要条件。（师板书）

师：谁可以尝试描述怎样的图形称为三角形吗？

生：三条线段首尾相连围成的图形叫三角形。

师;围成，你可真善于观察！说明三角形是一个封闭的图形。

思考：三角形是生活中常见的平面图形，学生对其认知只停留在直观的层面，如果要问“什么样的图形是三角形？”学生很难准确地说出概念，大多数只能说出一些基本的特征。

考虑到学生在生活中会接触一些三角形的物体，因此，本课伊始，教师联系学生的生活实际，选择他们熟悉的生活场景，引导他们从中寻找现成的三角形。首先在场景图中寻找，然后联系生活中的三角形，并初步感知其特征。接着引导学生通过画三角形并在对所画的三角形进行对比的活动中，进一步建立正确而清晰的表象，因为生活中的三角形都不可避免地保留着其物理属性，只有画出的三角形才可以看作是数学意义上的三角形。

本环节分两个层次，教师先组织了系列活动，寻找生活中的三角形，丰富了图形的表象。再引导学生从图形的边、角、点不同角度进行观察，通过尝试画图、抽象概括等方式，让学生自主建构三角形的概念特征。

[片段二]认识三角形的高

师（出示图1）：老师带来了一张三角形贺卡，你能帮它做一个长方形的信封吗？长和宽至少是多少？需要测量贺卡的什么数据？

师：请把你的想法画出来，再量一量。

（指名演示）

生1：我是用最底下这条边作为长方形的长，宽是沿着顶点画出来的线段。（如图2）

生2：我是用左边的这条边作为长方形的宽，长是沿着右下角的顶点画出的一条垂线。（如图3）

生3：我是用右边的这条边作为长方形的长，宽是沿着左下角的顶点画出的一条垂线。（如图4）

师：观察比较一下以上的设计方法，有什么共同点？

生：它们都是基于三角形的一条边作为长，对面的顶点到这条边的距离作为宽。

师：为什么要以这条线段作为宽呢？

交流明确：信封的长是三角形的其中一条边，宽是这条边对面的顶点到这条边的距离。

师：像这样的线段，在数学上叫作三角形的高（边说边用手指高）。谁可以试着描述一下什么叫三角形的高吗？

生：从三角形上面顶点到下面边的垂直线段是三角形的高，下面这条边，也就是上面顶点所对的边，是三角形的底边。

师：可以看到，三角形的高就是顶点到对边的什么？

生（众）：距离。

师：说得不错。（边说边演示）我们用虚线表示三角形的高，在高与底边组成的直角上标上直角标记。用字母h表示三角形的高，字母a则表示与高相对应的底边，我们就说，a是高h对应的底，h是底边a上的高。

（让学生照样子互相说一说）

师：刚才我们找到了a边上的高，你觉得这个三角形一共有多少条高呢？先思考一下。

师：现在老师来采访一下同学们，你为什么认为是1条？有不同想法吗？

……

师（课件演示小结）：三角形有3个顶点和3条对边，每条边对应一条高，所以三角形有3条高。

思考：在三角形高的认识教学时，教师借用给贺卡加信封的设计贯穿始终，给予足够重视，放慢学生操作学习的节奏，在实践中探究信封的长与宽就是三角形对应的底与高，在此基础上定义三角形的高，水到渠成，瓜熟蒂落。而强调高对应的底和底上的高，目的在于帮助学生理解三角形的底与高的相互依存关系，深化对概念的理解。

三角形高的认识是本节课的重点，在问题情境中让学生大胆探索与尝试，使学生真正“动”起来，思维“活”起来，打破传统教学三角形高的方法，让学生在“操作”中发现高与边的关系，学得主动，学得轻松，学得快乐。

[片段三]学会画指定边上的高

反馈：重点辨析下面这两种情况。

预设：（1）高在直角边上。我找不到这个三角形的高在哪里？你知道吗？问反馈的学生：他的回答是你画的高吗？（2）钝角三角形。从顶点向底边作高，又在哪里呢？

师：如果老师把一个三角形放在一组平行线之间，任选一个顶点沿着所在的平行线上移动，同学们想象一下，高会发生什么情况？

预设：（1）三角形的形状发生变化了。“真的吗？我们等下来看看”。（2）三角形的高会移动，跑到外面去。“你说的话是什么意思？谁听懂了？”（3）三角形的面积变了。“这等我们学习了面积后再来回顾下这题是否变化了。”

师（第一次移动）：和你们的猜测一样吗？

师（第二次移动）：如果老师慢慢移动这个顶点，你们仔细观察三角形的高，它的位置又发生了什么变化？高从外面到里面会经过哪个地方？

师：在一组平行线中移动顶点，顶点位置有无数个，高的位置随着顶点变化而变化，时而在图形内，时而在图形外，时而和一条边重合。多么神奇的高呀！

思考：“高会移动”这是学生对于问题的浅层思考。的确，高是随着顶点移动，但是动态的问题对于空间观念不强的小学生来讲，理解起来比较困难。教师借用几何画板，通过在一组平行线内移动三角形的顶点，让学生直观感受三角形高的移动，体会到两条平行线间的垂直线段相等，渗透了等底等高的思想。

在本环节中，学生经历了“提出猜想→进行验证→得出结论”的探究过程，并联系已学的知识和日常生活经验，猜想高的变化，然后动态操作去验证，最后得出正确结论。

二、案例总结

1.特征的归纳来源于对比

在本课教学中，教师特别注重引导学生经历从生成的素材中对比出几何概念的过程。例如，在引入三角形概念时，教师通过对学生自己所画的三角形的对比，引導学生观察和比较，从三个不同形状的三角形中提炼出三角形的共同特征，获得对三角形特征的丰富感知。在认识三角形的高时，通过对三种不同的信封的设计方法的对比，体会三角形高的含义及其与对应底的关系。这样经过比较后的归纳方式，有助于学生迅速发现三角形的几何特征与本质属性，实现数学概念“外延描述的抽象化”，也有助于学生提升数学素养。

2.概念的形成伴随着操作

动作及表象是儿童认识客观事物的起点和基础。本节课安排了多样而丰富的操作活动。例如，自己动手画一个三角形，能让学生在操作中主动发现三角形的特征;给三角形的贺卡设计一个长方形的信封，有助于学生主动在脑海里构建高的概念。所有这些，都有助于学生自主建构并理解三角形概念的内涵，积极探索获得平面图形特征的经验，形成初步的直观推理能力。

图形教学的意义不仅在于让学生掌握其特征和相关几何概念本身，更在于引导学生形成认识和研究几何图形的抽象逻辑思维。通过上述案例，我们发现在比较时归纳特征、于操作中形成概念是行之有效的方法，有助于小学生真正打开思维的天窗，做学习的主人。这一理念和教学方法在之后的平行四边形和梯形等几何教学中应继续予以贯彻。